Ôn tập chương IX trang 59 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
A CÂU HỎI (Trắc nghiệm)
1. Tìm phương án sai trong câu sau: Trong tam giác
A. đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất
B. đối diện với cạnh bé nhất là góc nhọn
C. đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù
D. đối diện với góc tù (nếu có) là cạnh lớn nhất
Giải
C. Sai vì trong tam giác vuông đối diện cạnh lớn nhất là góc vuông.
Chọn đáp án C.
\(\)
2. Bộ ba số nào sau đây không là độ dài ba cạnh của một tam giác?
A. 7, 5, 7
B. 7, 7, 7
C. 3, 5, 4
D. 4, 7, 3
Giải
D. 4 + 3 = 7 ⇒ Bộ ba số 4, 7, 3 không là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chọn đáp án D.
\(\)
3. Tam giác cân có độ dài cạnh bên b; độ dài cạnh đáy d thì ta phải có:
A. d > b
B. d = 2b
C. d < \(\displaystyle\frac{b}{2}\)
D. d < 2b
Giải
Tam giác cân có hai cạnh bên b; cạnh đáy d theo bất đẳng thức trong tam giác suy ra
b + b > d.
2b > d.
Vậy suy ra d < 2b.
Chọn đáp án D.
\(\)
4. Với mọi tam giác ta đều có:
A. mỗi cạnh lớn hơn nửa chu vi
B. mỗi cạnh lớn hơn hoặc bằng nửa chu vi
C. mỗi cạnh nhỏ hơn nửa chu vi
D. cả ba trường hợp trên đều có thể xảy ra
Giải
Theo bất đẳng thức tam giác: a < b + c ⇒ a + a < a + b + c
⇒ 2a < a + b + c.
⇒ a < \(\displaystyle\frac{a+b+c}{2}\)
Vậy mỗi cạnh nhỏ hơn nửa chu vi.
Chọn đáp án C.
\(\)
5. Xét hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC có BC = 4 cm. Trong các số sau, số nào có thể là tổng độ dài BM + CN?
A. 5 cm
B. 5,5 cm
C. 6 cm
D. 6,5 cm
Giải
G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
\(BG=\displaystyle\frac{2}{3}BM;\ CG=\displaystyle\frac{2}{3}CN.\)
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
BG + CG > BC
\(⇒\displaystyle\frac{2}{3}BM+\displaystyle\frac{2}{3}CN>BC\)
\(\displaystyle\frac{2}{3}(BM+CN)>BC\)
\(⇒BM+CN>\displaystyle\frac{3}{2}BC=\displaystyle\frac{3}{2}.4=6\) (cm)
Vậy tổng độ dài BM + CN có thể là 6,5 cm.
Chọn đáp án D.
\(\)
6. Tam giác ABC có số đo ba góc thỏa mãn \(\widehat{A} =\widehat{B} +\widehat{C}.\) Hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại điểm I. Khi đó góc BIC có số đo là:
A. \(120^o\) \(\hspace{2cm}\) B. \(125^o\)
C. \(130^o\) \(\hspace{2cm}\) D. \(135^o\)
Giải
Ta có : \(\widehat{A} =\widehat{B} +\widehat{C}\)
Xét tam giác ABC có:
\(\widehat{A} +\widehat{B} +\widehat{C} =180^o\)
\(⇒\widehat{A}+\widehat{A}=180^o ⇒ 2\widehat{A}=180^o\)
\(⇒\widehat{A}=90^o\)
\(⇒\widehat{A} =\widehat{B} +\widehat{C}=90^o\)
Tam giác IBC có: \(\widehat{BIC} =180^o-\left(\displaystyle\frac{\widehat{B}}{2} +\displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}\right)\)
\(=180^o-\left(\displaystyle\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\right)=180^o-\displaystyle\frac{90^o}{2}=135^o.\)
Chọn đáp án D.
\(\)
B BÀI TẬP
9.23. Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh:
a) \(\widehat{BDC} >\widehat{BAC}\)
b) BD + DC < AB + AC
Giải
a) Tia AD chia \(\widehat{A}\) thành \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{A_2}\), chia góc \(\widehat{BDC}\) thành \(\widehat{D_1}\) và \(\widehat{D_2}.\)
\(\widehat{D_1}\) là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ABD nên:
\(\widehat{D_1}=\widehat{A_1}+\widehat{ABD} ⇒ \widehat{D_1} >\widehat{A_1}\)
\(\widehat{D_2}\) là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ADC nên:
\(\widehat{D_2}=\widehat{A_2}+\widehat{ACD} ⇒ \widehat{D_2} >\widehat{A_2}\)
\(⇒ \widehat{D} =\widehat{D_1} +\widehat{D_2} >\widehat{A_1} +\widehat{A_2} =\widehat{A}\)
b) Gọi E là giao điểm của BD và AC.
Ta có: AB + AC = AB + AE + EC.
Mà: AB + AE > BE (bất đẳng thức trong tam giác ABE).
⇒ (AB + AE) + EC > BE + EC = (BD + DE) + EC = BD + (DE + EC).
Mà DE + EC > DC (bất đẳng thức trong tam giác DEC).
⇒ AB + AC > BD + DC.
\(\)
9.24. Cho M là một điểm tùy ý bên trong tam giác đều ABC. Lấy điểm N nằm khác phía với M đối với đường thẳng AC sao cho \(\widehat{CAN}=\widehat{BAM}\) và AN = AM. Chứng minh:
a) Tam giác AMN là tam giác đều;
b) \(ΔMAB = ΔNAC\);
c) MN = MA, NC = MB.
Giải
a) Ta có: \(\widehat{MAN} =\widehat{MAC} +\widehat{CAN}\) \(=\widehat{MAC}+\widehat{MAB} =\widehat{BAC} =60^o\) (do tam giác ABC đều).
Lại có: AM = AN nên suy ra tam giác AMN cân tại A.
Vậy tam giác AMN là tam giác đều.
b) Tam giác ABC đều nên suy ra AB = AC.
Xét hai tam giác MAB và NAC có:
AB = AC (chứng minh trên);
\(\widehat{MAB} =\widehat{NAC}\) (theo giả thiết);
AM = AN (theo giả thiết).
Do đó ∆MAB = ∆NAC (c.g.c).
c) Vì tam giác AMN đều nên MN = MA.
Vì \(∆MAB = ∆NAC\) nên MB = NC (hai cạnh tương ứng).
\(\)
9.25. Xét tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại E; đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh:
a) AE < EC; \(\hspace{2cm}\) b) BK = BC.
Giải
a) Đường thẳng EK cắt BC tại H.
Do E nằm trên đường thẳng BE là đường phân giác của góc KBC nên EA = EH.
EH < EC (do EC là cạnh huyền của tam giác EHC vuông tại H).
Suy ra AE < EC.
b) E là giao của hai đường cao CA VÀ KH của tam giác BKC nên E là trực tâm của tam giác BKC.
Suy ra BE cũng là đường cao của tam giác BKC.
Do BE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác BKC.
Nên tam giác BKC cân tại B.
Vậy BK = BC.
\(\)
9.26. Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. Một đường thẳng qua C cắt Ax tại M, cắt By tại P. Điểm N nằm trên tia đối của tia BP sao cho góc MCN là góc vuông. Gọi H là hình chiếu của C trên MN.
Chứng minh:
a) AM + BN = MN;
b) CM là đường trung trực của AH, CN là đường trung trực của BH;
c) Góc AHB là góc vuông.
Giải
a) Xét hai tam giác vuông AMC và BPC có:
AC = CB (theo giả thiết);
\(\widehat{ACM} =\widehat{BCP}\) (hai góc đối đỉnh).
Vậy \(ΔAMC=ΔBPC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn).
Suy ra MC = CP (hai cạnh tương ứng).
Mà NC ⊥ MP nên NC là đường trung trực của MP.
Tam giác NMP cân tại N.
Suy ra \(\widehat{P_1}=\widehat{M_2}.\)
Mà \(\widehat{P_1} =\widehat{M_1}\) (so le trong do Mx // By).
Suy ra \(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}.\)
Xét hai tam giác vuông AMC và HMC có:
MC là cạnh huyền chung;
\(\widehat{M_1} =\widehat{M_2}\) (chứng minh trên);
Vậy \(ΔAMC=ΔHMC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AM = MH (hai cạnh tương ứng).
Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.
Suy ra \(\widehat{N_1}=\widehat{N_2}.\)
Xét hai tam giác vuông HNC và BNC có:
CN là cạnh huyền chung;
\(\widehat{N_1} =\widehat{N_2}\) (chứng minh trên);
Vậy \(ΔCHN=ΔCBN\) (cạnh huyền – góc nhọn)
NH = NB (hai cạnh tương ứng).
Vậy AM + BN = MH + HN = MN AM + BN = MH + HN = MN.
b) Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M.
⇒ MC là đồng thời là đường trung trực của AH.
Tam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N.
⇒ NC đồng thời là đường trung trực của BH.
c) Xét tam giác HAB có CA = CB nên HC là đường trung tuyến của tam giác HAB.
Vì \(ΔAMC=ΔHMC\) (cmt) suy ra AC = HC (hai cạnh tương ứng).
Vậy HC = CA = CB.
Đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.
Vậy tam giác HAB vuông tại H.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
