Luyện tập chung

Chương 7 – Luyện tập chung trang 35 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

7.18. Cho các đơn thức: \(2x^6;\) \(-5x^3;\) \(-3x^5;\) \(x^3;\) \(\displaystyle\frac{3}{5}x^2;\) \(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2;\) \(8;\ -3x.\) Gọi A là tổng của các đơn thức đã cho.

a) Hãy thu gọn tổng A và sắp xếp các hạng tử để được một đa thức.

b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và hệ số của \(x^2\) của đa thức thu được.

Giải

a) \(A=2x^6+(-5x^3)+(-3x^5;)+x^3+\displaystyle\frac{3}{5}x^2\)\(+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right)+8+ (-3x)\)

\(= 2x^6-3x^5 + (-5x^3 + x^3) + \left(\displaystyle\frac{3}{5}x^2-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right)\)\(-3x + 8\)

\(= 2x^6-3x^5 + (-4x^3) + \left(\displaystyle\frac{6}{10}x^2-\displaystyle\frac{5}{10}x^2\right)\)\(-3x + 8\)

\(= 2x^6-3x^5-4x^3 + \displaystyle\frac{1}{10}x^2-3x + 8.\)

b) Trong đa thức A hạng tử có bậc cao nhất là \(2x^6\) nên hệ số cao nhất là \(2,\) hệ số tự do là \(8,\) hệ số của \(x^2\) là \(\displaystyle\frac{1}{10}.\)

\(\)

7.19. Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được thiết kế với kích thước theo tỉ lệ:

Chiều cao : chiều rộng : chiều dài \(= 1 : 2 : 3.\)

Trong bể hiện còn \(0,7\ m^3\) nước. Gọi chiều cao của bể là x (mét).

Hãy viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước. Xác định bậc của đa thức đó.

Giải

Vì chiều cao : chiều rộng : chiều dài \(= 1 : 2 : 3,\) mà chiều cao của bể là \(x\) nên chiều rộng là : \(2x,\) chiều dài là: \(3x.\)

Thể tích bể là: \(V = x\ .\ 2x\ .\ 3x = (2.3).(x.x.x) = 6x^3\ (m^3).\)

Số mét khối nước cần bơm là: \(V-0,7 = 6x^3-0,7\ (m^3).\)

Vậy đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước là \(6x^3-0,7\ (m^3).\)

Đa thức này có bậc là \(3.\)

\(\)

7.20. Ngoài thang nhiệt độ Celsius (độ C), nhiều nước còn dùng thang nhiệt độ Fahrenheit, gọi là độ F để đo nhiệt độ trong dự báo thời tiết. Muốn tính xem \(x\ ^oC\) tương ứng với bao nhiêu độ F, ta dùng công thức:

\(T(x) = 1,8x + 32.\)

Chẳng hạn, \(0^oC\) tương ứng với \(T(0) = 32\ (^oF).\)

a) Hỏi \(0^oF\) tương ứng với bao nhiêu độ C?

b) Nhiệt độ vào một ngày mùa hè ở Hà Nội là \(35^oC.\) Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ F?

c) Nhiệt độ vào một ngày mùa đông ở New York (Mỹ) là \(41^oF.\) Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ C?

Giải

a) Ta có \(T(x) = 0 (^oF)\)

\(1,8x + 32 = 0\)

\(1,8x = -32\)

\(x = -32 : 1,8\)

\(x = -\displaystyle\frac{160}{9} ≈ -18.\)

Vậy \(0^oF\) tương ứng với khoảng \(-18^oC.\)

b) Ta có \(T(35) = 1,8 . 35 + 32 = 63 + 32 = 95.\)

Vậy \(35^oC\) tương ứng với \(95^oF.\)

c) Ta có \(T(x) = 41\)

\(1,8x + 32 = 41\)

\(1,8x = 41-32\)

\(1,8x = 9\)

\(x = 9 : 1,8\)

\(x = 5.\)

Vậy \(41^oF\) tương ứng với \(5^oC.\)

\(\)

7.21. Cho hai đa thức \(P = -5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + x-3\) và \(Q = 5x^4-4x^3-x^2 + 3x + 3.\)

a) Xác định bậc của mỗi đa thức \(P + Q\) và \(P-Q.\)

b) Tính giá trị của mỗi đa thức \(P + Q\) và \(P-Q\) tại \(x = 1;\ x = -1.\)

c) Đa thức nào trong hai đa thức \(P + Q\) và \(P-Q\) có nghiệm là \(x = 0\)?

Giải

Đa thức \(P + Q\) có bậc là \(3.\)

Đa thức \(P-Q\) có bậc là \(4.\)

b) Thay \(x = 1\) vào đa thức \(P + Q\) ta có:

\(P + Q = -1^3 + 6 . 1^2 + 4 . 1 = -1 + 6 + 4 = 9.\)

Thay \(x = -1\) vào đa thức \(P + Q\) ta có:

\(P + Q = -(-1)^3 + 6 . (-1)^2 + 4 . (-1)\)\(= -(-1) + 6 . 1-4 = 3.\)

Thay \(x = 1\) vào đa thức \(P-Q\) ta có:

\(P-Q = -10 . 1^4 + 7 . 1^3 + 8 . 1^2-2 . 1-6\)\(= -10 + 7 + 8-2-6 = -3.\)

Thay \(x = -1\) vào đa thức \(P-Q\) ta có:

\(P-Q = -10 . (-1)^4 + 7 . (-1)^3 + 8 . (-1)^2\)\(-2 . (-1)-6\)

\(=-10 . 1 + 7 . (-1) + 8 . 1 + 2-6=-13.\)

c) Ta thấy đa thức \(P + Q =-x^3 + 6x^2 + 4x\) có hệ số tự do bằng \(0\) nên đa thức \(P + Q\) có nghiệm \(x = 0.\)

Thay \(x = 0\) vào đa thức \(P-Q\) ta có:

\(P-Q = -10 . 0^4 + 7 . 0^3 + 8 . 0^2-2 . 0-6 = -6.\)

Do đó \(x = 0\) không là nghiệm của đa thức \(P-Q.\)

Vậy \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(P + Q.\)

\(\)

7.22. Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội-Lào Cai) với vận tốc 60 km/h. Sau đó 25 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái (đi cùng đường với xe khách) với vận tốc 85 km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.

a) Gọi D(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và K(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được x giờ. Tìm D(x) và K(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức f(x) = K(x) – D(x) có nghiệm \(x = 1.\) Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm x = 1 của đa thức f(x).

Giải

a) Đổi \(25\) phút \(= \displaystyle\frac{5}{12}\) giờ

Khi xe du lịch đi được x giờ thì xe khách đã đi được: \(x + \displaystyle\frac{5}{12}\) giờ

Ta được: \(D(x) = 85x.\)

\(K(x) = 60. \left(x + \displaystyle\frac{5}{12}\right) = 60x + 25.\)

b) \(f(x) = K(x)-D(x) = 60x + 25-85x\) \(= (60x-75x) + 25 = -25x + 25.\)

Ta có: \(f(1) = -25 . 1 + 25 = 0\) nên \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(f(x).\)

Vậy sau \(1\) giờ kể thì xe du lịch đuổi kịp xe khách.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Xem bài giải tiếp theo: Bài 27: Phép nhân đa thức một biến