Bài tập cuối chương VI

Bài tập cuối chương \(VI\) trang \(25\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

\(A -\) TRẮC NGHIỆM

Bài \(6.27\). Cho hai số thực dương \(x, y\) và hai số thực \(\alpha, \beta\) tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(A.\) \(x^{\alpha}. x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}\).
\(B.\) \(x^{\alpha}. y^{\beta} = (xy)^{\alpha + \beta}\).
\(C.\) \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha. \beta}\).
\(D.\) \((x.y)^{\alpha} = x^{\alpha}. y^{\alpha}\).

Trả lời:

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(6.28\). Rút gọn biểu thức \(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} : (x^{\frac{5}{8}})\) (\(x > 0\)) ta được:
\(A.\) \(\sqrt[4]{x}\).
\(B.\) \(\sqrt{x}\).
\(C.\) \(\sqrt[3]{x}\).
\(D.\) \(\sqrt[5]{x}\).

Trả lời:

Ta có: \(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} : (x^{\frac{5}{8}}) = \sqrt{x\sqrt{x. x^{\frac{1}{2}}}} : x^{\frac{5}{8}}\)

\(= \sqrt{x. x^{\frac{3}{4}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} : x^{\frac{5}{8}}\)

\(= x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} \)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(6.29\). Cho hai số thực dương \(a, b\) với \(a \neq 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(\log_{a} (a^3b^2) = 3 + \log_{a} b\).
\(B.\) \(\log_{a} (a^3b^2) = 3 + 2\log_{a} b\).
\(C.\) \(\log_{a} (a^3b^2) = \displaystyle \frac{3}{2} + \log_{a} b\).
\(D.\) \(\log_{a} (a^3b^2) = \displaystyle \frac{1}{3} + \displaystyle \frac{1}{2} \log_{a} b\).

Trả lời:

Ta có: \(\log_{a} (a^3b^2) = \log_{a} a^3 + \log_{a} b^2\)

\(= 3 + 2\log_{a} b\)

Chọn đáp án \(B\).`

\(\)

Bài \(6.30\). Cho bốn số thực dương \(a, b, x, y\) với \(a, b \neq 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(A.\) \(\log_{a} (xy) = \log_{a} x + \log_{b} y\).
\(B.\) \(\log_{a} \displaystyle \frac{x}{y} = \log_{a} x \ – \ \log_{a} y\).
\(C.\) \(\log_{a} \displaystyle \frac{1}{x} = \displaystyle \frac{1}{\log_{a} x}\).
\(D.\) \(\log_{a} b. \log_{b} x = \log_{a} x\).

Trả lời:

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(6.31\). Đặt \(\log_{2} 5 = a, \log_{3} 5 = b\). Khi đó \(\log_{6} 5\) tính theo \(a\) và \(b\) bằng:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{ab}{a + b}\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{1}{a + b}\).
\(C.\) \(a^2 + b^2\).
\(D.\) \(a + b\).

Trả lời:

Ta có: \(\log_{6} 5 = \displaystyle \frac{1}{\log_{5} 6} = \displaystyle \frac{1}{\log_{5} 2 + \log_{5} 3}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{\frac{1}{\log_{2} 5} + \frac{1}{\log_{3} 5}} = \displaystyle \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \displaystyle \frac{ab}{a + b}\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(6.32\). Cho hàm số \(y = 2^x\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(A.\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
\(B.\) Tập giá trị của hàm số là \((0; +\infty)\).
\(C.\) Đồ thị của hàm số cắt trục \(Ox\) tại đúng một điểm.
\(D.\) Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Trả lời:

Dựa vào tính chất hàm số mũ \(y = a^x\) có đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.

Do đó đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(6.33\). Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
\(A.\) \(y = \log_{0,5} x\).
\(B.\) \(y = e^{\ – \ x}\).
\(C.\) \(y = \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^x\).
\(D.\) \(y = \ln x\).

Trả lời:

Dựa vào tính chất hàm số lôgarit \(y = \log_{a} x\) ta có:

Hàm số \(y = \ln x\) đồng biến trên tập xác định \((0; +\infty)\) của nó.

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(6.34\). Cho đồ thị ba hàm số \(y = \log_{a} x, y = \log_{b} x\) và \(y = \log_{c} x\) như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(a > b > c\).
\(B.\) \(b > a > c\).
\(C.\) \(a > b > c\).
\(D.\) \(b > c > a\).

Trả lời:

Hàm số \(y = \log_{c} x\) nghịch biến nên \(0 < c < 1\)

Hàm số \(y = \log_{a} x, y = \log_{b} x\) đồng biến nên \(a, b > 1\)

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\log_{a} x > \log_{b} x\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{\log_{x} a} > \displaystyle \frac{1}{\log_{x} b}\)

\(\Leftrightarrow \log_{x} a < \log_{x} b\)

\(\Leftrightarrow a < b\)

Vậy \(c < a < b\)

Chọn đáp án \(B\).

\(\)

\(B -\) TỰ LUẬN

Bài \(6.35\). Cho \(0 < a \neq 1\).Tính giá trị của biểu thức \(B = \log_{a} \left(\displaystyle \frac{a^2. \sqrt[3]{a}. \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right) + a^{2\log_{a} \frac{\sqrt{105}}{30}}\).

Trả lời:

\(B = \log_{a} \left(\displaystyle \frac{a^2. \sqrt[3]{a}. \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right) + a^{2\log_{a} \frac{\sqrt{105}}{30}}\)

\(= \log_{a} \left(\displaystyle \frac{a^2. a^{\frac{1}{3}}. a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}}\right) + a^{\log_{a} \left(\frac{\sqrt{105}}{30}\right)^2}\)

\(= \log_{a} \displaystyle \frac{a^{\frac{47}{15}}}{a^{\frac{1}{4}}} + a^{\log_{a} \displaystyle \frac{7}{60}}\)

\(= \log_{a} a^{\frac{173}{60}} + \left(\displaystyle \frac{7}{60}\right)^{\log_{a} a}\)

\(= \displaystyle \frac{173}{60} + \displaystyle \frac{7}{60} = \displaystyle \frac{180}{60} = 3\)

\(\)

Bài \(6.36\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(3^{1 \ – \ 2x} = 4^x\);
\(b)\) \(\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 4) = 2\).

Trả lời:

\(a)\) \(3^{1 \ – \ 2x} = 4^x\)

Lấy lôgarit hai vế của phương trình ta được:

\(\log_{3} (3^{1 \ – \ 2x}) = \log_{3} 4^x\)

\(\Leftrightarrow 1 \ – \ 2x = x \log_{3} 4\)

\(\Leftrightarrow x(2 + \log_{3} 4) = 1\)

\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{1}{2 + \log_{3} 4} = \displaystyle \frac{1}{\log_{3} 9 + \log_{3} 4}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{\log_{3} 36} = \log_{36} 3\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \log_{36} 3\).

\(b)\) \(\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 4) = 2\)

Điều kiện \(x > \ – \ 1\)

Phương trình đã cho tương đương với:
\(\log_{3} [(x + 1)(x + 4)] = 2\)

\(\Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) = 9\)

\(\Leftrightarrow x^2 + 5x \ – \ 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\ – \ 5 + 3\sqrt{5}}{2} (\text{ Thoả mãn })\\x = \displaystyle \frac{\ – \ 5 \ – \ 3\sqrt{5}}{2} (\text{ Loại }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 5 + 3\sqrt{5}}{2}\).

\(\)

Bài \(6.37\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \sqrt{4^x \ – \ 2^{x + 1}}\);
\(b)\) \(y = \ln (1 \ – \ \ln x)\).

Trả lời:

\(a)\) Điều kiện để hàm số \(y = \sqrt{4^x \ – \ 2^{x + 1}}\) có nghĩa là:

\(4^2 \ – \ 2^{x + 1} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2^{2x} \ – \ 2. 2^x \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2^x. (2^x \ – \ 2) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2^x \ – \ 2 \geq 0\) (Do \(2^x > 0\))

\(\Leftrightarrow 2^x \geq 2\)

\(\Leftrightarrow x \geq 1\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \([1; +\infty)\)

\(b)\) Điều kiện để hàm số \(y = \ln (1 \ – \ \ln x)\) có nghĩa là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x > 0\\1 \ – \ \ln x > 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x > 0\\x < e \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow 0 < x < e\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \((0; e)\).

\(\)

Bài \(6.38\). Lạm phát là sự tăng mức giá chugn một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn nếu lạm phát là \(5 \%\) một năm thì sức mua của \(1\) triệu đồng sau một năm chỉ còn là \(950\) nghìn đồng (vì đã giảm mất \(5 \%\) của một triệu đồng, tức là \(50000\) đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là \(r\%\) một năm thì tổng số tiền \(P\) ban đầu, sau \(n\) năm số tiền đó chỉ còn giá trị là
\(A = P. \left(1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{100}\right)^n\).
\(a)\) Nếu tỉ lệ lạm phát là \(8 \%\) một năm thì sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?
\(b)\) Nếu sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm chỉ còn là \(90\) triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?
\(c)\) Nếu tỉ lệ lạm phát là \(5 \%\) một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Trả lời:

\(a)\) Nếu tỉ lệ lạm phát là \(8 \%\) một năm thì sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại:

\(A = 100. \left(1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{100}\right)^2 = 84,64\) (triệu đồng)

\(b)\) Nếu sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm chỉ còn là \(90\) triệu đồng thì:

\(90 = 100. \left(1 \ – \ \displaystyle \frac{r}{100}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \left(1 \ – \ \displaystyle \frac{r}{100}\right)^2 = 0.9\)

\(\Leftrightarrow r \approx 5,13\)

Vậy Nếu sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm chỉ còn là \(90\) triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là \(5,13 \%\)

\(c)\) Nếu tỉ lệ lạm phát là \(5 \%\) một năm và sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa tức là:

\(\displaystyle \frac{P}{2} = P. \left(1 \ – \ \displaystyle \frac{5}{100}\right)^n\)

\(\Leftrightarrow \left(\displaystyle \frac{19}{20}\right)^n = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow n \approx 13,51\)

Vậy Nếu tỉ lệ lạm phát là \(5 \%\) một năm thì sau \(14\) năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa.

\(\)

Bài \(6.39\). Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi \(N_0\) là số lượng vi khuẩn ban đầu và \(N(t)\) là số lượng vi khuẩn sau \(t\) giờ thì ta có:
\(N(t) = N_0. e^{rt}\),
trong đó \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.
Giả sử ban đầu có \(500\) con vi khuẩn và sau \(1\) giờ tăng lên \(800\) con. Hỏi:
\(a)\) Sau \(5\) giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?
\(b)\) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Trả lời:

Ban đầu có \(500\) con vi khuẩn và sau \(1\) giờ tăng lên \(800\) con nên ta có:

\(800 = 500. e^r \Leftrightarrow r = \ln 1,6\)

\(a)\) Sau \(5\) giờ thì số lượng vi khuẩn là:

\(N(5) = 500. e^{\ln 1,6. 5} = 5242,88\) (con)

\(b)\) Số lượng vi khuẩn ban đầu tăng lên gấp đôi nên ta có:

\(2 N_0 = N_0. e^{\ln 1,6. t} \Leftrightarrow e^{\ln 1,6. t} = 2\)

\(\Leftrightarrow t \approx 1,47\)

Vậy sau khoảng \(1,47\) giờ thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.

\(\)

Bài \(6.40\). Vào năm \(1938\), nhà Vật lý Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất \(P\) để chữ số \(d\) là chữ số đầu tiên của bộ số đó: \(P = \log \displaystyle \frac{d + 1}{d}\).
Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là \(9\) bằng khoảng \(4,6 \%\) (thay \(d = 9\) trong công thức Benford để tính \(P\)).
\(a)\) Viết công thức tìm chữ số \(d\) nếu cho trước xác suất \(P\).
\(b)\) Tìm chữ số có xác suất \(9,7 \%\) được chọn.
\(c)\) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là \(1\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(P = \log \displaystyle \frac{d + 1}{d}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{d + 1}{d} = 10^P\)

\(\Leftrightarrow 1 + \displaystyle \frac{1}{d} = 10^{P}\)

\(\Leftrightarrow d = \displaystyle \frac{1}{10^P \ – \ 1}\)

\(b)\) Chữ số có xác suất \(9,7 \%\) nên ta có \(P = 9,7 \%\).

Suy ra \(d = \displaystyle \frac{1}{10^{9,7 \%} \ – \ 1} \approx 4\)

Vậy chữ số \(4\) có xác suất \(9,7 \%\) được chọn.

\(c)\) Xác suất để chữ số đầu tiên là \(1\) là:

\(P = \log \displaystyle \frac{1 + 1}{1} \approx 0,3\)

Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI

Xem bài giải trước: Bài 21- Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Xem bài giải tiếp theo: Bài 22 – Hai đường thẳng vuông góc
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống