Bài 5. Dãy số

Bài \(5\). Dãy số trang \(42\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(2.1\). Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ \(100\) của dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát cho bởi:
\(a)\) \(u_n = 3n \ – \ 2\);
\(b)\) \(u_n = 3. 2^n\);
\(c)\) \(u_n = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{n}\right)^n\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_1 = 3. 1 \ – \ 2 = 1\)

\(u_2 = 3. 2 \ – \ 2 = 4\)

\(u_3 = 3. 3 \ – \ 2 = 7\)

\(u_4 = 3. 4 \ – \ 2 = 10\)

\(u_5 = 3. 5 \ – \ 2 = 13\)

\(u_{100} = 3. 100 \ – \ 2 = 298\)

\(b)\) \(u_1 = 3. 2^1 = 6\).

\(u_2 = 3. 2^2 = 12\)

\(u_3 = 3. 2^3 = 24\)

\(u_4 = 3. 2^4 = 48\)

\(u_5 = 3. 2^5 = 96\)

\(u_{100} = 3. 2^{100}\)

\(c)\) \(u_1 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{1}\right)^1 = 2\)

\(u_2 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{9}{4}\)

\(u_3 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{3}\right)^3 = \displaystyle \frac{64}{27}\)

\(u_4 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{4}\right)^4 = \displaystyle \frac{625}{256}\)

\(u_5 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{5}\right)^5 = 2,48832\)

\(u_{100} = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{100}\right)^{100} \approx 2,70481\)

\(\)

Bài \(2.2\). Dãy số \((u_n)\) cho bởi hệ thức \truy hồi \(u_1 = 1; u_n = n. u_{n \ – \ 1}\) với \(n \geq 2\).
\(a)\) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
\(b)\) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_1 = 1; u_2 = 2. 1 = 2\)

\(u_3 = 3. 2 = 6\)

\(u_4 = 4. 6 = 24\)

\(u_5 = 5. 24 = 120\)

\(b)\) Ta có: \(u_1 = 1 !\)

\(u_2 = 2 = 2!\)

\(u_3 = 6 = 3!\)

\(u_4 = 24 = 4!\)

\(u_5 = 120 = 5!\)

Suy ra công thức của số hạng tổng quát là:

\(u_n = n!\)

\(\)

Bài \(2.3\). Xét tính tăng, giảm của dãy số \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(u_n = 2n \ – \ 1\);
\(b)\) \(u_n = \ – \ 3n + 2\);
\(c)\) \(u_n = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^{n \ – \ 1}}{2^n}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_2 = 2. 2 \ – \ 1 = 3\)

\(u_1 = 2. 1 \ – \ 1 = 1\)

Ta thấy: \(u_2 = 3 > u_1 = 1\)

Suy ra dãy số là dãy số tăng.

\(b)\) \(u_1 = \ – \ 3. 1 + 2 = \ – \ 1\)

\(u_2 = \ – \ 3. 2 + 2 = \ – \ 4\)

Ta thấy \(u_2 < u_1\)

Suy ra dãy số là dãy số giảm.

\(c)\) \(u_1 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^{1 \ – \ 1}}{2^1} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(u_2 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^{2 \ – \ 1}}{2^2} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4}\)

Ta thấy \(u_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4} < u_1 = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Suy ra dãy số là dãy số giảm.

\(\)

Bài \(2.4\). Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
\(a)\) \(u_n = n \ – \ 1\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2}\);
\(c)\) \(u_n = \sin{n}\);
\(d)\) \(u_n = (\ – \ 1)^{n \ – \ 1}. n^2\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_n = n \ – \ 1 \geq 0 \forall n \in \mathbb{N^*}\)

Suy ra dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới.

\(b)\) Ta có:

\(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2} < 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\)

\(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2} > 0 \forall n \in \mathbb{N^*}\)

Suy ra dãy số bị chặn.

\(c)\) Ta có: \(\ – \ 1 \leq \sin{n} \leq 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\)

Hay \(\ – \ 1 \leq u_n \leq 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.

\(d)\) Ta có: \(\ – \ 1 \leq (\ – \ 1)^n \leq 1\)

\(n^2 \geq 1\)

\(\Rightarrow\) Dãy số \((u_n)\) không bị chặn.

\(\)

Bài \(2.5\). Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
\(a)\) Đều chia hết cho \(3\);
\(b)\) Khi chia cho \(4\) dư \(1\).

Trả lời:

\(a)\) Số hạng tổng quát \(u_n = 3n (\forall n \in \mathbb{N^*})\)

\(b)\) Số hạng tổng quát \(u_n = 4n + 1 (\forall n \in \mathbb{N^*})\)

\(\)

Bài \(2.6\) Ông An gửi tiết kiệm \(100\) triệu đồng kì hạn \(1\) tháng với lãi suất \(6 \%\) một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau \(n\) tháng được cho bởi công thức:
\(A_n = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0,06}{12}\right)^n\).
\(a)\) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
\(b)\) Tìm số tiền ông An nhận được sau \(1\) năm.

Trả lời:

\(a)\) Số tiền ông An nhận được sau \(1\) tháng là:

\(A_1 = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0 06}{12}\right)^1 = 100,5\) (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau \(2\) tháng là:

\(A_2 = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0,06}{12}\right)^2 = 101,0025\) (triệu đồng)

\(b)\) Số tiền ông An nhận được sau \(1\) năm là:

\(A_{12} = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0,06}{12}\right)^{12} = 106,1678\) (triệu đồng)

\(\)

Bài \(2.7\). Chị Hương vay trả góp một khoản tiền \(100\) triệu đồng và đồng ý trả dần \(2\) triệu đồng mỗi tháng với lãi suất \(0,8 \%\) số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi \(A_n (n \in \mathbb{N}\) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau \(n\) tháng.
\(a)\) Tìm lần lượt \(A_0; A_1; A_2; A_3; A_4; A_5, A_6\) để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau \(6\) tháng.
\(b)\) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số \(A_n\).

Trả lời:

Ta có: \(A_0 = 100\) triệu đồng

\(\Rightarrow A_1 = 100 + 100. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 98,8\) triệu đồng

\(A_2 = 98,8 + 98,8. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 97,59\) triệu đồng

\(A_3 = 97,59 + 97,59. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 96,37\) triệu đồng

\(A_4 = 96,37 + 96,37. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 95,14\) triệu đồng

\(A_5 = 95,14 + 95,14. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 93,90\) triệu đồng

\(A_6 = 93,90 + 93,90. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 92,65\) triệu đồng

Vậy sau \(6\) tháng thì số tiền chị Hương còn nợ là \(92,65\) triệu đồng.

\(b)\) Hệ thức truy hồi đối với dãy số \(A_n\) là:

\(A_n = A_{n \ – \ 1} + A_{n \ – \ 1}. 0,008 \ – \ 2\)

\(= 1,008A_{n \ – \ 1} \ – \ 2\) (triệu đồng)

\(\)

Bài 5. Dãy số Bài 5. Dãy số

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương I
Xem bài giải tiếp theo: Cấp số cộng
Xem các bài giải khác:
Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Bình luận
Cũ nhất
Mới nhất Được bỏ phiếu nhiều nhất
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x
×