Bài tập cuối chương VI

Bài tập cuối chương \(VI\) trang \(28\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(A\) – TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

Bài \(6.24\). Tập xác định của hàm số \(y = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x \ – \ 2}}\) là:
\(A\). \(D = [2; +\infty)\);
\(B\). \(D = (2; +\infty)\);
\(C\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\);
\(D\). \(D = \mathbb{R}\)

Trả lời:

Biểu thức \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x \ – \ 2}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x \ – \ 2 > 0\)

\(\Leftrightarrow x > 2\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = (2; + \infty)\)

Đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(6.25\). Parabol \(y = \ – \ x^2 + 2x + 3\) có đỉnh là:
\(A\). \(I(\ – \ 1; 0)\).
\(B\). \(I(3; 0)\).
\(C\). \(I(0; 3)\).
\(D\). \(I(1; 4)\).

Trả lời:

Ta có \(a = \ – \ 1; b = 2; c = 3\)

Toạ độ đỉnh \(I\) là:

\(x_I = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{2. (\ – \ 1)} = 1\)

\(y_I = (\ – \ 1)^2 + 2. 1 + 3 = 4\)

\(\Rightarrow\) Đỉnh của parabol là \(I(1; 4)\).

Đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(6.26\). Hàm số \(y = x^2 \ – \ 5x + 4\)
\(A\). Đồng biến trên khoảng \((1; +\infty)\).
\(B\). Đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 4)\).
\(C\). Nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 1)\).
\(D\). Nghịch biến trên khoảng \((1; 4)\).

Trả lời:

Ta có các hệ số \(a = 1; b = \ – \ 5; c = 4\)

\(x_I = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ (\ – \ 5)}{2.1} = \displaystyle \frac{5}{2}\)

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{5}{2}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{5}{2}; + \infty \right)\).

Mà \((\ – \ \infty; 1) \subset \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{5}{2}\right)\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 1)\)

Đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(6.27\). Bất phương trình \(x^2 \ – \ 2mx + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi
\(A\). \(m = \ – \ 1\).
\(B\). \(m = \ – \ 2\).
\(C\). \(m = 2\).
\(D\). \(m > 2\).

Trả lời:

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 2mx + 4\) có hệ số \(a = 1 > 0, \Delta’ = (\ – \ m)^2 \ – \ 1. 4 = m^2 \ – \ 4\)

Để \(f(x) > 0\) (cùng dấu với hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta’ < 0 \text{ hay } m^2 \ – \ 4 < 0\)

\(\Leftrightarrow m^2 < 4\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 2 < m < 2\)

Ta thấy đáp án \(m = \ – \ 1\) thỏa mãn

Vậy chọn đáp án \(A\)

\(\)

Bài \(6.28\). Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt{2x^2 \ – \ 3} = x \ – \ 1\) là
\(A\). \(\{\ – \ 1 \ – \ \sqrt{5}; \ – \ 1 + \sqrt{5}\}\);
\(B\). \(\{\ – \ 1 \ – \ \sqrt{5}\}\).
\(C\). \(\{\ – \ 1 + \sqrt{5}\}\).
\(D\). \(\emptyset\).

Trả lời:

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt{2x^2 \ – \ 3} = x \ – \ 1\) ta được:

\(2x^2 \ – \ 3 = x^2 \ – \ 2x + 1\)

\(\Leftrightarrow x^2 + 2x \ – \ 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = \ – \ 1 \ – \ \sqrt{5}\\x = \ – \ 1 + \sqrt{5} \end{matrix} \right.\)

Lần lượt thay hai giá trị tìm được vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \ – \ 1 + \sqrt{5}\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{\ – \ 1 + \sqrt{5}\}\)

Đáp án \(C\).

\(\)

\(B\) – TỰ LUẬN

Bài \(6.29\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \sqrt{2x \ – \ 1} + \sqrt{5 \ – \ x}\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x \ – \ 1}}\).

Trả lời:

\(a)\) Biểu thức \(\sqrt{2x \ – \ 1} + \sqrt{5 \ – \ x}\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(\left \{\begin{matrix}2x \ – \ 1 \geq 0\\5 \ – \ x \geq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} x \geq \displaystyle \frac{1}{2}\\x \leq 5 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2} \leq x \leq 5 \)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left [\displaystyle \frac{1}{2}; 5 \right]\)

\(b)\) Biểu thức \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x \ – \ 1}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x \ – \ 1 > 0\) hay \(x > 1\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = (1; + \infty)\).

\(\)

Bài \(6.30\). Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:
\(a)\) \(y = \ – \ x^2 + 6x \ – \ 9\);
\(b)\) \(y = \ – \ x^2 \ – \ 4x + 1\);
\(c)\) \(y = x^2 + 4x\);
\(d)\) \(y = 2x^2 + 2x + 1\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = \ – \ x^2 + 6x \ – \ 9\) là hàm số bậc hai nên đồ thị là parabol.

Hệ số \(a = \ – \ 1 < 0\) nên đồ thị là parabol quay xuống dưới, và có:

• Tọa độ đỉnh \(I(3; 0)\)
• Trục đối xứng \(x = 3 \)
• Cắt trục \(Oy\) tại \(A(0; \ – \ 9)\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(B(6; \ – \ 9)\)
• Lấy điểm \(C(1; \ – \ 4)\) thuộc parabol, điểm đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(5; \ – \ 4)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

\(+)\) Tập giá trị của hàm số là \(\ – \ \infty; 0]\)

\(+)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 3)\) và nghịch biến trên khoảng \((3; + \infty)\).

\(b)\) Hàm số \(y = \ – \ x^2 \ – \ 4x + 1\) là hàm số bậc hai có \(a = \ – \ 1\) nên đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay xuống dưới và có:

• Tọa độ đỉnh \(I(\ – \ 2; 5)\)
• Trục đối xứng \(x = \ – \ 2\)
• Cắt trục tung tại điểm \(A(0; 1)\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(B(\ – \ 4; 1)\)
• Lấy điểm \(C(1; \ – \ 4)\) thuộc đồ thị, điểm \(D\) đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(\ – \ 5; \ – \ 4)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

\(+)\) Tập giá trị của hàm số là \((\ – \ \infty; 5]\)

\(+)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 2)\) và nghịch biến trên khoảng \((\ – \ 2; + \infty)\).

\(c)\) Hàm số \(y = x^2 + 4x\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = 1\) nên đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên và có:

• Tọa độ đỉnh \(l(\ – \ 2; \ – \ 4)\)
• Trục đối xứng \(x = \ – \ 2\)
• Cắt trục tung tại \(O(0; 0)\)
• Điểm đối xứng với \(O\) qua trục đối xứngaf \(A(\ – \ 4; 0)\)
• Lấy điểm \(B(1; 5)\) thuộc parabol. Điểm đối xứng với \(B\) qua trục đối xứng là \(C(\ – \ 5; 5)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy:

\(+)\) Tập giá trị của hàm số là \([\ – \ 4; + \infty)\)

\(+)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 2)\) và đồng biến trên khoảng \((\ – \ 2; + \infty)\).

\(d)\) Hàm số \(y = 2x^2 + 2x + 1\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = 2 > 0\) nên đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên và có:

• Tọa độ đỉnh \(I\left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{2}\right)\)
• Trục đối xứng \(x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)
• Cắt trục tung tại điểm \(A(0; 1)\)
• Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(B(\ – \ 1; 1)\)
• Lấy điểm \(C(1; 5)\) thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng với \(C\) qua trục đối xứng là \(D(\ – \ 2; 5)\)

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy:

\(+)\) Tập giá trị của hàm số là \(\left[\displaystyle \frac{1}{2}; + \infty \right)\)

\(+)\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; + \infty\right)\).

\(\)

Bài \(6.31\). Xác định Parabol \((P): y = ax^2 + bx + 3\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1; 1) \text{ và } B(\ – \ 1; 0)\);
\(b)\) \((P)\) đi qua điểm \(M(1; 2)\) và nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng;
\(c)\) \((P)\) có đỉnh là \(I(1; 4)\).

Trả lời:

Điều kiện để xác định parabol là \(a \neq 0\)

\(a)\) \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1; 1)\) và \(B(\ – \ 1; 0)\) nên tọa độ hai điểm thỏa mãn hàm số. Ta có:

\(\left \{\begin{matrix}a. 1^2 + b. 1 + 3 = 1\\a. (\ – \ 1)^2 + b. (\ – \ 1) + 3 = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\left \{\begin{matrix}a + b = \ – \ 2\\a \ – \ b = \ – \ 3 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a = \ – \ 5\\a + b = \ – \ 2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\\b = \displaystyle \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\)

Vậy phương trình parabol \((P)\) là:

\(y = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}x^2 + \displaystyle \frac{1}{2}x + 3\).

\(b)\) \((P)\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng nên ta có:

\(\displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 1\)

\(\Rightarrow a = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b\)

\((P)\) đi qua điểm \(M(1; 2)\) nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hàm số:

\(a. 1^2 + b. 1 + 3 = 2\)

\(\Leftrightarrow a + b = \ – \ 1\)

Thay \(a = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b\) vào ta được:

\(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b + b = \ – \ 1\)

\(\Rightarrow b = \ – \ 2\)

\(\Rightarrow a = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}. (\ – \ 2) = 1\)

Vậy phương trình parabol \((P)\) là:

\(y = x^2 \ – \ 2x + 3\).

\(c)\) Vì \((P)\) có đỉnh \(I(1; 4)\) nên ta có:

\(\displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 1\)

\(\Leftrightarrow a = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b\)

\((P)\) có đỉnh \(l(1; 4)\) nên tọa độ \(I\) thỏa mãn hàm số. Ta có:

\(4 = a. 1^2 + b. 1 + 3\)

\(a + b = 1\)

Thay \(a = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b\) vào ta được:

\(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}b + b = 1\)

\(\Rightarrow b = 2\)

\(\Rightarrow a = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2} = \ – \ 1\)

Vậy phương trình parabol \((P)\) là:

\(y = \ – \ x^2 + 2x \ – \ 3\)

\(\)

Bài \(6.32\). Giải các bất phương trình sau:
\(a)\) \(2x^2 \ – \ 3x + 1 > 0\);
\(b)\) \(x^2 + 5x + 4 < 0\);
\(c)\) \(\ – \ 3x^2 + 12x \ – \ 12 \geq 0\);
\(d)\) \(2x^2 + 2x + 1 < 0\).

Trả lời:

\(a)\) Xét tam thức bậc hai \(f(x) = 2x^2 \ – \ 3x + 1\) có \(\Delta = (\ – \ 3)^2 \ – \ 4. 2. 1 = 1 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{2}, x_2 = 1\)

Mặt khác hệ số \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{2}\right) \cup (1; + \infty)\)

\(b)\) Xét tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + 5x + 4\) có \(\Delta = 5^2 \ – \ 4. 1. 4 = 9 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 4, x_2 = \ – \ 1\)

Mặt khác hệ số \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = (\ – \ 4; \ – \ 1)\).

\(c)\) Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 12x \ – \ 12\) có \(\Delta’ = 6^2 \ – \ (\ – \ 3). (\ – \ 12) = 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = 2\)

Lại có hệ số \(a = \ – \ 3 < 0\) nên \(f(x)\) luôn âm (cùng dấu với \(a\)) với mọi \(x \neq 2\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2\)

\(d)\) Xét tam thức \(f(x) = 2x^2 + 2x + 1\) có \(\Delta’ = 1^2 \ – \ 2. 1 = \ – \ 1 < 0\) và có hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f(x)\) luôn dương (cùng dấu với \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\)

Bài \(6.33\). Giải các bất phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 14} = x \ – \ 1\);
\(b)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 \ – \ 5x + 2} = \sqrt{x^2 \ – \ 2x \ – \ 3}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 14} = x \ – \ 1\)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

\(2x^2 \ – \ 14x = x^2 \ – \ 2x + 1\)

\(\Leftrightarrow x^2 + 2x \ – \ 15 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = \ – \ 5\\x = 3 \end{matrix} \right.\)

Lần lượt thay các giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có giá trị \(x = 3\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 3\)

\(b)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 \ – \ 5x + 2} = \sqrt{x^2 \ – \ 2x \ – \ 3}\)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

\(\ – \ x^2 \ – \ 5x + 2 = x^2 \ – \ 2x \ – \ 3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2 + 3x \ – \ 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\\x = 1 \end{matrix} \right.\)

Lần lượt thay các giá trị tìm được vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\).

\(\)

Bài \(6.34\). Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm \(2018\). Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp \(2018\) và \(2019\) lần lượt là \(3,2\) nghìn và \(4\) nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng \(10\) năm kể từ năm \(2018\), số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai.
Giả sử \(t\) là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm \(2018\). Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm \(2018\) và năm \(2019\) lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(A(0; 3,2)\) và \((1; 4)\). Giả sử điểm \((0; 3,2)\) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.
\(a)\) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.
\(b)\) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm \(2024\).
\(c)\) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức \(52\) nghìn chiếc?

Trả lời:

\(a)\) Gọi hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = at^2 + bt + c\) (\(a \neq 0\)).

Đồ thị có đỉnh \(I(0; 3,2)\) và đi qua điểm \((1; 4)\) nên ta có hệ sau:

\(\left \{\begin{matrix}\displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 0\\a. 0^2 + b. 0 + c = 3,2\\a. 1 + b. 1 + c = 4 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}b = 0\\c = 3,2\\a + b + c = 4 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} b = 0\\c = 3,2\\a = 0,8 \end{matrix} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 0,8t^2 + 3,2\)

\(b)\) Thời gian từ năm \(2018\) đến năm \(2024\) là:

\(t = 2024 \ – \ 2018 = 6\) (năm)

Suy ra số lượng máy tính xách tay bán được trong năm \(2024\) là:

\(0,8. 6^2 + 3,2 = 32\) (nghìn chiếc)

\(c)\) Số lượng máy tính bán được vượt mức \(52\) nghìn chiếc, tức là:

\(0,8t^2 + 3,2 > 52\)

\(\Leftrightarrow 0,8t^2 > 48,8\)

\(\Leftrightarrow t^2 > 61\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \begin{cases} t < \ – \ \sqrt{61} \text{ (Loại vì t > 0) }\\t > \sqrt{61} \end{cases}\, \end{equation}\)

Ta có \(t > \sqrt{61} \approx 7,8\)

Do đó, kể từ khi bắt đầu bán đến \(8\) năm sau đó thì số lượng máy tính bán ra được trong năm sẽ vượt mức \(52\) nghìn chiếc và khi đó là năm \(2018 + 8 = 2026\)

Vậy trong năm \(2026\) thì số lượng máy tính xách tay bán được trong năm sẽ vượt mức \(52\) nghìn chiếc.

Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI Bài tập cuối chương VI

Xem bài giải trước: Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Xem bài giải tiếp theo: Bài 19 – Phương tình đường thẳng
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech