Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương \(VII\) trang \(51\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng

Bài \(1\). Cho hàm số \(y = x^3 \ – \ 3x^2\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M(\ – \ 1; \ – \ 4)\) có hệ số góc bằng
\(A.\) \(\ – \ 3\).
\(B.\) \(9\).
\(C.\) \(\ – \ 9\).
\(D.\) \(72\).

Trả lời:

Ta có: \(y'(x) = 3x^2 \ – \ 6x\) nên tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm \(M(\ – \ 1; \ – \ 4)\) có hệ số góc bằng:

\(y'(\ – \ 1) = 3. (\ – \ 1)^2 \ – \ 6. (\ – \ 1) = 9\)

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(2\). Hàm số \(y = \ – \ x^2 + x + 7\) có đạo hàm tại \(x = 1\) bằng
\(A.\) \(\ – \ 1\).
\(B.\) \(7\).
\(C.\) \(1\).
\(D.\) \(6\).

Trả lời:

\(y’ = (\ – \ x^2 + x + 7)’ = \ – \ 2x + 1\)

Suy ra \(y'(1) = \ – \ 2. 1 + 1 = \ – \ 1\)

Chọn đáp án \(A\)

\(\)

Bài \(3\). Cho hai hàm số \(f(x) = 2x^3 \ – \ x^2 + 3\)
và \(g(x) = x^3 + \displaystyle \frac{x^2}{2} \ – \ 5\).
Bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\) có tập nghiệm là
\(A\). \((\ – \ \infty; 0] \cup [1; + \infty)\).
\(B.\) \((0; 1)\).
\(C.\) \([0; 1]\).
\(D.\) \((\ – \ \infty; 0) \cup (1; +\infty)\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = 6x^2 \ – \ 2x\)

\(g'(x) = 3x^2 + x\)

Bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\) trở thành: \(6x^2 \ – \ 2x > 3x^2 + x\)

\(\Leftrightarrow 3x^2 \ – \ 3x > 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x > 1\\ x < 0 \end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((\ – \ \infty; 0) \cup (1; + \infty)\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(4\). Hàm số \(y = \displaystyle \frac{x + 3}{x + 2}\) có đạo hàm là
\(A.\) \(y’ = \displaystyle \frac{1}{(x + 2)^2}\).
\(B.\) \(y’ = \displaystyle \frac{5}{(x + 2)^2}\).
\(C.\) \(y’ = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{(x + 2)^2}\).
\(D.\) \(y’ = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{(x + 2)^2}\).

Trả lời:

Ta có: \(y’ = \left(\displaystyle \frac{x + 3}{x + 2}\right)’\)

\(= \displaystyle \frac{(x + 3)’ (x + 2) \ – \ (x + 3) (x + 2)’}{(x + 2)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{x + 2 \ – \ (x + 3)}{(x + 2)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{\ – \ 1}{(x + 2)^2}\)

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(5\). Hàm số \(y = \displaystyle \frac{1}{x + 1}\) có đạo hàm cấp \(2\) tại \(x = 1\) là
\(A.\) \(y”(1) = \displaystyle \frac{1}{2}\).
\(B.\) \(y”(1) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\).
\(C.\) \(y”(1) = 4\).
\(D.\) \(y”(1) = \displaystyle \frac{1}{4}\).

Trả lời:

Ta có: \(y’ = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{(x + 1)^2}\)

\(y” = \displaystyle \frac{[(x + 1)^2]’}{(x + 1)^4}\)

\(= \displaystyle \frac{2x + 2}{(x + 1)^4} = \displaystyle \frac{2}{(x + 1)^3}\)

Suy ra \(y”(1) = \displaystyle \frac{2}{(1 + 1)^3} = \displaystyle \frac{1}{4}\)

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài \(6\). Cho hàm số \(f(x) = x^2 \ – \ 2x + 3\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M(\ – \ 1; 6) \in (C)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(M\).

Trả lời:

Ta có: \(f'(x) = 2x \ – \ 2\) nên tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(\ – \ 1; 6)\) có hệ số góc là \(f'(\ – \ 1) = 2. (\ – \ 1) \ – \ 2 = \ – \ 4\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M\) là:

\(y \ – \ 6 = \ – \ 4(x + 1)\)

\(\Leftrightarrow y = \ – \ 4x + 2\)

Vậy phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(M\) là \(y = \ – \ 4x + 2\)

\(\)

Bài \(7\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 3x^4 \ – \ 7x^3 + 3x^2 + 1\);
\(b)\) \(y = (x^2 \ – \ x)^3\);
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{4x \ – \ 1}{2x + 1}\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = 3x^4 \ – \ 7x^3 + 3x^2 + 1\)

\(\Rightarrow y’ = 3. 4x^3 \ – \ 7. 3x^2 + 3. 2x\)

\(= 12x^3 \ – \ 21x^2 + 6x\)

\(b)\) \(y = (x^2 \ – \ x)^3\)

\(\Rightarrow y’= 3. (x^2 \ – \ x)^2 (x^2 \ – \ x)’\)

\(= 3(x^4 \ – \ 2x^3 + x^2) (2x \ – \ 1)\)

\(= 3(2x^5 \ – \ 4x^4 + 2x^3 \ – \ x^4 + 2x^3 \ – \ x^2)\)

\(= 6x^5 \ – \ 15x^4 + 12x^3 \ – \ 3x^2\)

\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{4x \ – \ 1}{2x + 1}\)

\(\Rightarrow y’ = \displaystyle \frac{(4x \ – \ 1)’. (2x + 1) \ – \ (4x \ – \ 1) (2x + 1)’}{(2x + 1)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{4(2x + 1) \ – \ 2(4x \ – \ 1)}{(2x + 1)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{6}{(2x + 1)^2}\)

\(\)

Bài \(8\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = (x^2 + 3x \ – \ 1)e^x\);
\(b)\) \(y = x^3\log_{2} x\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = (x^2 + 3x \ – \ 1)e^x\)

\(\Rightarrow y’ = (x^2 + 3x \ – \ 1)’ e^x + (x^2 + 3x \ – \ 1). (e^x)’\)

\(\Rightarrow y’ = (2x + 3) e^x + (x^2 + 3x \ – \ 1)e^x\)

\(\Rightarrow y’ = (x^2 + 5x + 2)e^x\)

\(b)\) \(y = x^3\log_{2} x\)

\(\Rightarrow y’ = (x^3)’\log_{2} x + (x^3). (\log_{2} x)’\)

\(= 3x^2 \log_{2} x + \displaystyle \frac{x^3}{x \ln 2}\)

\(= 3x^2 \log_{2} x + \displaystyle \frac{x^2}{\ln 2}\)

\(\)

Bài \(9\). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \tan{(e^x + 1)}\);
\(b)\) \(y = \sqrt{\sin{3x}}\);
\(c)\) \(y = \cot{(1 \ – \ 2^x)}\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = \tan{(e^x + 1)}\)

\(\Rightarrow y’ = (\tan{(e^x + 1)})’ = \displaystyle \frac{(e^x + 1)’}{cos^2{(e^x + 1)}}\)

\(= \displaystyle \frac{e^x}{\cos^2{(e^x + 1)}}\)

\(b)\) \(y = \sqrt{\sin{3x}}\)

\(\Rightarrow y’ = (\sqrt{\sin{3x}})’ = \left((\sin{3x})^{\frac{1}{2}}\right)’\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\sin{3x}}}. (\sin{3x})’\)

\(= \displaystyle \frac{3\cos{3x}}{2\sqrt{\sin{3x}}}\)

\(c)\) \(y = \cot{(1 \ – \ 2^x)}\)

Đặt \(u = 1 \ – \ 2^x\) thì \(y = \cot{u}\)

Ta có: \(u'(x) = (1 \ – \ 2^x)’ = \ – \ 2^x \ln 2\)

\(y'(u) = (\cot{u})’ = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{u}}\)

Suy ra: \(y'(x) = y'(u). u'(x) = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{u}}. (\ – \ 2^x \ln 2)\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sin^2{(1 \ – \ 2^x)}}. (\ – \ 2^x \ln 2) = \displaystyle \frac{2^x \ln 2}{\sin^2{1 \ – \ 2^x}}\)

\(\)

Bài \(10\). Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = x^3 \ – \ 4x^2 + 2x \ – \ 3\);
\(b)\) \(y = x^2.e^x\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = x^3 \ – \ 4x^2 + 2x \ – \ 3\)

\(y’ = 3x^2 \ – \ 4. 2x + 2 = 3x^2 \ – \ 8x + 2\)

\(y” = 3. 2 x \ – \ 8 = 6x \ – \ 8\)

\(b)\) \(y = x^2.e^x\)

\(y’ = (x^2)’e^x + x^2. (e^x)’\)

\(= 2x e^x + x^2. e^x = (x^2 + 2x) e^x\)

\(y” = (x^2 + 2x)’ e^x + (x^2 + 2x) (e^x)’\)

\(= (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x)e^x\)

\(= (x^2 + 4x + 2)e^x\)

\(\)

Bài \(11\). Một viên sỏi rơi từ độ cao \(44,1\) m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức \(s(t) = 4,9t^2\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Tính:
\(a)\) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc \(t = 2\);
\(b)\) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.

Trả lời:

Ta có: \(s'(t) = v(t) = 4,9. 2t = 9,8t\) (m/s)

\(a)\) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc \(t = 2\) là:

\(v(2) = 9,8. 2 = 19,6\) (m/s)

\(b)\) Viên sỏi chạm đất tức là \(s(t) = 4,9t^2 = 44,1\)

\(\Rightarrow t = 3\)

Khi đó vận tốc của viên sỏi là:

\(v(3) = 9,8. 3 = 29,4\) (m/s)

\(\)

Bài \(12\). Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức:
\(s(t) = 2t^3 + 4t + 1\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét.
Tính vận tốc và gia tốc của vật khi \(t = 1\).

Trả lời:

Gọi \(v(t), a(t)\) lần lượt là vận tốc, gia tốc của vật theo thời gian \(t\)

Khi đó ta có: \(v(t) = s'(t) = 2. 3t^2 + 4 = 6t^2 + 4\)

\(a(t) = s”(t) = v'(t) = 12t\)

Khi \(t = 1\) thì:

\(v(t) = 6. 1^2 + 4 = 10\) (m/s)

\(a(t) = 12. 1 = 12\) (\(m/s^2\))

\(\)

Bài \(13\). Dân số \((P)\) (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức \(P(t) = \displaystyle \frac{500t}{t^2 + 9}\), trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 12\).

Trả lời:

Tốc độ tăng dân số \(v(t) = P'(t) = \displaystyle \frac{500(t^2 + 9) \ – \ 500t. 2t}{(t^2 + 9)^2}\)

\(= \displaystyle \frac{4500 \ – \ 500t^2}{(t^2 + 9)^2}\)

Tại thời điểm \(t = 12\) ta có:

\(v(t) = \displaystyle \frac{4500 \ – \ 500. 12^2}{(12^2 + 9)^2}\)

\(= \ – \ 2,88\) (nghìn người/ năm)

Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 12\) là \(\ – \ 2,88\) nghìn người/năm (tức là dân số đang giảm tại thời điểm đó)

\(\)

Bài \(14\). Hàm số \(S(r) = \displaystyle \frac{1}{r^4}\) có thể được sử dụng để xác định sức cản \(S\) của dòng máu trong mạch máu có bán kính \(r\) (tính theo milimét) (Theo Bách khoa toàn thư Y học “Harisson’s Internal medicine \(21\)st edision”). Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r = 0,8\).

Trả lời:

Ta có: \(S'(r) = \left(\displaystyle \frac{1}{r^4}\right)’ = \ – \ \displaystyle \frac{4r^3}{r^8}\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{4}{r^5}\)

Suy ra: \(S'(0,8) = \ – \ \displaystyle \frac{4}{0,8^5} = \ – \ 12,21\)

\(\)

Bài \(15\). Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức
\(T(t) = \ – \ 0,1t^2 + 1,2t + 98,6\), trong đó \(t\) là nhiệt độ (Tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm \(t\) (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm \(t = 1,5\).

Trả lời:

Ta có: \(T'(t) = \ – \ 0,1. 2t + 1,2 = \ – \ 0,2t + 1,2\)

Tại \(t = 1,5\) thì \(T'(1,5) = \ – \ 0,2. 1,5 + 1,2 = 0,9\) (Fahrenheit/ngày)

\(\)

Bài \(16\). Hàm số \(R(v) = \displaystyle \frac{6000}{v}\) có thể được sử dụng để xác định nhịp tim \(R\) của một người mà tim của người đó có thể đẩy đi được \(6000\) ml máu trên mỗi phút và \(v\) ml trên mỗi nhịp đập (Theo Bách khoa toàn thư Y học “Harisson’s Internal medicine \(21\)st edision”). Tìm tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là \(v = 80\).