Chương I – Bài 1: Mệnh đề

Chương I – Bài 1: Mệnh đề trang 7 SGK Toán Lớp 10 Tập 1 NXB Chân trời sáng tạo. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến?

a) \(3 + 2 > 5\);

b) \(1 \ – \ 2x = 0\);

c) \( x \ – \ y = 2\);

d) \(1 \ – \ \sqrt{2} < 0\).

Trả lời:

+ Khẳng định \(3 \ + \ 2 > 5\) có thể xác định được tính đúng, sai. Vì vậy khẳng định a là mệnh đề.

+ Khẳng định \(1 \ – \ 2x = 0\) không xác định được tính đúng, sai mà phụ thuộc vào giá trị của biến x. Vì vậy khẳng định b là mệnh đề chứa biến.

+ Khẳng định \(x \ – \ y = 2\) không xác định được tính đúng, sai mà phụ thuộc vào giá trị của biến x và y. Vì vậy khẳng định c là mệnh đề chứa biến.

+ Khẳng định \(1 \ – \ \sqrt{2} < 0\) là một khẳng định có thể xác định được tính đúng, sai. Vì vậy khẳng định d là mệnh đề.

\(\)

Bài 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.

a) \(2019\) chia hết cho \(3\)

b) \(\pi < 3,15\);

c) Nước ta hiện nay có \(5 \)thành phố trực thuộc Trung ương;

d) Tam giác có hai góc bằng \(45^o\) là tam giác vuông cân.

Trả lời:

a) Gọi mệnh đề “\(2019\) chia hết cho \(3\)” là P

Ta có: \(2 + 0 + 1 + 9 = 12\) là số chia hết cho \(3\) nên \(2019\) chia hết cho \(3.\) Do đó mệnh đề P là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline{P}\) : “\(2019\) không chia hết cho \(3\)”.

b) Gọi mệnh đề “\(\pi < 3,15\)” là Q

Ta có: \(\pi \approx 3,14 < 3,15\). Do đó mệnh đề Q là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là \(\overline{Q}: “\pi \geq 3,15”\).

c) Gọi mệnh đề “Nước ta hiện nay có \(5\) thành phố trực thuộc Trung ương” là M

Nước ta hiện nay có \(85\) thành phố, gồm \(5\) thành phố trực thuộc Trung ương là Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh và Cần Thơ.

Do đó mệnh đề M là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề M là \(\overline{M}\) : “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc Trung ương”.

d) Gọi mệnh đề “Tam giác có hai góc bằng \(45^o\) là tam giác vuông cân” là N

Xét tam giác ABC có \(\widehat{A}= \widehat{B}=45^o\)

Ta lại có: \(\widehat{A}+ \widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (theo định lý Py–ta-go)

\(\rightarrow \widehat{C}=180^o – (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^o – ( 45^o + 45^o) = 90^o\)

\(\rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C 

Mà  \(\widehat{A} = \widehat{B} = 45^o\) nên \(\Delta\) ABC cân tại C

Do đó mệnh đề N là mệnh đề đúng. 

Mệnh đề phủ định của mệnh đề N là \(\overline{N}\) : “Tam giác có hai góc bằng \(45^o\) không phải là tam giác vuông cân”.

\(\)

Bài 3. Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”;

Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”.

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

Trả lời:

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) như sau:

\(P \Rightarrow Q\): Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Xét hình bình hành ABCD:

Theo tính chất của hình bình hành, ta có hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 

Do đó mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu như sau: 

\(Q \Rightarrow P\): Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

\(\)

Bài 4. Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”;

R: “Có số thực x sao cho \(x^2 \ + \ 2x \ – \ 1=0\)”;

a) Xét tính đúng, sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu \(\forall, \exists\) để viết lại các mệnh đề đã cho.

Trả lời:

a) + Ta có \(\left | x \right |= \left\{ \begin{matrix} x \ khi \ x \geq 0 \\ \ -x \ khi \ x < 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left | x \right | \geq x\) nên mệnh đề P đúng.

+ Có \(2\) số có bình phương bằng \(10\) đó là: \(\sqrt{10}\) và \(-\sqrt{10}\)

Mà 2 số này không phải số tự nhiên nên mệnh đề Q là sai.

+ Có \(x=−1 \ + \ \sqrt{2}\) thỏa mãn \(x^2 \ + \ 2x \ − \ 1=0\) và \(x=−1 \ + \ \sqrt{2}\) là số thực nên mệnh đề R là đúng.

b) Ta có thể viết lại các mệnh đề trên như sau:

Mệnh đề P: \(\forall \ x \ \in \mathbb{R}, \left | x \right | \geq x\)

Mệnh đề Q: \(\exists \ n \ \in \mathbb{N}, n^2 = 10\)

Mệnh đề R: \(\exists \ x \ \in \mathbb{R}, x^2 \ + \ 2x \ − \ 1=0\)

\(\)

Bài 5. Xét tính đúng, sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:

a) \(\exists \ x \ \in \mathbb{N}, x + 3 = 0\);

b) \(\forall \ x \ \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \geq 2x\);

c) \(\forall \ a \ \in \mathbb{R}, \sqrt (a^2) = a\).

Trả lời:

a) Ta có: \(x + 3 = 0 \leftrightarrow x = -3 \)

Mà \(-3 \notin \mathbb{N}\) nên mệnh đề a sai

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: \(“ \forall x \in \mathbb{N}, x+3 \neq 0 ”\).

b) Xét \(x^2 \ + \ 1 \geq 2x \leftrightarrow x^2 \ – \ 2x + 1 \geq 0\) hay \(( x \ – \ 1 )^2 \geq 0\) luôn đúng với mọi số thực x

\(\rightarrow\) mệnh đề b đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề b là : \(“\exists \ x \ \in \mathbb{R}, x^2 \ + \ 1 < 2x ”\)

 c) Xét với \(a= -1\)

Ta có \(a \in \mathbb{R}\) và \(\sqrt{a^2} = \sqrt{(-1)^2} = 1 \neq a = -1\)

\(\rightarrow\) mệnh đề c sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề c là: “ \(\exists \ a \ \in \mathbb{R}, \sqrt{a^2} < a\)”.

\(\)

Bài 6. Cho các định lý:

P: ” Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”;

Q: ” Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c ” ( a, b, c \in \mathbb{R}\))

a) Chỉ ra giả thuyết và kết luận của mỗi định lý.

b) Phát biểu lại mỗi định lý đã cho, sử dụng “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lý đó có là định lý không?

Trả lời:

a) +) Định lý P viết dưới dạng mệnh đề X \(\Rightarrow\) Y với X là ” Hai tam giác bằng nhau” và Y là “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”.

Giả thiết là mệnh đề X: “Hai tam giác bằng nhau”

Kết luận là mệnh đề Y: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

+) Định lý Q viết dưới dạng mệnh đề \(M \Rightarrow N\) với M là \(” a < b “\) và N là \(” a+ c < b + c”\)

Giả thiết là mệnh đề M: ” a < b “

Kết luận là mệnh đề N: ” a + c < b + c “

b)+) Mệnh đề P được phát biểu lại như sau:

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích của chúng bằng nhau.

Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau.

+) Mệnh đề Q có thể phát biểu lại như sau:

a < b là điều kiện đủ để có a + c < b + c

a + c < b + c là điều kiện cần để có a < b

c) + Mệnh đề đảo của định lý P được phát biểu như sau: ” Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau.”

Xét hai tam giác sau ABC và DFG có cùng diện tích là \(6\) (đvdt) nhưng hai tam giác này không bằng nhau

(như hình).

\(\Rightarrow\) Mệnh đề đảo là sai.

Do đó mệnh đề đảo của định lí P không phải là định lí.

+ Mệnh đề đảo của định lí Q được phát biểu như sau: “Nếu a + c < b + c thì a < b”.

Mệnh đề này là một mệnh đề đúng, vì:

Ta có: a + c < b + c 

\(\Rightarrow a + c + (-c) < b + c + (-c)\)

\(\Rightarrow a < b.\)

Do đó mệnh đề đảo của định lí Q là một định lí.

\(\)
Bài 7. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lý sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương;

b) Một hình bình hành là hình thoi khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Trả lời:

Các định lí trên có thể được phát biểu là:

a) Một phương trình bậc hai có biệt thức dương là điều kiện cần và đủ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

b) Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi.

Chương I – Bài 1: Mệnh đề

Xem bài giải trước:
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Tập hợp
Xem thêm các bài giải khác tại: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao/

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech