Bài \(7\). Cấp số nhân \(48\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(2.15\). Xác định công bội, số hạng thứ \(5\), số hạng tổng quát và số hạng thứ \(100\) của mỗi cấp số nhân sau:
\(a)\) \(1, 4, 16;\, … \);
\(b)\) \(2, \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{1}{8}, …\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{4}{1} = \displaystyle \frac{16}{4} = 4\)
Do đó cấp số nhân có công bội \(q = 4\).
Số hạng tổng quát: \(u_n = 4^n \ – \ 1\)
Suy ra: Số hạng thứ \(5\) là:
\(u_5 = 4^{5 \ – \ 1} = 4^4 = 256\)
Số hạng thứ \(100\) là:
\(u_{100} = 4^{100 \ – \ 1} = 4^{99}\)
\(b)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{\frac{\ – \ 1}{2}}{2} = \displaystyle \frac{\frac{1}{8}}{\frac{\ – \ 1}{2}} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4}\)
Do đó cấp số nhân có công bội \(q = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4}\)
Số hạng tổng quát \(u_n = 2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\right)^{n \ – \ 1}\)
Số hạng thứ \(5\) là:
\(u_5 = 2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\right)^{5 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{1}{128}\)
Số hạng thứ \(100\) là:
\(u_{100} = 2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\right)^{100 \ – \ 1} = \ – \ 4,978. 10^{\ – \ 60}\)
\(\)
Bài \(2.16\). Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \((u_n)\) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không? Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội \(q\) và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng \(u_n = u_1. q^{n \ – \ 1}\).
\(a)\) \(u_n = 5n\);
\(b)\) \(u_n = 5^n\);
\(c)\) \(u_1 = 1, u_n = n. u_{n \ – \ 1}\);
\(d)\) \(u_1 = 1, u_n = 5u_{n \ – \ 1}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(u_1 = 5. 1 = 5; u_2 = 5. 2 = 10\);
\(u_3 = 5. 3 = 15; u_4 = 5. 4 = 20; u_5 = 5. 5 = 25\)
Suy ra \(5\) số hạng đầu tiên của dãy là:
\(5; 10; 15; 20; 25\)
Xét \(\displaystyle \frac{10}{5} = 2 \neq \displaystyle \frac{15}{10} = 1,5 \)
Suy ra dãy \((u_n)\) không phải cấp số nhân.
\(b)\) \(5\) số hạng đầu của dãy là:
\(5; 25; 125; 625; 3125\)
Có \(u_n = 5^n \Rightarrow u_{n + 1} = 5^{n + 1}\)
Xét \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \displaystyle \frac{5^{n + 1}}{5^n} = 5 \forall n \geq 2\)
Do đó \((u_n)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\)
Số hạng tổng quát \(u_n = 5. 5^{n \ – \ 1}\)
\(c)\) \(5\) số hạng đầu của dãy là:
\(1; 2; 6; 24; 120\)
Xét \(\displaystyle \frac{2}{1} = 2 \neq \displaystyle \frac{6}{2} = 3\)
Do đó dãy \((u_n)\) không phải cấp số nhân.
\(d)\) \(5\) số hạng đầu của dãy là:
\(1; 5; 25; 125; 625\)
Xét \(\displaystyle \frac{u_n}{u_{n \ – \ 1}} = \displaystyle \frac{5. u_{n \ – \ 1}}{u_{n \ – \ 1}} = 5 \forall n \geq 2\)
Do đó \((u_n)\) là cấp số nhân có công sai \(d = 5\)
Số hạng tổng quát:
\(u_n = 1. 5^{n \ – \ 1} = 5^{n \ – \ 1}\)
\(\)
Bài \(2.17\). Một cấp số nhân có số hạng thứ \(6\) bằng \(96\) và số hạng thứ \(3\) bằng \(12\). Tìm số hạng thứ \(50\) của cấp số nhân này.
Trả lời:
Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \(u_n = u_1. q^{n \ – \ 1}\)
Khi đó ta có:
\(u_3 = u_1. q^2 = 12\)
\(u_6 = u_1. q^5 = 96\)
Suy ra: \(\displaystyle \frac{u_6}{u_3} = \displaystyle \frac{u_1. q^5}{u_1. q^2} = \displaystyle \frac{96}{12} = 8\)
\(\Rightarrow q^3 = 8\)
\(\Rightarrow q = 2\)
\(\Rightarrow u_1 = 3\)
Suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
\(u_n = 3. 2^{n \ – \ 1}\)
Vậy số hạng thứ \(50\) là:
\(u_{50} = 3. 2^{50 \ – \ 1} \approx 1,689. 10^{15}\)
\(\)
Bài \(2.18\). Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \(5\) và công bội bằng \(2\). Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng \(5115\)?
Trả lời:
Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
\(u_n = 5. 2^{n \ – \ 1}\)
Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số nhân cần lấy tổng. Khi đó ta có:
\(S_n = 5115 = \displaystyle \frac{5. (1 \ – \ 2^n)}{1 \ – \ 2} = \ – \ 5. (1 \ – \ 2^n)\)
\(\Rightarrow 5. 2^n \ – \ 5 = 5115\)
\(\Rightarrow 2^n = 1024\)
\(\Rightarrow n = 10\)
Vậy cần lấy tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân để có tổng bằng \(5115\)
\(\)
Bài \(2.19\). Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá \(3\) tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm \(20 \%\) so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau \(5\) năm sử dụng?p
Trả lời:
Sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi lại giảm \(20 \%\) so với giá trị của nó trong năm liền trước đó tức là giá trị của máy ủi năm sau bằng \(0,8\) giá trị trong năm liền trước đó.
Suy ra giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công bội \(q = 0,8\)
Giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau \(5\) năm sử dụng là:
\(u_5 = 3. 0,5^{5 \ – \ 1} = 0,1875\) (tỉ đồng)
\(\)
Bài \(2.20\). Vào năm \(2020\), dân số của một quốc gia là khoảng \(97\) triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số \(0,91 \%\). Nếu tốc độ tăng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm \(2030\).
Trả lời:
Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 97\) và công bội \(q = 1 + 0,91 \% = 1,0091\)
Năm \(2030\) tương ứng với \(n = 11\)
Vậy dân số của quốc gia đó vào năm \(2030\) là:
\(u_{11} = 97. 1,0091^{11 \ – \ 1} = 106,197\) (triệu người)
\(\)
Bài \(2.21\). Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là \(50\) mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc \(10\) ngày liên tiếp.
Trả lời:
Lượng thuốc trong máu mỗi ngày của bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 50\) và công bội \(q = 0,5\)
Khi đó, tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc \(10\) ngày liên tiếp chính là tổng của \(10\) số hạng đầu của cấp số nhân trên và bằng:
\(S_n = \displaystyle \frac{50. (1 \ – \ 0,5^{10})}{1 \ – \ 0,5} = 99,902\) (mg)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 6 – Cấp số cộng
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương II
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.