Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương \(VII\) trang \(58\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(A\) – TRẮC NGHIỆM

Bài \(7.26\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
\(A\). \(2x \ – \ y + 1 = 0\)
\(B\). \(\left \{\begin{matrix}x = 2t\\y = t \end{matrix} \right.\)
\(C\). \(x^2 + y^2 = 1\).
\(D\). \(y = 2x + 3\).

Trả lời:

Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

\(\left \{\begin{matrix}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt \end{matrix} \right.\)

Do đó, phương trình ở đáp án \(B\) là phương trình tham số của đường thẳng với \(x_0 = y_0 = 0, a = 2, b = 1\).

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(7.27\). Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
\(A\). \(\ – \ x \ – \ 2y + 3 = 0\).
\(B\). \(\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\y = 3 \ – \ t \end{matrix} \right.\).
\(C\). \(y^2 = 2x\).
\(D\). \(\displaystyle \frac{x^2}{10} + \displaystyle \frac{y^2}{6} = 1\).

Trả lời:

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng \(ax + by + c = 0\) với \(a, b\) không đồng thời bằng \(0\).

Do đó, phương trình ở đáp án \(A\) là phương trình tổng quát của đường thẳng với \(a = \ – \ 1, b = \ – \ 2, c = 3\)

Chọn đáp án \(A\)

\(\)

Bài \(7.28\). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
\(A\). \(x^2 \ – \ y^2 = 1\).
\(B\). \((x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ 2)^2 = \ – \ 4\).
\(C\). \(x^2 + y^2 = 2\)
\(D\). \(y^2 = 8x\).

Trả lời:

Phương trình đường tròn có dạng \((x \ – \ a)^2 + (y \ – \ b)^2 = R^2\) với \(R > 0\)

Do đó, phương trình ở đáp án \(C\) là phương trình đường tròn với \(a = 0, b = 0, R = \sqrt{2}\)

Chọn đáp \(C\)

\(\)

Bài \(7.29\). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
\(A\). \(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\).
\(B\). \(\displaystyle \frac{x^2}{1} + \displaystyle \frac{y^2}{6} = 1\).
\(C\). \(\displaystyle \frac{x^2}{4} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{1} = 1\).
\(D\). \(\displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{y^2}{1} = 1\).

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường elip có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{y^2}{1} = 1\) với \(a > b > 0\)

Do đó, phương trình ở đáp án \(D\) là phương trình chính tắc của đường elip.

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(7.30\). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(A\). \(\displaystyle \frac{x^2}{3} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{2} = \ – \ 1\).
\(B\). \(\displaystyle \frac{x^2}{1} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{6} = 1\)
\(C\). \(\displaystyle \frac{x^2}{6} + \displaystyle \frac{y^2}{1} = 1\)
\(D\). \(\displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{y^2}{1} = \ – \ 1\)

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a, b > 0\)

Do đó, phương trình ở đáp án \(B\) là phương trình chính tắc của đường hypebol.

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(7.31\). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
\(A\). \(x^2 = 4y\)
\(B\). \(x^2 = \ – \ 6y\)
\(C\). \(y^2 = 4x\)
\(D\). \(y^2 = \ – \ 4x\)

Trả lời:

Phương trình chính tắc của đường parabol có dạng: \(y^2 = 2px\) với \(p > 0\)

Do đó, phương tình ở đáp án \(C\) là phương trình chính tắc của đường parabol.

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

\(B\) – TỰ LUẬN

Bài \(7.32\). Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(A(1; \ – \ 1), B(3; 5), C(\ – \ 2; 4)\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (\ – \ 2 \ – \ 3; 4 \ – \ 5) = (\ – \ 5; \ – \ 1)\)

\(\Rightarrow\) Độ dài đoạn \(BC\) là:

\(BC = \sqrt{(\ – \ 5)^2 + (\ – \ 1)^2} = \sqrt{26}\)

\(BC\) đi qua điểm \(B(3; 5)\) và có vectơ chỉ phương \((\ – \ 5; \ – \ 1)\) nên \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow{n_{BC}} = (1; \ – \ 5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình \(BC\) là:

\(1. (x \ – \ 3) \ – \ 5. (y \ – \ 5) = 0\)

\(\Leftrightarrow x \ – \ 5y + 22 = 0\)

Mặt khác, khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\) chính là độ dài đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) hay \(AH = d(A, BC)\)

\(AH = d(A; BC) = \displaystyle \frac{|1 \ – \ 5. (\ – \ 1) + 22|}{\sqrt{1^2 + (\ – \ 5)^2}} = \displaystyle \frac{28}{\sqrt{26}}\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AH. BC = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{28}{\sqrt{26}}. \sqrt{26} = 14\) (đvdt)

\(\)

Bài \(7.33\). Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm \(A(\ – \ 1; 0) \text{ và } B(3; 1)\)
\(a)\) Viết phương trình đường tròn tâm \(A\) và đi qua điểm \(B\).
\(b)\) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\).
\(c)\) Viết phương trình đường tròn tâm \(O\) và tiếp xúc với đường thẳng \(AB\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (4; 1)\)

\(\Rightarrow AB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}\)

Đường tròn tâm \(A\) và đi qua điểm \(B\) là đường tròn tâm \(A\) và có bán kính \(AB\) nên có phương trình là:

\((x + 1)^2 + y^2 = 17\)

\(b)\) Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB} = (4; 1)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow{n_{AB}} = (1; \ – \ 4)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thằng \(AB\) là:

\(1. (x \ – \ (\ – \ 1)) \ – \ 4. (y \ – \ 0)= 0\)

\(\Leftrightarrow x \ – \ 4y + 1 = 0\)

\(c)\) Đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với đường thẳng \(AB\) nên bán kính của đường tròn chính là khoảng từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(AB\)

Ta có: \(R = d(O; AB) = \displaystyle \frac{|0 \ – \ 4. 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\ – \ 4)^2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{17}}\)

Vậy phương trình đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với đường thẳng \(AB\) là:

\(x^2 + y^2 = \displaystyle \frac{1}{17}\)

\(\)

Bài \(7.34\). Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \(x^2 + y^2 \ – \ 4x + 6y \ – \ 12 = 0\)
\(a)\) Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \((C)\)
\(b)\) Chứng minh rằng điểm \(M(5; 1)\) thuộc \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại \(M\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(x^2 + y^2 \ – \ 4x + 6y \ – \ 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x \ – \ 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\)

Suy ra tâm \(I(2; \ – \ 3)\) và bán kính \(R = 5\)

\(b)\) Xét toạ độ điểm \(M\) ta có:

\(5^2 + 1^2 \ – \ 4. 5 + 6. 1 \ – \ 12 = 0\)

Suy ra điểm \(M(5; 1)\) thuộc \((C)\).

Tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại \(M\) đi qua điểm \(M\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{IM} = (3; 4)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của tiếp tuyến \(d\) là:

\(3. (x \ – \ 5) + 4. (y \ – \ 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + 4y \ – \ 19 = 0\)

\(\)

Bài \(7.35\). Cho elip \((E)\): \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)\).
\(a)\) Tìm các giao điểm \(A_1, A_2\) của \(E\) với trục hoành và các giao điểm \(B_1, B_2\) của \((E)\) với trục tung. Tính \(A_1A_2, B_1B_2\)
\(b)\) Xét một điểm bất kì \(M(x_0,y_0)\) thuộc \((E)\). Chứng minh rằng, \(b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2 \text{ và } b \leq OM a\).

Chú ý: \(A_1A_2, B_1B_2\) tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip \((E)\) và tương ứng có độ dài là \(2a, 2b\).

Trả lời:

\(a)\) Các giao điểm của \((E)\) với trục hoành có toạ độ thoả mãn hệ phương trình:

\(\begin{equation} \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\\ y = 0 \end{cases}\, \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x = \pm a\\y = 0 \end{matrix} \right.\)

Suy ra \(A_1(\ – \ a; 0), A_2(a; 0)\)

\(a)\) Các giao điểm của \((E)\) với trục tung có toạ độ thoả mãn hệ phương trình:

\(\begin{equation} \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\\ x = 0 \end{cases}\, \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x = 0\\y = \pm b \end{matrix} \right.\)

Suy ra \(B_1(0; \ – \ b), B_2(0; b)\)

\(\Rightarrow A_1A_2 = 2a, B_1B_2 = 2b\)

\(b)\) Do \(M(x_0; y_0)\) thuộc \((E)\) nên ta có:

\(\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{b^2} = 1\)

Vì \(a > b > 0\) nên \(\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2} \leq \displaystyle \frac{x_0^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{x_0^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{b^2} \leq \displaystyle \frac{x_0^2}{b^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow 1 \leq \displaystyle \frac{x_0^2}{b^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow b^2 \leq x_0^2 + y_0^2\) \((1)\)

Tương tự ta cũng có: \(\displaystyle \frac{y_0^2}{a^2} \leq \displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{x_0^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{b^2} \geq \displaystyle \frac{x_0^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{a^2}\)

\(\Leftrightarrow 1 \geq \displaystyle \frac{x_0^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y_0^2}{a^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2 \geq x_0^2 + y_0^2\) \((2)\)

Kết hợp \((1)\) và \((2)\) ta được:

\(b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2\)

Lại có: \(OM = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\)

Suy ra \(b \leq OM \leq a\) (đpcm)

\(\)

Bài \(7.36\). Cho hypebol có phương trình: \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)
\(a)\) Tìm các giao điểm \(A_1, A_2\) của hypebol với trục hoành (Hoành độ của \(A_1\) nhỏ hơn của \(A_2\).
\(b)\) Chứng minh rằng nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì \(x \leq \ – \ a\), nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì \(x \geq a\)
\(c)\) Tìm các điểm \(M_1, M_2\) tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để \(M_1M_2\) nhỏ nhất.

Trả lời:

\(a)\) Các giao điểm của hypebol với trục hoành có toạ độ thoả mãn hệ phương trình:

\(\begin{equation} \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\\ y = 0 \end{cases}\, \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x = \pm a\\y = 0 \end{matrix} \right.\)

Suy ra \(A_1(\ – \ a; 0), A_2(a; 0)\)

\(b)\) Điểm \(M(x; y)\) thuộc hypebol nên ta có:

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{a^2} = 1 + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} \geq 1\)

\(\Leftrightarrow x^2 \geq a^2\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x \leq \ – \ a\\x \geq a \end{matrix} \right.\)

Do đó, khi \(M\) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung hay \(x < 0\) thì \(x \leq \ – \ a\)

Khi \(M\) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung hay \(x > 0\) thì \(x \geq a\)

\(c)\) Gọi \(M_1(x_1; y_1), M_2(x_2; y_2)\) lần lượt thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó ta có:

\(x_1 \leq \ – \ a, x_2 \geq a\)

Suy ra \(M_1M_2 = \sqrt{(x_2 \ – \ x_1)^2 + (y_2 \ – \ y_1)^2}\)

\(\geq \sqrt{x_2 \ – \ x_1)^2} = |x_2 \ – \ x_1| \geq |a \ – \ (\ – \ a)| = 2a\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\begin{equation} \begin{cases} y_2 \ – \ y_1 = 0\\x_2 = a \\ x_1 = \ – \ a \end{cases}\, \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \begin{cases} x_2 = a \\ x_1 = \ – \ a \\ y_2 = y_1 = 0 \end{cases}, \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow M_1(\ – \ a; 0), M_2(a; 0)\)

Vậy \(M_1(\ – \ a; 0), M_2(a; 0)\) thì \(M_1M_2\) nhỏ nhất.

\(\)

Bài \(7.37\). Một cột trụ hình hypebol \((H.7.36)\) có chiều cao \(6\) m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng \(0,8\) m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng \(1\) m. Tính độ rộng của cột ở độ cao \(5\) m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa cột trụ, trục Oy đi qua điểm chính giữa và là trục đối xứng của cột trụ, hai bên cột nằm về hai phía của trục tung như hình dưới.