Bài tập cuối chương VIII

Bài tập cuối chương \(VIII\) trang \(116\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho hình lập phương \(MNPQ.M’N’P’Q’\) có cạnh bằng \(a\).
\(a)\) Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M’P\) bằng:
\(A.\) \(30^o\).
\(B.\) \(45^o\).
\(C.\) \(60^o\).
\(D.\) \(90^o\).
\(b)\) Gọi \(\alpha\) là số đo góc giữa đường thẳng \(M’P\) và mặt phẳng \((MNPQ)\). Giá trị \(\tan{\alpha}\) bằng:
\(A.\) \(1\).
\(B.\) \(2\).
\(C.\) \(\sqrt{2}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\).
\(c)\) Số đo của góc nhị diện \([N, MM’, P]\) bằng:
\(A.\) \(30^o\).
\(B.\) \(45^o\).
\(C.\) \(60^o\).
\(D.\) \(90^o\).
\(d)\) Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((NQQ’N’)\) bằng:
\(A.\) \(a\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}\).
\(C.\) \(a\sqrt{2}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{a}{2}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(MM’ \perp (MNPQ) \Rightarrow (MN, M’P) = (MN, MP) = \widehat{NMP}\)

Mà \(MNPQ\) là hình vuông \(\Rightarrow \widehat{NMP} = 45^o\)

Suy ra \((MN, M’P) = 45^o\)

Chọn đáp án \(B\)

\(b)\) \(MM’ \perp (MNPQ) \Rightarrow (M’P, (MNPQ)) = (M’P, MP) = \widehat{MPM’}\)

\(MNPQ\) là hình vuông \(\Rightarrow MP = \sqrt{MN^2 + NP^2} = a\sqrt{2}\)

Xét tam giác \(MPM’\) vuông tại \(M\) ta có:

\(\tan{\widehat{MPM’}} = \displaystyle \frac{MM’}{MP} = \displaystyle \frac{a}{a\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Chọn đáp án \(D\).

\(c)\) \(MM’ \perp (MNPQ) \Rightarrow MM’ \perp MN, MM’ \perp MP\)

Vậy \(\widehat{NMP} = 45^o\) là góc nhị diện \([N, MM’, P]\)

Chọn đáp án \(B\).

\(d)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(MP\) và \(NQ\)

Do \(MNPQ\) là hình vuông nên \(MO \perp NQ\)

\(NN’ \perp (MNPQ) \Rightarrow NN’ \perp MO\)

\(\Rightarrow MO \perp (NQQ’N’)\)

\(\Rightarrow (M, (NQQ’N’)) = MO = \displaystyle \frac{1}{2} MP = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2} = \displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}\)

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(2\). Cho hình hộp chữ nhật \(MNPQ.M’N’P’Q’\) có \(MN = 2a, MQ = 3a, MM’ = 4a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(NP\) và \(M’N’\) bằng:
\(A.\) \(2a\).
\(B.\) \(3a\).
\(C.\) \(4a\).
\(D.\) \(5a\).

Trả lời:

Ta có: \(NN’ \perp (MNPQ) \Rightarrow NN’ \perp NP\)

\(NN’ \perp (M’N’P’Q’) \Rightarrow NN’ \perp M’N’\)

\(\Rightarrow d(NP, M’N’) = NN’ = MM’ = 4a\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(3\). Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(a^2\) và chiều cao là \(3a\). Thể tích của khối chóp bằng:
\(A.\) \(a^3\).
\(B.\) \(3a^3\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{a^3}{3}\).
\(D.\) \(9a^3\).

Trả lời:

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = S. h = a^2. 3a = 3a^3\)

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(4\). Cho khối chóp của diện tích đáy là \(a^2\) và chiều cao là \(3a\). Thể tích của khối chóp bằng:
\(A.\) \(a^3\).
\(B.\) \(3a^3\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{a^3}{3}\).
\(D.\) \(9a^3\).

Trả lời:

Thể tích khối chóp là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. S. h = \displaystyle \frac{1}{3}. a^2. 3a = a^3\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(5\). Cho tứ diện \(OABC\) thoả mãn \(OA = a, OB = b, OC = c, \widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = 90^o\). Thể tích của khối tứ diện \(OABC\) bằng:
\(A.\) \(abc\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{abc}{2}\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{abc}{3}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{abc}{6}\).

Trả lời:

Ta có: \(\widehat{AOB} = 90^o \Rightarrow OA \perp OB\)

\(\widehat{COA} = 90^o \Rightarrow OA \perp OC\)

\(\Rightarrow OA \perp (OBC)\)

Diện tích tam giác \(OBC\) là:

\(S_{OBC} = \displaystyle \frac{1}{2}. OB. OC = \displaystyle \frac{1}{2}. bc\)

\(OA = h = a\)

Thể tích khối tứ diện \(OABC\) là:

\(V_{OABC} = \displaystyle \frac{1}{3}. S_{OBC}. h = \displaystyle \frac{1}{3}. \displaystyle \frac{1}{2}bc. a = \displaystyle \frac{abc}{6}\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(6\). Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC), AC \perp BC, SA = BC = a\sqrt{3}, AC = a\) (Hình \(99\)).
\(a)\) Tính góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
\(b)\) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\).
\(c)\) Tính số đo của góc nhị diện \([B, SA, C]\).
\(d)\) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\).
\(e)\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
\(g)\) Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\)

\(\Rightarrow (SA, BC) = 90^o\)

\(b)\) \(SA \perp (ABC) \Rightarrow (SC, (ABC)) = (SC, AC) = \widehat{SCA}\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên:

\(\tan{\widehat{SCA}} = \displaystyle \frac{SA}{AC} = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \widehat{SCA} = 60^o\)

Vậy \((SC, (ABC)) = 60^o\)

\(c)\) Có \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AB, SA \perp AC\)

Vậy \(\widehat{BAC}\) là góc nhị diện \([B, SA, C]\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) \(\Rightarrow \tan{\widehat{BAC}} = \displaystyle \frac{BC}{AC} = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \widehat{BAC} = 60^o\)

\(d)\) Ta có: \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\)

Mà \(AC \perp BC\)

\(\Rightarrow BC \perp (SAC)\)

\(\Rightarrow d(B, (SAC)) = BC = a\sqrt{3}\)

\(e)\) Ta có: \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AC, AC \perp BC\)

\(\Rightarrow d(SC, BC) = AC = a\)

\(g)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AC. BC = \displaystyle \frac{1}{2}. a. a\sqrt{3} = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)

\(h = SA = a\sqrt{3}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:

\(V_{S.ABC} = \displaystyle \frac{1}{3}. S_{ABC}. h = \displaystyle \frac{1}{3}. \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{2}. a\sqrt{3} = \displaystyle \frac{a^3}{2}\)

\(\)

Bài \(7\). Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) (Hình \(100\)).
\(a)\) Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B’C’\).
\(b)\) Tín góc giữa đường thẳng \(A’B\) và mặt phẳng \((ABC)\).
\(c)\) Tính số đo của góc nhị diện \([B,CC’,M]\).
\(d)\) Chứng minh rằng \(CC’ // (ABB’A’)\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(CC’\) và mặt phẳng \((ABB’A’)\).
\(e)\) Chứng minh rằng \(CM \perp (ABB’A’)\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CC’\) và \(A’M\).
\(g)\) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) và thể tích khối chóp \(A’.MBC\).

Trả lời:

\(a)\) \(ABB’A’\) là hình chữ nhật nên \(AB // A’B’\)

\(\Rightarrow (AB, B’C’) = (A’B’, B’C’) = \widehat{A’B’C’} = 60^o\)

\(b)\) Ta có: \(A’A \perp (ABC) \Rightarrow \widehat{A’AB} = 90^o, (A’B, (ABC)) = \widehat{ABA’}\)

Tam giác \(A’AB\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat{ABA’} = 45^o\)

\(\Rightarrow (A’B, (ABC)) = 45^o\)

\(c)\) \(CC’ \perp (ABC) \Rightarrow CC’ \perp BC, CC’ \perp MC\)

\(\Rightarrow \widehat{BCM}\) là góc nhị diện \([B, CC’, M]\)

Tam giác \(ABC\) đều, \(M\) là trung điểm \(AB\)

\(\Rightarrow \widehat{BCM} = \displaystyle \frac{1}{2} \widehat{BCA} = 30^o\)

\(d)\) Ta có: \(CC’ // AA’\). Mà \(AA’ \subset (ABB’A’) \Rightarrow CC’ // (ABB’A’)\)

\(A’A \perp (ABC) \Rightarrow A’A \perp CM\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(CM \perp AB\)

\(\Rightarrow CM \perp (ABB’A’)\)

Có \(CC’ // AA’, AA’ \subset (ABB’A’) \Rightarrow CC’ // (ABB’A’)\)

\(d(CC’, (ABB’A’)) = d(C, (ABB’A’)) = CM\)

Xét tam giác \(ABC\) đều \(\Rightarrow CM = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(d(CC’, (ABB’A’)) = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(e)\) \(A’A \perp (ABC) \Rightarrow A’A \perp CM\)

Mà \(CM \perp AB\)

\(\Rightarrow CM \perp (ABB’A’) \)

\(\Rightarrow CM \perp A’M\)

Lại có \(CC’ \perp (ABC) \Rightarrow CC’ \perp CM\)

\(\Rightarrow d(CC’, A’M) = CM = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(g)\) \(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2} CM. AB = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow V_{ABC.A’B’C’} = S_{ABC}. AA’ = \displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. a = \displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)

\(S_{MBC} = \displaystyle \frac{1}{2} S_{ABC} = \displaystyle \frac{a^\sqrt{3}}{8}\)

\(\Rightarrow V_{A’.MBC} = \displaystyle \frac{1}{3}. S_{MBC}. AA’ = \displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{24}\)

\(\)

Bài \(8\). Hình \(101\) là hình chụp đền Kukulcan, là một kim tự tháp Trung Mỹ nằm ở khu di tích Chichen Itza, Mexico, được người Maya xây vào khoảng thế kỉ \(IX\) đến thế kỉ \(XII\). Phần thân của đền,không bao gồm ngôi đền nằm phía trên, có dạng một khối chóp cụt tứ giác đều (không tính cầu thang và coi các mặt bên là phẳng) với độ dài đáy dưới là \(55,3 m\), chiều cao là \(24 m\), góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là khoảng \(47^o\).
Tính thể tích phần thân ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Mô hình hoá phần thân của đền bằng chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.A’B’C’D’\) với \(O, O’\) lần lượt là tâm hai đáy.

Khi đó \(AB = 55,3; OO’ = 24; (CC’, (ABCD)) = 47^o\)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 55,3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow OC = \displaystyle \frac{AC}{2} = \displaystyle \frac{55,3\sqrt{2}}{2} = 27,65\sqrt{2}\)

Kẻ \(C’H \perp OC (H \in OC)\)

\(\Rightarrow C’H // OO’\)

\(\Rightarrow C’H \perp (ABCD)\)

\(\Rightarrow (CC’, (ABCD)) = (CC’, C’H) = \widehat{HCC’} = 47^o\)

Xét hình chữ nhật \(OHC’O’\) ta có: \(OO’ = C’H = 24, CH = O’C\)

Tam giác \(CHC’\) vuông tại \(H\) nên:

\(CH = \displaystyle \frac{C’H}{\tan{\widehat{HCC’}}} = \displaystyle \frac{24}{\tan{47^o}} \approx 22,38\)

\(\Rightarrow O’C’ = OH = OC \ – \ CH \approx 27,65\sqrt{2} \ – \ 22,38 \approx 16,72\)

\(\Rightarrow A’C’ = 2. O’C’ \approx 33,44\)

\(A’B’C’D’\) là hình vuông nên \(A’B’ = \displaystyle \frac{A’C’}{\sqrt{2}} \approx 23,65\)

Diện tích đáy bé \(A’B’C’D’\) là:

\(S_{A’B’C’D’} = A’B’^2 = 23,65^2 = 545,2225 (m^2)\)

Diện tích đáy lớn \(ABCD\) là:

\(S_{ABCD} = AB^2 = 55,3^2 = 3058,09 (m^2)\)

Thể tích hình chóp cụt là:

\(V = \displaystyle \frac{1}{3}. h. (S_{A’B’C’D’} + \sqrt{S_{A’B’C’D’}. S_{ABCD}} + S_{ABCD})\)

\(= \displaystyle \frac{1}{3}. 24. (545,2225 + \sqrt{525,2225. 3058,09} + 3058,09)\)

\(\approx 39156,53 (m^3)\)

Vậy thể tích phần thân ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó là \(39156,53 m^3\).

Bài tập cuối chương VIII Bài tập cuối chương VIII Bài tập cuối chương VIII Bài tập cuối chương VIII

Xem bài giải trước: Bài 6 – Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối
Xem bài giải tiếp theo:
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech