Chương 1 - Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

Chương \(1\) – Bài \(1\). Tập hợp các số hữu tỉ trang \(9\) sách giáo khoa toán lớp \(7\) tập \(1\) NXB Chân Trời Sáng Tạo.

\(1\). Thay dấu \(\fbox{?}\) bằng kí hiệu \(\in, \notin\) thích hợp.

\(-7\ \fbox{?}\ \mathbb{N}; \qquad -17\ \fbox{?}\ \mathbb{Z};\)

\(-38\ \fbox{?}\ \mathbb{Q}; \qquad \displaystyle\frac{4}{5}\ \fbox{?}\ \mathbb{Z};\)

\(\displaystyle\frac{4}{5}\ \fbox{?}\ \mathbb{Q}; \quad \qquad 0,25\ \fbox{?}\ \mathbb{Z};\)

\(3,25\ \fbox{?}\ (\mathbb{Q};\)

Giải

Vì \(−7\) là số nguyên âm nên \(−7\) không thuộc tập hợp số tự nhiên.

\(-7\) \(\fbox{\(\notin\)}\) \(\mathbb{N}\);

Vì \(−17\) là số nguyên âm nên \(−17\) thuộc tập hợp số nguyên.

\(-17\) \(\fbox{\(\in\)}\) \(\mathbb{Z}\);

Vì \(−38\) là số nguyên âm nên \(−38\) thuộc tập hợp hữu tỉ.

\(-38\) \(\fbox{\(\in\)}\) \(\mathbb{Q}\);

Vì \(\displaystyle\frac{4}{5}\) là phân số nên không thuộc tập hợp số nguyên.

\(\displaystyle\frac{4}{5}\) \(\fbox{\(\notin\)}\) \(\mathbb{Z}\);

Vì \(\displaystyle\frac{4}{5}\) với 4; 5 \(\in \mathbb{Z}, 5 \neq 0\) là số hữu tỉ nên \(\displaystyle\frac{4}{5}\) thuộc tập hợp số hữu tỉ.

\(\displaystyle\frac{4}{5}\) \(\fbox{\(\in\)}\) \(\mathbb{Q}\);

Vì \(0,25\) là số thập phân nên \(0,25\) không thuộc tập hợp số nguyên.

\(0,25\) \(\fbox{\(\notin\)}\) \(\mathbb{Z}\);

Ta có: \(3,25 = \displaystyle\frac{325}{100}\) với 325; 100 \(\in \mathbb{Z}, 100 \neq 0\) nên \(\displaystyle\frac{325}{100}\) là số hữu tỉ.

\(3,25\) \(\fbox{\(\in\)}\) \(\mathbb{Q}\).

\(2\). a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-5}{9}\)?

\(\hspace{4cm}\displaystyle\frac{-10}{18}; \displaystyle\frac{10}{18}; \displaystyle\frac{15}{-27}; -\displaystyle\frac{20}{36}; \displaystyle\frac{-25}{27}\).

b) Tìm số đối của mỗi số sau: \(12;\ \displaystyle\frac{4}{9};\ -0,375;\ 0;\ -2\displaystyle\frac{2}{5}\).

Giải

\(\displaystyle\frac{-10}{18} = \displaystyle\frac{-10:2}{18:2} = \displaystyle\frac{-5}{9}\);

\(\displaystyle\frac{10}{18} = \displaystyle\frac{10:2}{18:2} = \displaystyle\frac{5}{9}\);

\(\displaystyle\frac{15}{-27} = \displaystyle\frac{15:(-3)}{(-27):(-3)} = \displaystyle\frac{-5}{7}\);

\(-\displaystyle\frac{20}{36} = -\displaystyle\frac{20:4}{36:4} = \displaystyle\frac{-5}{7}\);

\(\displaystyle\frac{-25}{27} = \displaystyle\frac{-25}{27}\).

Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-5}{7}\) là: \(\displaystyle\frac{-10}{18};\ \displaystyle\frac{15}{-27};\ -\displaystyle\frac{20}{36}\).

Số đối của \(12\) là \(−12\).

Số đối của \(\displaystyle\frac{4}{9}\) là \(-\displaystyle\frac{4}{9}\).

Số đối của \(-0,375\) là \(0,375\).

Số đối của \(0\) là \(0\).

Số đối của \(-2\displaystyle\frac{2}{5}\) là \(2\displaystyle\frac{2}{5}\).

\(3\). a) Các điểm x; y; z trong Hình 8 biểu diễn số hữu tỉ nào?

b) Biểu diễn các số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-2}{5}; 1\displaystyle\frac{1}{5}; \displaystyle\frac{3}{5}; -0,8\) trên trục số.

Giải

Từ điểm \(0\) đến điểm \(1\) được chia thành \(4\) đoạn thẳng bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng \(\displaystyle\frac{1}{4}\) đơn vị cũ.

Điểm x trong hình trên nằm bên trái điểm \(0\) và cách \(0\) một đoạn bằng \(7\) đơn vị mới.

Do đó điểm x trong hình trên biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-7}{4}\).

Điểm y trong hình trên nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một đoạn bằng \(3\) đơn vị mới.

Do đó điểm y trong hình trên biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{3}{4}\).

Điểm z trong hình trên nằm bên phải điểm \(0\) và cách \(0\) một đoạn bằng \(5\) đơn vị mới.

Do đó điểm z trong hình trên biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{5}{4}\).

Vậy các điểm x, y, z trong hình lần lượt biểu diễn các số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-7}{4};\ \displaystyle\frac{3}{4};\ \displaystyle\frac{5}{4}\).

Ta có: \(1\displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{6}{5}; -0,8 = \displaystyle\frac{-4}{5}\).

Chia đoạn thẳng đơn vị thành \(5\) đoạn thẳng bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng \(\displaystyle\frac{1}{5}\) đơn vị cũ.

Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-2}{5}\) nằm bên trái điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(2\) đơn vị mới.

Số hữu tỉ \(1\displaystyle\frac{1}{5}\) hay số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{6}{5}\) nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(6\) đơn vị mới.

Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{3}{5}\) nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(3\) đơn vị mới.

Số hữu tỉ \(−0,8\) hay số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-4}{5}\) nằm bên trái điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(4\) đơn vị mới.

Vậy biểu diễn các số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-2}{5};\ 1\displaystyle\frac{1}{5};\ \displaystyle\frac{3}{5};\ -0,8\) trên trục số như sau:

\(\)

\(4\). a) Trong các số hữu tỉ sau, số nào là số hữu tỉ dương, số nào là số hữu tỉ âm, số nào không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm?

\(\displaystyle\frac{5}{12}; \displaystyle\frac{-4}{5}; 2\displaystyle\frac{2}{3}; -2; \displaystyle\frac{0}{234}; -0,32\).

b) Hãy sắp xếp các số trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Giải

– Số hữu tỉ dương là: \(\displaystyle\frac{5}{12};\ 2\displaystyle\frac{2}{3}\).

– Số hữu tỉ âm là \(\displaystyle\frac{-4}{5};\ -2;\ -0,32\).

– Số \(\displaystyle\frac{0}{234}=0\) không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{5}{12}=0,41(6);\ 2\displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{8}{3} = 2,(6);\) \(\displaystyle\frac{-4}{5}=-0,8;\ \displaystyle\frac{0}{234}=0\).

Các số trên được theo thứ tự từ bé đến lớn là: \(-2;\ \displaystyle\frac{-4}{5};\ -0,32;\ \displaystyle\frac{0}{234};\ \displaystyle\frac{5}{12};\ 2\displaystyle\frac{2}{3}\).

\(5\). So sánh các cặp số hữu tỉ sau:

a) \(\displaystyle\frac{2}{-5}\) và \(\displaystyle\frac{-3}{8}\);

b) \(-0,85\) và \(\displaystyle\frac{-17}{20}\);

c) \(\displaystyle\frac{-137}{200}\) và \(\displaystyle\frac{37}{-25}\)

d) \(-1\displaystyle\frac{3}{10}\) và \(-(\displaystyle\frac{-13}{-10})\)

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{2}{-5} = \displaystyle\frac{-2}{5} = \displaystyle\frac{-16}{40}; \displaystyle\frac{-3}{8} = \displaystyle\frac{-15}{40}\).

Vì \(−16 < −15\) và \(40 > 0\) nên \(\displaystyle\frac{-16}{40} < \displaystyle\frac{-15}{40}\)

Vậy \(\displaystyle\frac{2}{-5} < \displaystyle\frac{-3}{8}\).

b) Ta có: \(-0,85 = \displaystyle\frac{-85}{100} = \displaystyle\frac{-17}{20}\).

Vậy \(-0,85 = \displaystyle\frac{-17}{20}\).

c)Ta có: \(\displaystyle\frac{37}{-25} = \displaystyle\frac{-296}{200}\)

Vì \(-296 < -137\) và \(200 > 0\) nên \(\displaystyle\frac{-296}{200} < \displaystyle\frac{-137}{200}\).

Vậy \(\displaystyle\frac{37}{-25} < \displaystyle\frac{-137}{200}\)

d) Ta có: \(-1\displaystyle\frac{3}{10} = \displaystyle\frac{-13}{10}\) và \(-(\displaystyle\frac{-13}{-10}) = \displaystyle\frac{-13}{10}\)

Vậy \(-1\displaystyle\frac{3}{10} = -(\displaystyle\frac{-13}{-10})\)

\(6\). So sánh các cặp số hữu tỉ sau:

a) \(\displaystyle\frac{-2}{3}\) và \(\displaystyle\frac{1}{200}\)

b)\(\displaystyle\frac{139}{138}\) và \(\displaystyle\frac{1375}{1376}\)

c) \(\displaystyle\frac{-11}{33}\) và \(\displaystyle\frac{25}{-76}\)

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{-2}{3} < 0\) và \(\displaystyle\frac{1}{200} > 0\)

Vậy \(\displaystyle\frac{-2}{3}\) < \(\displaystyle\frac{1}{200}\).

b)Ta có: \(\displaystyle\frac{139}{138} > 1\) vì phân số có tử số lớn hơn mẫu số và \(\displaystyle\frac{1375}{1376} < 1\) vì phân số có tử số bé hơn mẫu số

Vậy \(\displaystyle\frac{139}{138} > \displaystyle\frac{1375}{1376}\).

c) Ta có: \(\displaystyle\frac{-11}{33} = \displaystyle\frac{-1}{3} = \displaystyle\frac{-76}{228}\).

\(\displaystyle\frac{25}{-76} = \displaystyle\frac{-25}{76} = \displaystyle\frac{-75}{228}\)

Do \(-76<-75\) và \(228 > 0\) nên \(\displaystyle\frac{-76}{228}<\displaystyle\frac{-75}{228}\)

Vậy \(\displaystyle\frac{-11}{33} < \displaystyle\frac{25}{-76}\).

\(7\). Bảng dưới đây cho biết độ cao của bốn rãnh đại dương so với mực nước biển.