Bài tập cuối chương \(VI\) trang \(56\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Điều kiện xác định của \(x^{\ – \ 3}\) là:
\(A: x \in \mathbb{R}\).
\(B: x \geq 0\).
\(C: x \neq 0\).
\(D: x > 0\).
Trả lời:
Đáp án \(C: x \neq 0\)
\(\)
Bài \(2\). Điều kiện xác định của \(x^{\frac{3}{5}}\) là:
\(A: x \in \mathbb{R}\).
\(B: x \geq 0\).
\(C: x \neq 0\).
\(D: x > 0\).
Trả lời:
Đáp án \(A: x \in \mathbb{R}\)
\(\)
Bài \(3\). Tập xác định của hàm số \(y = \log_{0,5} (x^2 \ – \ 2x + 1)\) là:
\(A: \mathbb{R}\).
\(B: \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
\(C: (0; +\infty)\).
\(D: (1; +\infty)\).
Trả lời:
Hàm số \(y = \log_{0,5} (x^2 \ – \ 2x + 1)\) xác định khi và chỉ khi:
\(x^2 \ – \ 2x + 1 > 0\)
\(\Leftrightarrow (x \ – \ 1)^2 > 0\)
\(\Leftrightarrow x \neq 1\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\)
Chọn đáp án \(B\)
\(\)
Bài \(4\). Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
\(A: y = (0,5)^x\).
\(B: y = \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^x\).
\(C: y = (\sqrt{2})^x\).
\(D: y = \left(\displaystyle \frac{e}{\pi}\right)^x\).
Trả lời:
Ta có: \(0 < 0,5 < 1\) nên hàm số \(y = (0,5)^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\(0 < \displaystyle \frac{2}{3} < 1\) nên hàm số \(y = \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\(1 < \sqrt{2}\) nên hàm số \(y = (\sqrt{2})^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(5\). Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
\(A: y = log_{3} x\).
\(B: y = \log_{\sqrt{3}} x\).
\(C: y = \log_{\displaystyle \frac{1}{e}} x\)
\(D: y = \log_{\pi} x\).
Trả lời:
Xét hàm số \(y = \log_a x\) nghịch biến khi và chỉ khi \(0 < a < 1\)
Chọn đáp án \(C\)
\(\)
Bài \(6\). Nếu \(3^x = 5\) thì \(3^{2x}\) bằng:
\(A: 15\).
\(B: 125\).
\(C: 10\).
\(D: 25\).
Trả lời:
Ta có: \(3^{2x} = (3^x)^2 = 5^2 = 25\).
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(7\). Cho \(A = 4^{\log_{2} 3}\). Khi đó giá trị của \(A\) bằng:
\(A: 9\).
\(B: 6\).
\(C: \sqrt{3}\).
\(D: 81\).
Trả lời:
\(A = 4^{\log_{2} 3} = 2^{2\log_{2} 3} = 3^2 = 9\)
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(8\). Nếu \(log_{a} b = 3\) thì \(log_{a} b^2\) bằng:
\(A: 9\).
\(B: 5\).
\(C: 6\).
\(D: 8\).
Trả lời:
Ta có: \(\log_{a} b^2 = 2\log_{a} b = 2. 3 = 6\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(9\). Nghiệm của phương trình \(3^{2x \ – \ 5} = 27\) là:
\(A: 1\).
\(B: 4\).
\(C: 6\).
\(D: 7\).
Trả lời:
Ta có: \(3^{2x \ – \ 5} = 27\)
\(\Leftrightarrow 3^{2x \ – \ 5} = 3^3\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ 5 = 3\)
\(\Leftrightarrow x = 4\)
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(10\). Nghiệm của phương trình \(\log_{0,5} (2 \ – \ x) = \ – \ 1\) là:
\(A: 0\).
\(B: 2,5\).
\(C: 1,5\).
\(D: 2\).
Trả lời:
Điều kiện xác định: \(2 \ – \ x > 0 \Leftrightarrow x < 2\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\log_{\frac{1}{2}} (2 \ – \ x) = \log_{\frac{1}{2}} 2\)
\(\Leftrightarrow 2 \ – \ x = 2\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) thoả mãn
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(11\). Tập nghiệm của bất phương trình \((0,2)^x > 1\) là:
\(A: (\ – \ \infty; 0,2)\).
\(B: (0,2; +\infty)\).
\(C: (0; +\infty)\).
\(D: (\ – \ \infty; 0)\).
Trả lời:
Ta có: \((0,2)^x > 1\)
\(\Leftrightarrow (0,2)^x > (0,2)^0\)
Mà \(0 < 0,2 < 1\) nên \(x < 0\)
Chọn đáp án \(D\).
\(\)
Bài \(12\). Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{\frac{1}{4}} x > \ – \ 2\) là:
\(A: (\ – \ \infty; 16)\).
\(B: (16; +\infty)\).
\(C: (0; 16)\).
\(D: (\ – \ \infty; 0)\).
Trả lời:
Điều kiện xác định: \( x > 0\)
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\(\log_{\frac{1}{4}} x > \log_{\frac{1}{4}} 16\)
Mà \(0 < \displaystyle \frac{1}{4} < 1\) nên \(x < 16\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(0 < x < 16\)
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(13\). Cho ba số thực dương \(a, b, c\) khác \(1\) và đồ thị của ba hàm số mũ \(y = a^x, y = b^x, y = c^x\) được cho bởi Hình \(14\). Kết luận nào sau đây là đúng với ba số \(a, b, c\)?
\(A. c < a < b\).
\(B. c < b < a\).
\(C. a < b < c\).
\(D. b < c < a\).
Trả lời:
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
\(c^x\) nghịch biến, \(a^x, b^x\) đồng biến nên \(0 < c < 1; a > 1; b > 1\)
\(\Rightarrow c\) nhỏ nhất.
Đồ thị hàm số \(y = b^x\) đi lên cao hơn so với đồ thị hàm số \(y = a^x\) nên \(a < b\)
Vậy \(c < a < b\)
Chọn đáp án \(A\).
\(\)
Bài \(14\). Cho ba số thực dương \(a, b, c\) khác \(1\) và đồ thị của ba hàm số lôgarit \(y = \log_a x, y = \log_b x, y = \log_c x\) được cho bởi Hình \(15\). Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số \(a, b, c\)?
\(A. c < a < b\).
\(B. c < b < a\).
\(C. a < b < c\).
\(D. b < c < a\).
Trả lời:
Do \(y = \log_{a} x\) đồng biến nên \(a\) lớn nhất.
Mặt khác, \(\log_{b} x > \log_{c} x\) và hai hàm số đều nghịch biến nên \(b < c\)
Suy ra \(b < c < a\)
Chọn đáp án \(D\)
\(\)
Bài \(15\). Viết các biểu thức sau về luỹ thừa cơ số \(a\):
\(a)\) \(A = \sqrt[3]{5\sqrt{\displaystyle \frac{1}{5}}}\) với \(a = 5\);
\(b)\) \(B = \displaystyle \frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}}\) với \(a = \sqrt{2}\).
Trả lời:
\(a)\) \(A = \sqrt[3]{5\sqrt{\displaystyle \frac{1}{5}}} = \sqrt[3]{a\sqrt{\displaystyle \frac{1}{a}}} = \sqrt[3]{a. a^{\ – \ \frac{1}{2}}}\)
\(= \sqrt[3]{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{6}}\)
\(b)\) \(B = \displaystyle \frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}} = \displaystyle \frac{2^2. 2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{2}{3}}}\)
\(= \displaystyle \frac{2^{\frac{11}{5}}}{2^{\frac{2}{3}}} = 2^{\frac{23}{15}}\)
\(= (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{46}{15}} = (\sqrt{2})^{\frac{46}{15}} = a^{\frac{46}{15}}\)
\(\)
Bài \(16\). Cho \(x, y\) là các số thực dương. Rút gọn mỗi biểu thức sau:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{x^{\frac{5}{4}}. y + x. y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}\).
\(b)\) \(B = \left(\sqrt[7]{\displaystyle \frac{x}{y}. \sqrt[5]{\displaystyle \frac{y}{x}}}\right)^{\frac{35}{4}}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^{\frac{5}{4}}. y + x. y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^{\frac{1}{4}}. x. y + x. y. y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}\)
\(= \displaystyle \frac{xy. (x ^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}} = xy\)
\(b)\) \(B = \left(\sqrt[7]{\displaystyle \frac{x}{y}. \sqrt[5]{\displaystyle \frac{y}{x}}}\right)^{\frac{35}{4}}\)
\(= \left(\sqrt[7]{\displaystyle \frac{x}{y}. \left(\displaystyle \frac{x}{y}\right)^{\ – \ \displaystyle \frac{1}{5}}}\right)^{\frac{35}{4}}\)
\(= \left(\sqrt[7]{\left(\displaystyle \frac{x}{y}\right)^{\frac{4}{5}}}\right)^{\frac{35}{4}}\)
\(= \left(\left(\displaystyle \frac{x}{y}\right)^{\frac{4}{35}}\right)^{\frac{35}{4}}\)
\(= \displaystyle \frac{x}{y}\)
\(\)
Bài \(17\). Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{5}{2^x \ – \ 3}\);
\(b)\) \(y = \sqrt{25 \ – \ 5^x}\);
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{x}{1 \ – \ \ln x}\);
\(d)\) \(y = \sqrt{1 \ – \ \log_{3} x}\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{5}{2^x \ – \ 3}\)
Điều kiện xác định:
\(2^x \ – \ 3 \neq 0\)
\(\Leftrightarrow 2^x \neq 3\)
\(\Leftrightarrow x \neq \log_{2} 3\)
Vậy tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{\log_{2} 3\}\)
\(b)\) \(y = \sqrt{25 \ – \ 5^x}\)
Điều kiện xác định: \(25 \ – \ 5^x \geq 0\)
\(\Leftrightarrow 5^x \leq 25 = 5^2\)
\(\Leftrightarrow x \leq 2\)
Vậy tập xác định \(D = (\ – \ \infty; 2]\)
\(c)\) \(y = \displaystyle \frac{x}{1 \ – \ \ln x}\)
Điều kiện xác định: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x > 0\\1 \ – \ \ln x \neq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x > 0\\x \neq e \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy tập xác định \(D = (0; +\infty) \setminus \{e\}\)
\(d)\) \(y = \sqrt{1 \ – \ \log_{3} x}\)
Điều kiện xác định: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x > 0\\1 \ – \ \log_{3} x \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x > 0\\x \leq 3 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy tập xác định \(D = (0; 3]\)
\(\)
Bài \(18\). Cho \(a > 0, a \neq 1\) và \(a^{\displaystyle \frac{3}{5}} = b\).
\(a)\) Viết \(a^6; a^3b; \displaystyle \frac{a^9}{b^9}\) theo luỹ thừa cơ số \(b\).
\(b)\) Tính: \(\log_a b; \log_a (a^2b^5); \log_{\sqrt[5]{a}} \left(\displaystyle \frac{a}{b}\right)\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(a^6 = (a^{\frac{3}{5}})^{10} = b^{10}\)
\(a^3b = (a^{\frac{3}{5}})^5. b = b^5. b = b^6\)
\(\displaystyle \frac{a^9}{b^9} = \displaystyle \frac{(a^{\frac{3}{5}})^{15}}{b^9}\)
\(= \displaystyle \frac{b^{15}}{b^9} = b^6\)
\(b)\) \(\log_a b = \log_{a} a^{\frac{3}{5}} = \displaystyle \frac{3}{5}\)
\(\log_a (a^2b^5) = \log_a a^2 + \log_a b^5 = 2\log_{a} a + 5\log_{a} b\)
\(= 2. 1 + 5. \displaystyle \frac{3}{5} = 5\)
\(\log_{\sqrt[5] a} \left(\displaystyle \frac{a}{b}\right) = \log_{\sqrt[5] a} a \ – \ \log_{\sqrt[5] a} b\)
\(= 5 \log_a a \ – \ 5\log_a b = 5 \ – \ 5. \displaystyle \frac{3}{5} = 2\)
\(\)
Bài \(19\). Giải mỗi phương trình sau:
\(a)\) \(3^{x^2 \ – \ 4x + 5} = 9\);
\(b)\) \(0,5^{2x \ – \ 4} = 4\);
\(c)\) \(\log_{3} (2x \ – \ 1) = 3\);
\(d)\) \(\log x + \log( x \ – \ 3) = 1\).
Trả lời:
\(a)\) \(3^{x^2 \ – \ 4x + 5} = 9\)
\(\Leftrightarrow 3^{x^2 \ – \ 4x + 5} = 2=3^2\)
\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 4x + 5 = 2\)
\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 4x + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = 1\)
\(b)\) \(0,5^{2x \ – \ 4} = 4\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ 4 = \log_{\frac{1}{2}} 4\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ 4 = \ – \ 2\)
\(\Leftrightarrow x = 1\)
\(c)\) \(\log_{3} (2x \ – \ 1) = 3\)
Điều kiện xác định: \(2x \ – \ 1 > 0 \Leftrightarrow x > \displaystyle \frac{1}{2}\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\log_{3} (2x \ – \ 1) = \log_{3} 27\)
\(\Leftrightarrow 2x \ – \ 1 = 27\)
\(\Leftrightarrow x = 14\) thoả mãn
\(d)\) \(\log x + \log( x \ – \ 3) = 1\)
Điều kiện xác định: \(x > 3\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\log (x. (x \ – \ 3)) = \log 10\)
\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 3x = 10\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 5\\x = \ – \ 2 \text{ Không thoả mãn } \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(x = 5\)
\(\)
Bài \(20\). Giải mỗi bất phương trình sau:
\(a)\) \(5^x < 0,125\);
\(b)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{2x + 1} \geq 3\);
\(c)\) \(\log_{0,3} x > 0\);
\(d)\) \(\ln (x + 4) > \ln (2x \ – \ 3)\).
Trả lời:
\(a)\) \(5^x < 0,125\)
\(\Leftrightarrow x < \log_{5} 0,125\)
\(b)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{2x + 1} \geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2x + 1 \leq \log_{\frac{1}{3}} 3\)
\(\Leftrightarrow 2x + 1 \leq \ – \ 1\)
\(\Leftrightarrow x \leq \ – \ 1\)
\(c)\) \(\log_{0,3} x > 0\)
Điều kiện xác định: \(x > 0\)
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\(x < 0,3^0 = 1\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta được: \(0 < x < 1\)
\(d)\) \(\ln (x + 4) > \ln (2x \ – \ 3)\)
Điều kiện xác định: \(x > \displaystyle \frac{3}{2}\)
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\(x + 4 > 2x \ – \ 3\)
\(\Leftrightarrow x < 7\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta được: \(\displaystyle \frac{3}{2} < x < 7\)
\(\)
Bài \(21\). Trong một trận động đất, năng lượng giải toả \(E\) (đơn vị: Jun, kí hiệu \(J\)) tại tâm địa chấn ở \(M\) độ Richter được xác định xấp xỉ bởi công thức: \(\log E \approx 11,4 + 1,5M\).
\(a)\) Tính xấp xỉ năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(5\) độ Richter.
\(b)\) Năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(8\) độ Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng giải toả ở tâm địa chấn ở \(5\) độ Richter.
Trả lời:
\(a)\) Năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(5\) độ Richter là:
\(\log E \approx 11,4 + 1,5. M \approx 11,4 + 1,5. 5 \approx 18,9\)
\(\Rightarrow E_5 \approx 10^{18,9} \approx 7,9. 10^{18}\)
\(b)\) Năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(8\) độ Richter là:
\(\log E \approx 11,4 + 1,5. M \approx 11,4 + 1,5. 8 \approx 23,4\)
\(\Rightarrow E_8 \approx 10^{23,4} \approx 2,5. 10^{23}\)
Ta có: \(\displaystyle \frac{E_8}{E_5} = \displaystyle \frac{2,5. 10^{23}}{7,9. 10^{18}} \approx 31645\)
Vậy năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(8\) độ Richter gấp khoảng \(31645\) lần năng lượng giải toả ở tâm địa chấn ở \(5\) độ Richter.
\(\)
Bài \(22\). Trong cây cối có chất phóng xạ \(_6^{14}C\). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ của nó bằng \(86\%\) độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó. Biết chu kì bán rã của \(_6^{14}C\) là \(T = 5730\) năm, độ phóng xạ của chất phóng xạ tại thời điểm \(t\) được cho bởi công thức \(H = H_0 e^{\ – \ \lambda t}\) với \(H_0\) là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t = 0, \lambda = \displaystyle \frac{\ln 2}{T}\) là hằng số phóng xạ.
Trả lời:
Ta có: \(\lambda = \displaystyle \frac{\ln 2}{T} = \displaystyle \frac{\ln 2}{5730} \approx 0,121\)
Lại có: \(H = H_0. e^{\lambda. t}\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{H}{H_0} = e^{\ – \ \lambda. t} = 0,86\)
\(\Rightarrow t = \displaystyle \frac{\ln 0,86}{\ – \ \lambda} = \displaystyle \frac{\ln 0,86}{\ – \ 0,121}\)
\(\approx 1,246\) năm
Vậy độ tuổi của mẫu gổ cổ đó là khoảng \(1,246\) năm.
Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI
Xem bài giải trước: Bài 4 – Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.