Chương 1 - Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ

Chương \(1\) – Bài \(3\). Lũy thừa của một số hữu tỉ trang \(20\) sách giáo khoa toán lớp \(7\) tập \(1\) NXB Chân Trời Sáng Tạo.

\(1.\) Viết các số sau dưới dạng lũy thừa với số mũ lớn hơn \(1\): \(0,49;\ \displaystyle\frac{1}{32};\ \displaystyle\frac{-8}{125};\ \displaystyle\frac{16}{81};\ \displaystyle\frac{121}{169};\ 0,0625.\)

Giải

\(0,49 = \displaystyle\frac{49}{100} = \displaystyle\frac{7^2}{10^2} = \left(\displaystyle\frac{7}{10}\right)^{2};\)

\(\displaystyle\frac{1}{32}=\displaystyle\frac{1^5}{2^5}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5;\)

\(\displaystyle\frac{-8}{125} = \displaystyle\frac{-2^3}{5^3} = \left(\displaystyle\frac{-2}{5}\right)^{3};\)

\(\displaystyle\frac{16}{81}=\displaystyle\frac{4^2}{9^2}=\left(\displaystyle\frac{4}{9}\right)^{2};\)

\(\displaystyle\frac{121}{169}=\displaystyle\frac{11^2}{13^2}=\left(\displaystyle\frac{11}{13}\right)^{2}.\)

\(\)

\(2.\) a) Tính: \(\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^5;\ \left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^4;\ \left(-2\displaystyle\frac{1}{4}\right)^3;\ (-0,3)^5;\ (-25,7)^0.\)

b) Tính: \(\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2;\ \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3;\ \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4;\ \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5.\)

Hãy rút ra nhận xét về dấu của lũy thừa với số mũ chẵn và lũy thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm.

Giải

a) \(\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^5=\displaystyle\frac{(-1)^5}{2^5}=\displaystyle\frac{-1}{32};\)

\(\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^4=\displaystyle\frac{(-2)^4}{3^4}=\displaystyle\frac{16}{81};\)

\(\left(-2\displaystyle\frac{1}{4}\right)^3= \left(-\displaystyle\frac{2.4+1}{4}\right)^3=\left(\displaystyle\frac{-9}{4}\right)^3=\displaystyle\frac{(-9)^3}{4^3}=\displaystyle\frac{-729}{64};\)

\((-0,3)^5=\left(\displaystyle\frac{-3}{10}\right)^5=\displaystyle\frac{(-3)^5}{10^5}=\displaystyle\frac{-243}{100000};\)

\((-25,7)^0=1\)

b) \(\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{(-1)^2}{3^2}=\displaystyle\frac{1}{9};\)

\(\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{(-1)^3}{3^3}=\displaystyle\frac{-1}{27};\)

\(\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)^4=\displaystyle\frac{(-1)^4}{3^4}=\displaystyle\frac{1}{81};\)

\(\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)^5=\displaystyle\frac{(-1)^5}{3^5}=\displaystyle\frac{-1}{243}.\)

Với số hữu tỉ âm, khi lũy thừa là số mũ chẵn thì cho kết quả là một số hữu tỉ dương, khi lũy thừa là số mũ lẻ thì cho kết quả là một số hữu tỉ âm.

\(\)

\(3.\) Tìm x, biết:

a) \(x:\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^3=-\displaystyle\frac{1}{2}; \hspace{3cm} b)\ x.\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^7=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^9;\)

c) \(\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^{11}:x=\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^9; \hspace{2cm} d)\ x.(0,25)^6=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^8.\)

Giải

a) \(x:\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^3=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(x=-\displaystyle\frac{1}{2}.\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^3\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^4=\displaystyle\frac{1}{16}.\)

b) \(x.\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^7=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^9\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^9:\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^7\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{9}{25}\)

c) \(\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^{11}:x=\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^9\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^{11}:\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^9\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{9}.\)

d) \(x.(0,25)^6=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^8\)

\(=x.\left(\displaystyle\frac{1}{4}^6\right)=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^8\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^8:\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^6\)

\(x=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{16}\)

\(\)

\(4.\) Viết các số \((0,25)^8;\ (0,125)^4;\ (0,0625)^2\) dưới dạng lũy thừa cơ số 0,5.

Giải

\((0,25)^8=\left(\displaystyle\frac{25}{100}\right)^8=\left(\displaystyle\frac{5^2}{10^2}\right)^8=\left[\left(\displaystyle\frac{5}{10}\right)^2\right]^8=\left[(0,5)^2\right]^8=(0,5)^{2.8}=(0,5)^{16}.\)

\(\)

\((0,125)^4=\left(\displaystyle\frac{125}{1000}\right)^4=\left(\displaystyle\frac{5^3}{10^3}\right)^4=\left[\left(\displaystyle\frac{5}{10}\right)^3\right]^4=\left[(0,5)^3\right]^4=(0,5)^{3.4}=(0,5)^{12}.\)

\(\)

\((0,0625)^2=\left(\displaystyle\frac{625}{10000}\right)^2=\left(\displaystyle\frac{5^4}{10^4}\right)^2=\left[\left(\displaystyle\frac{5}{10}\right)^4\right]^2=\left[(0,5)^4\right]^2=(0,5)^{4.2}=(0,5)^{8}.\)

\(\)

\(5.\) Tính nhanh.

\(\hspace{2cm} M = (100\ – 1).(100\ – 2^2). (100\ – 3^2)…(100\ – 50^2).\)

Giải

\(M = (100\ – 1) . (100\ – 2^2) . (100\ – 3^2) … (100\ – 50^2).\)

\(M = (100\ – 1) . (100\ – 2^2) . (100\ – 3^2) … (100\ – 9^2) . (100\ – 10^2) … (100\ – 50^2)\)

\(M = (100\ – 1) . (100\ – 2^2) . (100\ – 3^2) … (100\ – 9^2) . (100\ – 100) … (100\ – 50^2)\)

\(M = (100\ – 1) . (100\ – 2^2) . (100\ – 3^2) … (100\ – 9^2) . 0 … (100\ – 50^2)\)

\(M = 0.\)

\(\)

\(6.\) Tính:

a) \(\left[\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^4.\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^5\right]:\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^7;\)

b) \(\left[\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^5:\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^4\right].\displaystyle\frac{7}{8};\)

c) \(\left[(0,6)^3.(0,6)^8\right]:\left[(0,6)^7.(0,6)^2\right].\)

Giải

a) \(\left[\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^4.\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^5\right]:\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^7=\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^{9}:\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^7=\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^2=\displaystyle\frac{9}{49};\)

b) \(\left[\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^5:\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right)^4\right].\displaystyle\frac{7}{8}=\displaystyle\frac{7}{8}.\displaystyle\frac{7}{8}=\displaystyle\frac{49}{64};\)

c) \(\left[(0,6)^3.(0,6)^8\right]:\left[(0,6)^7.(0,6)^2\right]=(0,6)^{11}:(0,6)^9=(0,6)^2=0,36.\)

\(\)

\(7.\) Tính:

a) \(\left(\displaystyle\frac{2}{5}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2; \qquad b)\left(0,75-1\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3;\)

c) \(\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:(0,36)^5; \qquad d)\left(1-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^8:\left(\displaystyle\frac{4}{9}\right)^3.\)

Giải

a) \(\left(\displaystyle\frac{2}{5}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\left(\displaystyle\frac{4}{10}+\displaystyle\frac{5}{10}\right)^2=\left(\displaystyle\frac{9}{10}\right)^2=\displaystyle\frac{81}{100};\)

b) \(\left(0,75-1\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3=\left(\displaystyle\frac{3}{4}-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^3=\left(\displaystyle\frac{3}{4}-\displaystyle\frac{6}{4}\right)^3=\left(\displaystyle\frac{-3}{4}\right)^3=\displaystyle\frac{27}{64};\)

c) \(\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:(0,36)^5=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:\left(\displaystyle\frac{36}{100}\right)^{5}=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:\left(\displaystyle\frac{9}{25}\right)^5\)

\(=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:\left(\displaystyle\frac{3^2}{5^2}\right)^5=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{2.5}=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15}:\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{10}\)

\(=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{15-10}=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{5}=\displaystyle\frac{243}{3125};\)

d) \(\left(1-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^8:\left(\displaystyle\frac{4}{9}\right)^3=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^8:\left[\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2\right]^3\)

\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^8:\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^6=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{9}.\)

\(\)

\(8.\) Tính giá trị các biểu thức.

a) \(\displaystyle\frac{4^3.9^{7}}{27^5.8^2}; \hspace{4,5cm} b) \displaystyle\frac{(-2)^3.(-2)^7}{3.4^6};\)

c) \(\displaystyle\frac{(0,2)^5.(0,09)^3}{(0,2)^7.(0,3)^4} \hspace{3cm} d)\ \displaystyle\frac{2^3+2^4+2^5}{7^2}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{4^3.9^{7}}{27^5.8^2}=\displaystyle\frac{(2^2)^3.(3^2)^7}{(3^3)^5.(2^3)^2}=\displaystyle\frac{2^6.3^{14}}{3^{15}.2^6}=\displaystyle\frac{1}{3};\)

b) \(\displaystyle\frac{(-2)^3.(-2)^7}{3.4^6}=\displaystyle\frac{(-2)^{10}}{3.(2^2)^{6}}=\displaystyle\frac{2^{10}}{3.2^{12}}=\displaystyle\frac{1}{3.2^2}=\displaystyle\frac{1}{12};\)

c) \(\displaystyle\frac{(0,2)^5.(0,09)^3}{(0,2)^7.(0,3)^4}=\displaystyle\frac{[(0,3)^2]^3}{(0,2)^2.(0,3)^4}=\displaystyle\frac{(0,3)^6}{(0,2)^2.(0,3^4)}\)

\(=\displaystyle\frac{(0,3)^2}{(0,2)^2}=\left(\displaystyle\frac{0,3}{0,2}\right)^2=\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{9}{4};\)

d) \(\displaystyle\frac{2^3+2^4+2^5}{7^2}=\displaystyle\frac{8+16+32}{49}=\displaystyle\frac{56}{49}=\displaystyle\frac{8}{7}.\)

\(\)

\(9.\) a) Khối lượng của Trái Đất khoảng \(5,97.10^{24}\)kg, khối lượng của Mặt Trăng khoảng \(7,35.10^{22}\)kg. Tính tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng.

b) Sao Mộc cách Trái Đất khoảng \(8,27.10^8\)km, Sao Thiên Vương cách Trái Đất khoảng \(3,09.10^9\)km. Sao nào ở gần Trái Đất hơn?

(Theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Hệ_Mặt_Trời)

Giải

a) Đổi \(5,97.10^{24}\) kg = \(597.10^{22}\) kg.

Tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là:

\(597.10^{22} + 7,35.10^{22} = (597 + 7,35).10^{22} = 604,35.10^{22}\) (kg).

Vậy tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là \(604,35.10^{22}\)kg.

b) Đổi \(8,27.10^8\) km = \(0,827.10^9\) km.

Do \(0,827 < 3,09\) nên \(0,827.10^9\) km < \(3,09.10^9\) km

Hay \(8,27.10^8\) km < \(3,09.10^9\) km.

Vậy sao Mộc gần Trái Đất hơn.

\(\)