Luyện tập chung

Chương 4 – Luyện tập chung trang 88 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

4.13. Tìm độ dài x trong Hình 4.30.

Giải

Ta có \(\widehat{DEM}=\widehat{EMN}\) (giả thiết), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // ED.

Suy ra \(\displaystyle\frac{FN}{NE}=\displaystyle\frac{FM}{MD}\) (định lí Thalès trong tam giác),

hay \(\displaystyle\frac{x}{6}=\displaystyle\frac{2}{3},\) suy ra \(x=\displaystyle\frac{2.6}{3}=4.\)

\(\)

4.14. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) Chứng minh EF // CD, FK // AB.

b) So sánh EF và \(\displaystyle\frac{1}{2}\)(AB+CD).

Giải

a) ΔACD có E, K lần lượt là trung điểm của AD, AC nên EK là đường trung bình của ΔACD suy ra EK // CD.

ΔABC có K, F lần lượt là trung điểm của AC, BC nên KF là đường trung bình của ΔABC suy ra KF // AB.

Vậy EK // CD, FK // AB.

b) Vì EK là đường trung bình của ΔACD nên EK = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)CD;

Vì KF là đường trung bình của ΔABC nên KF = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB.

Do đó EK + KF = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)(AB + CD).

Xét ΔKEF ta có: EF < EK + KF (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra EF < \(\displaystyle\frac{1}{2}\)(AB + CD).

\(\)

4.15. Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng \(\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{EC}{EA}.\)

Giải

Trong ΔABC có AD là phân giác góc A suy ra \(\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{CD}{BD}\) (1)

ED // AB suy ra \(\displaystyle\frac{EC}{EA}=\displaystyle\frac{CD}{BD}\) (định lí Thalès trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{EC}{EA}.\)

\(\)

4.16. Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

Giải

a) Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác góc A.

Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{15}{20}.\)

\(\displaystyle\frac{DB}{DB+DC}=\displaystyle\frac{15}{15+20}\) (tính chất tỉ lệ thức)

\(⇒\displaystyle\frac{DB}{BC}=\displaystyle\frac{15}{35}\) hay \(\displaystyle\frac{DB}{25}=\displaystyle\frac{15}{35}.\)

Suy ra \(DB=\displaystyle\frac{15.25}{35}=\displaystyle\frac{75}{7}\) (cm); \(DC=25-\displaystyle\frac{75}{7}=\displaystyle\frac{100}{7}\) (cm).

b) Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC, ta gọi đường cao đó là AH.

Ta có: \(S_{ABD}=\displaystyle\frac{1}{2}AH.DB;\) \(S_{ADC}=\displaystyle\frac{1}{2}AH.DC.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}AH.BD}{\displaystyle\frac{1}{2}AH.DC}=\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD bằng \(\displaystyle\frac{3}{4}.\)

\(\)

4.17. Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng: \(DM^2 = MN . MK.\)

Giải