Bài 27. Thể tích

Bài \(27\). Thể tích trang \(61\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(7.28\). Cho khối chóp đều \(S.ABC\), đáy có cạnh bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\). Tính thể tích của khối chop đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\).

Trả lời:

Hình chóp \(S.ABC\) đều. Gọi \(G\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng đáy \((ABC)\).

Khi đó, \(G\) là tâm của đáy, mà tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(G\) là trọng tâm hay trực tâm tam giác \(ABC\).

Gọi \(D\) là giao điểm \(AG\) và \(BC\) (\(D \in BC\))

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên đường cao \(AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow AG = \displaystyle \frac{2}{3} AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) ta có:

\(SG = \sqrt{SA^2 \ – \ AG^2} = \sqrt{b^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}}\)

Suy ra diện tích tam giác đều \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AD. BC = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}. a = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Thể tích của khối chóp đều là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. SG. S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{3}. \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}}. \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{12}. \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}}\)

Do đó, thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\) là:

\(V = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{12}. \sqrt{a^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}} = \displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

\(\)

Bài \(7.29\). Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có \(AA’ = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, \widehat{ABC} = 150^o\). Tính thể tích của khối lăng trụ.

Trả lời:

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. BC. \sin{\widehat{ABC}} = \displaystyle \frac{1}{2}. 6. 2. \sin{150^o} = 3 (cm^2)\)

Khi đó, thể tích khối lăng trụ là:

\(V = AA’. S_{ABC} = 5. 3 = 15 (cm^3)\)

\(\)

Bài \(7.30\). Cho khối chóp đều \(S.ABCD\), đáy có cạnh \(6 cm\). Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:
\(a)\) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng \(60^o\).
\(b)\) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng \(45^o\).

Trả lời:

\(a)\)

Gọi \(AC \cap BD = \{O\}\).

Do \(S.ABCD\) đều \(SO \perp (ABCD)\).

\(\Rightarrow O\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).

Lại có \(A\) là hình chiếu của \(A\) trên \((ABCD)\).

\(\Rightarrow OA\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).

\(\Rightarrow (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = \widehat{SAO}\)

Theo bài ra ta có: \(\widehat{SAO} = 60^o\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}\) (cm)

\(\Rightarrow AO = \displaystyle \frac{AC}{2} = 3\sqrt{2}\) (cm)

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\) có:

\(\tan{\widehat{SAO}} = \displaystyle \frac{SO}{AO}\)

\(\Rightarrow SO = \tan{60^o}. 3\sqrt{2} = 3\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD} = 6^2 = 36 (cm^2)\)

Vậy thể tích của khối chóp là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. SO. S_{ABCD} = \displaystyle \frac{1}{3}. 3\sqrt{6}. 36 = 36 \sqrt{6} (cm^3)\)

\(b)\) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), kẻ \(OE \perp CD, E \in CD\)

Do \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp CD\)

Mà \(CD \perp OE\)

\(\Rightarrow CD \perp (SOE)\)

\(\Rightarrow CD \perp SE\)

Lại có \(OE \perp CD, (SOE) \cap (ABCD) = CD\)

\(\Rightarrow ((SOE), (ABCD)) = (SE, OE) = \widehat{SEO}\)

Mặt bên tạo với mặt đáy góc \(45^o\) nên \(\widehat{SEO} = 45^o\)

Ta có: \(OE \perp CD, AD \perp CD \Rightarrow OE // AD\)

Mà \(O\) là trung điểm \(BD\)

\(\Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)

\(\Rightarrow OE = \displaystyle \frac{1}{2} BC = 3 (cm)\)

Xét tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có:

\(\tan{\widehat{SEO}} = \displaystyle \frac{SO}{OE} = \displaystyle \frac{SO}{3}\)

\(\Rightarrow SO = 3\tan{45^o} = 3 (cm)\)

Vậy thể tích của khối chóp là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. SO. S_{ABCD} = \displaystyle \frac{1}{3}. 3. 36 = 36 (cm^3)\)

\(\)

Bài \(7.31\). Cho khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là các tam giác đều cạnh \(a\), \(A’A = A’B = A’C = b\). Tính thể tích của khối lăng trụ.

Trả lời:

Xét hình chóp \(A’.ABC\) có \(A’A = A’B = A’C\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều nên hình chóp \(A’.ABC\) là hình chóp đều.

Gọi \(F\) là hình chiếu của đỉnh \(A’\) lên mặt phẳng \(ABC\) nên \(F\) là tâm của đáy \(ABC\) và \(F\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Gọi \(D\) là giao điểm của \(AF\) và \(BC\).

Xét tam giác đều \(ABC\):

\(AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow AF = \displaystyle \frac{2}{3} AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác \(A’AF\) vuông tại \(F\) có:

\(A’F = \sqrt{AA’^2 \ – \ AF^2} = \sqrt{b^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AD. BC = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}. a = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Thể tích của khối lăng trụ là:

\(V = A’F. S_{ABC} = \sqrt{b^2 \ – \ \displaystyle \frac{a^2}{3}}. \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

\(\)

Bài \(7.32\). Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh \(8 dm\), bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình \(7.99\).
\(a)\) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
\(b)\) Tính cạnh bên của thùng.
\(c)\) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(AB // A’B’ \Rightarrow AB // (A’B’C’D’)\)

\(AD // A’D’ \Rightarrow AD // (A’B’C’D’)\)

Mà \(AB \cap AD = \{A\} \Rightarrow (ABCD) // (A’B’C’D’)\).

Khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân. Tiếp tục, bác hàn các mép lại để được thùng, bốn tam giác vuông cân này sẽ gấp lên và gắn vào nhau.

Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Ta có: \(AB = CD = 3, A’B’ = C’D’ = 6\)

Xét tam giác \(A’BC\), đường cao \(BE\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 26 – Khoảng cách
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VII
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech