Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương VII trang 46 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

7.42. Một hãng taxi quy định giá cước như sau: 0,5 km đầu tiên giá 8 000 đồng; tiếp theo cứ mỗi kilômét giá 11 000 đồng. Giả sử một người thuê xe đi x (kilômét).

a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị số tiền mà người đó phải trả là một đa thức. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Giá trị của đa thức tại x = 9 nói lên điều gì?

Giải

a) Số tiền phải trả cho \(0,5\) km đầu tiên: \(8\ 000\) (đồng)

Số tiền phải trả cho quảng đường còn lại: \((x–0,5). 11\ 000\) ( đồng)

Đa thức biểu thị tổng số tiền mà người đó phải trả là:

\(8\ 000 + (x – 0,5)\ .\ 11\ 000\)

\(= 8\ 000 + x . 11\ 000–0,5\ .\ 11\ 000\)

\(= 8\ 000 + 11\ 000x–5\ 500\)

\(= 11\ 000x + 2\ 500.\)

Đây là đa thức bậc \(1,\) hệ số cao nhất là \(11\ 000,\) hệ số tự do là \(2 500.\)

b) Thay \(x = 9\) vào đa thức \(11 000x + 2 500,\) ta có:

\(11\ 000 . 9 + 2\ 500 = 101\ 500\)

Số tiền mà người đó phải trả khi đi \(9\) km là \(101\ 500\) đồng

\(\)

7.43. Cho đa thức bậc hai F(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b và c là những số với a ≠ 0.

a) Cho biết a + b + c = 0. Giải thích tại sao \(x = 1\) là một nghiệm của F(x).

b) Áp dụng, hãy tìm một nghiệm của đa thức bậc hai 2x² – 5x + 3.

Giải

a) Thay x = 1 vào đa thức F(x) ta được:

F(1) = a.1² + b.1 + c

F(1) = a + b + c

F(1) = 0.

Ta có F(x) = 0 tại x = 1 nên x = 1 là một nghiệm của F(x).

b) Thay x = 1 vào đa thức 2x² – 5x + 3 ta được:

2.1² – 5.1 + 3 = 2 – 5 + 3 = 0

Ta có đa thức 2x² – 5x + 3 = 0 khi x = 1 nên x = 1 là một nghiệm của đa thức

2x² – 5x + 3.

\(\)

7.44. Cho đa thức A = x⁴ + x³ – 2x – 2.

a) Tìm đa thức B sao cho A + B = x³ + 3x + 1.

b) Tìm đa thức C sao cho A – C = x⁵.

c) Tìm đa thức D, biết rằng D = (2x² – 3) . A.

d) Tìm đa thức P sao cho A = (x + 1) . P.

e) Có hay không một đa thức Q sao cho A = (x² + 1) . Q?

Giải

a) A + B = x³ + 3x + 1

B = x³ + 3x + 1 – A

B = x³ + 3x + 1 – (x⁴ + x³ – 2x – 2)

B = x³ + 3x + 1 – x⁴ – x³ + 2x + 2

B = -x⁴ + (x³ – x³) + (3x + 2x) + (1 + 2)

B = -x⁴ + 5x + 3.

b) A – C = x⁵

C = A – x⁵

C = x⁴ + x³ – 2x – 2 – x⁵

C = -x⁵ + x⁴ + x³ – 2x – 2.

c) D = (2x² – 3) . A

D = (2x² – 3) . (x⁴ + x³ – 2x – 2)

D = 2x².(x⁴ + x³ – 2x – 2) + (-3).(x⁴ + x³ – 2x – 2)

D = 2x².x⁴ + 2x².x³ + 2x².(-2x) + 2x².(-2) + (-3)x⁴ + (-3)x³ + (-3).(-2x) + (-3).(-2)

D = 2x⁶ + 2x⁵ – 4x³ – 4x² – 3x⁴ – 3x³ + 6x + 6

D = 2x⁶ + 2x⁵ – 3x⁴ + (-4x³ – 3x³) – 4x² + 6x + 6

D = 2x⁶ + 2x⁵ – 3x⁴ + (-7x³) – 4x² + 6x + 6

D = 2x⁶ + 2x⁵ – 3x⁴ – 7x³ – 4x² + 6x + 6.

d) A = (x + 1) . P

P = A : (x + 1)

P = (x⁴ + x³ – 2x – 2) : (x + 1)

Giải Bài tập SGK Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Vậy P = x³ – 2.

e) Chia đa thức A cho đa thức x² + 1 ta được:

Ta thấy đa thức A không chia hết cho x² + 1 (dư -3x – 1) nên không tồn tại đa thức Q.

\(\)

7.45. Cho đa thức P(x). Giải thích tại sao nếu có đa thức Q(x) sao cho P(x) = (x – 3) . Q(x) (tức P(x) chia hết cho x – 3) thì x = 3 là một nghiệm của P(x).

Giải

Tại x = 3 ta có:

P(3) = (3 – 3) . Q(3) = 0 . Q(3) = 0.

Do đó x = 3 là một nghiệm của P(x).

\(\)

7.46. Hai bạn Tròn và Vuông tranh luận với nhau như sau:

Vuông: “Đa thức M(x) = x³ + 1 có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc hai”.

Tròn: “Không thể như thế được. Nhưng M(x) có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc bốn”.

Hãy cho biết ý kiến của em và nêu một ví dụ minh họa.

Giải

Tổng của hai đa thức bậc hai sẽ chỉ tạo ra đa thức có bậc cao nhất là 2.

Do đó ý kiến của bạn Tròn là ý kiến đúng.