Bài \(5\). Xác suất của biến cố trang \(46\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Một hộp có \(5\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1, 2, 3, 4, 5\); hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai chiếc thẻ từ trong hộp.
\(a)\) Gọi \(\Omega\) là không gian mẫu trong trò chơi trên. Tính số phần tử của tập hợp \(\Omega\).
\(b)\) Tính xác suất của biến cố “Tích các số trên hai thẻ là số lẻ”.
Trả lời:
\(a)\) Rút ngẫu nhiên đồng thời hai chiếc thẻ từ trong hộp gồm \(5\) chiếc thẻ là một tổ hợp chập \(2\) của \(5\) phần tử.
Do đó không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(2\) của \(5\) phần tử.
Vậy số phần tử của tập hợp \(\Omega\) là:
\(n(\Omega) = C_5^2 = \displaystyle \frac{5!}{2!. 3!} = 10\) (phần tử)
\(b)\) Gọi \(A\) là biến cố: “Tích các số trên hai thẻ là số lẻ”.
Ta đã biết, tích hai số là số lẻ khi cả hai số đó đều là số lẻ.
Mặt khác, trong \(5\) thẻ đã cho, có \(3\) thẻ ghi số lẻ là \(1, 3, 5\).
Lấy ngẫu nhiên \(2\) thẻ trong \(3\) thẻ ghi số lẻ nên ta có số cách lấy là:
\(C_3^2 =3\)
\(\Rightarrow n(A) = 3\)
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là:
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{3}{10}\)
\(\)
Bài \(2\). Một hộp có \(4\) tấm bìa cùng loại, mỗi tấm bài được ghi một trong các số “1, 2, 3, 4”; hai tấm bìa khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời ba tấm bìa từ trong hộp:
\(a)\) Tính số phần tử của không gian mẫu.
\(b)\) Xác định các biến cố sau:
\(A:\) “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng \(9\)”;
\(B:\) “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.
\(c)\) Tính \(P(A), P(B)\).
Trả lời:
\(a)\) Rút ngẫu nhiên đồng thời ba tấm bìa từ hộp có \(4\) tấm bìa là một tổ hợp chập \(3\) của \(4\) phần tử.
Do đó không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(3\) của \(4\) phần tử.
Vậy số phần tử của tập hợp \(\Omega\) là:
\(n(\Omega) = C_4^3 = 4\) (phần tử)
\(b)\) Xét biến cố \(A\): “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng \(9\)”.
Ta có: \(2 + 3 + 4 = 9\)
Do đó \(A = \{(2; 3; 4)\}\)
Xét biến cố \(B\): “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.
Ta có: Ba số tự nhiên liên tiếp trong các số đã cho là: \((1; 2; 3); (2; 3; 4)\).
Vậy \(B = \{(1; 2; 3); (2; 3; 4)\).
\(c)\) Theo câu \(b)\) ta có số phần tử của biến cố \(A, B\) lần lượt là:
\(n(A) = 1, n(B) = 2\)
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là:
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{1}{4}\)
Xác suất của biến cố \(B\) là:
\(P(B) = \displaystyle \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{2}{4} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\)
Bài \(3\). Hai bạn nữ Hoa, Thảo và hai bạn nam Dũng, Huy được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế đặt theo hàng dọc. Tính xác suất xếp được:
\(a)\) Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên;
\(b)\) Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng.
Trả lời:
Mỗi cách sắp xếp bốn bạn vào bốn ghế đặt theo hàng dọc là một hoán vị của \(4\) phần tử.
Do đó, không gian mẫu \(\Omega\) là hoán vị của \(4\) phần tử.
\(\Rightarrow n(\Omega) = 4! = 4. 3. 2. 1 = 24\) (phần tử)
\(a)\) Gọi \(A\) là biến cố: “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên”.
Sắp xếp bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên, có \(1\) cách.
Sắp xếp ba bạn Hoa, Dũng, Huy ngồi ngẫu nhiên vào ba ghế còn lại, ta có hoán vị của \(3\) phần tử.
Khi đó có \(3! = 3. 2. 1 = 6\) (cách xếp)
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách xếp \(4\) bạn sao cho bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên là:
\(1. 6 = 6\) (cách xếp) hay \(n(A) = 6\)
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là:
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{6}{24} = \displaystyle \frac{1}{4}\)
\(b)\) Gọi \(B\) là biến cố: “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng”.
Sắp xếp bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên, có \(1\) cách.
Sắp xếp bạn Huy ngồi ghế cuối cùng, có \(1\) cách.
Sắp xếp hai bạn Hoa, Dũng ngồi ngẫu nhiên vào hai ghế còn lại, ta có hoán vị của \(2\) phần tử.
Khi đó có \(2! = 2. 1 = 2\) (cách xếp)
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách xếp \(4\) bạn sao cho bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng là:
\(1. 1. 2 = 2\) (cách xếp) hay \(n(B) = 2\)
Vậy xác suất của biến cố \(B\) là:
\(P(B) = \displaystyle \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{2}{24} = \displaystyle \frac{1}{12}\)
\(\)
Bài \(4\). Có \(10\) bông hoa màu trắng, \(10\) bông hoa màu vàng và \(10\) bông hoa màu đỏ. Người ta chọn ra \(4\) bông hoa từ các bông hoa trên. Tính xác suất của biến cố “Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”.
Trả lời:
Tổng số bông hoa là:
\(10 + 10 + 10 = 30\) (bông hoa)
Chọn ra \(4\) bông hoa từ \(30\) bông hoa ta có tổ hợp chập \(4\) của \(30\) phần tử.
Do đó, không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(4\) của \(30\) phần tử.
\(\Rightarrow n(\Omega) = C_{30}^4\)
Gọi \(A\) là biến cố: “Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”.
Việc chọn ra bốn bông hoa có cả bốn màu sẽ xảy ra một trong các phương án sau:
Phương án \(1\): \(1\) bông hoa màu trắng, \(1\) bông hoa màu vàng, \(2\) bông hoa màu đỏ.
Phương án \(2\): \(1\) bông hoa màu trắng, \(2\) bông hoa màu vàng, \(1\) bông hoa màu đỏ.
Phương án \(3\): \(2\) bông hoa màu trắng, \(1\) bông hoa màu vàng, \(1\) bông hoa màu đỏ.
Xét phương án \(1\): \(1\) bông hoa màu trắng, \(1\) bông hoa màu vàng, \(2\) bông hoa màu đỏ.
Có \(10\) cách chọn \(1\) bông hoa màu trắng.
Có \(10\) cách chọn \(1\) bông hoa màu vàng.
Có \(C_{10}^2\) cách chọn \(2\) bông hoa màu đỏ trong \(10\) bông hoa đỏ.
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra \(1\) bông hoa màu trắng, \(1\) bông hoa màu vàng, \(2\) bông hoa màu đỏ là:
\(10. 10. C_{10}^2 = 10. 10. \displaystyle \frac{10!}{2!. 8!} = 4500\) (cách)
Xét phương án \(2\): \(1\) bông hoa màu trắng, \(2\) bông hoa màu vàng, \(1\) bông hoa màu đỏ.
Có \(10\) cách chọn \(1\) bông hoa màu trắng.
Có \(C_{10}^2\) cách chọn \(2\) bông hoa màu vàng.
Có \(10\) cách chọn \(1\) bông hoa mà đỏ.
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra \(1\) bông hoa màu trắng, \(2\) bông hoa màu vàng, \(1\) bông hoa màu đỏ là:
\(10. 10. C_{10}^2 = 4500\) (cách)
Tương tự xét phương án \(3\):
Số cách chọn ra \(2\) bông hoa màu trắng, \(1\) bông hoa màu vàng, \(1\) bông hoa màu đỏ là:
\(4500\) (cách)
Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn ra \(4\) bông hoa đủ cả \(3\) màu là:
\(4500 + 4500 + 4500 = 13500\) (cách)
Hay \(n(A) = 13500\)
Vậy xác suất của biến cố \(A\): “Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu” là:
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(P)} = \displaystyle \frac{13500}{C_{30}^4} = \displaystyle \frac{13500}{\displaystyle \frac{30!}{4!. 26!}} = \displaystyle \frac{100}{203}\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4 – Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VI
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.