Bài tập cuối chương V

Bài tập cuối chương \(V\) trang \(20\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). \(a)\) Có bao nhiêu cách xếp \(20\) học sinh theo một hàng dọc?
\(A.\) \(20^{20}\).
\(B.\). \(20!\).
\(C.\) \(20\).
\(D.\) \(1\).

\(b)\) Số cách chọn ra \(3\) học sinh từ một lớp có \(40\) học sinh là:
\(A.\) \(A_{40}^3\).
\(B.\). \(40^3\).
\(C.\) \(3^{40}\).
\(D.\) \(C_{40}^3\).

Trả lời:

\(a)\) Mỗi cách sắp xếp \(20\) học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của \(20\) phần tử.

Do đó có \(20!\) cách xếp \(20\) học sinh theo một hàng dọc.

Chọn đáp án \(B\).

\(b)\) Mỗi cách chọn \(3\) học sinh từ \(40\) học sinh là một tổ hợp chập \(3\) của \(40\).

Do đó có \(C_{40}^3\) cách chọn \(3\) học sinh từ \(40\) học sinh.

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(2\). Bạn Dương có \(2\) chiếc quần gồm: một quần màu xanh và một quần màu đen; \(3\) chiếc áo gồm: một áo màu nâu, một áo màu xanh và một áo màu vàng; \(2\) đôi giày gồm: một đôi giày màu đen và một đôi giày màu đỏ. Bạn Dương muốn chọn \(1\) bộ quần áo và \(1\) đôi giày để đi tham quan. Bằng cách vẽ sơ đồ hình cây, tính số cách chọn \(1\) bộ quần áo và \(1\) đôi giày cho bạn Dương?

Trả lời:

Ta vẽ được sơ đồ hình cây như sau:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, có \(12\) cách chọn \(1\) bộ quần áo và \(1\) đôi giày.

\(\)

Bài \(3\). Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Cho \(3\) điểm trên đường thẳng \(a\) và \(4\) điểm trên đường thẳng \(b\). Có bao nhiêu tam giác có cả \(3\) đỉnh là \(3\) điểm trong \(7\) điểm nói trên?

Trả lời:

Chọn \(3\) điểm trong \(7\) điểm để tạo thành \(3\) đỉnh của một tam giác thì \(3\) điểm đó phải thoả mãn không thẳng hàng với nhau.

Do đó, \(3\) điểm được chọn phải thoả mãn \(1\) điểm thuộc được thẳng \(a\) và \(2\) điểm thuộc đường thẳng \(b\) hoặc ngược lại. Xet hai phương án như sau:

\(+)\) Chọn \(1\) điểm thuộc đường thẳng \(a\) và \(2\) điểm thuộc đường thẳng \(b\).

Chọn \(1\) điểm bất kì trong \(3\) điểm thuộc đường thẳng \(a\), ta có \(C_3^1 = 3\) (cách chọn).

Chọn \(2\) điểm bất kì trong \(4\) điểm thuộc đường thẳng \(b\), ta có \(C_4^2 = 6\) (cách chọn).

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn \(1\) điểm thuộc đường thẳng \(a\) và \(2\) điểm thuộc đường thẳng \(b\) là: \(3 . 6 = 18\) (cách chọn)

\(+)\) Chọn \(2\) điểm thuộc đường thẳng \(a\) và \(1\) điểm thuộc đường thẳng \(b\).

Chọn \(2\) điểm bất kì trong \(3\) điểm thuộc đường thẳng \(a\), có \(C_3^2 = 3\) (cách chọn).

Chọn \(1\) điểm bất kì trong \(4\) điểm thuộc đường thẳng \(b\), có \(C_4^1 = 4\) (cách chọn).

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn \(2\) điểm thuộc đường thẳng \(a\) và \(1\) điểm thuộc đường thẳng \(b\) là: \(3 . 4 = 12\) (cách chọn)

Áp dụng quy tắc cộng, số tam giác có cả \(3\) đỉnh là \(3\) điểm trong \(7\) điểm nói trên là:

\(18 + 12 = 30\) (tam giác).

\(\)

Bài \(4\). Trong mặt phẳng, cho \(6\) đường thẳng song song và \(8\) đường thẳng vuông góc với \(6\) đường thẳng đó. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành?

Trả lời:

Cứ \(2\) đường thẳng trong \(6\) đường thẳng song song và \(2\) đường thẳng trong \(8\) đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng trên sẽ tạo thành \(1\) hình chữ nhật.

Do đó, việc tạo một hình chữ nhật được thực hiện bởi \(2\) hành động liên tiếp như sau:

\(+)\) Chọn ngẫu nhiên \(2\) đường thẳng trong \(6\) đường thẳng song song, ta có \(C_6^2 = 15\) (cách chọn).

\(+)\) Chọn ngẫu nhiên \(2\) đường thẳng trong \(8\) đường thẳng vuông góc với \(6\) đường thẳng trên, ta có \(C_8^2 = 28\) (cách chọn).

Áp dụng quy tắc nhân, số hình chữ nhật được tạo thành là:

\(15 . 28 = 420\) (hình chữ nhật).

\(\)

Bài \(5\). Khai triển các biểu thức sau:
\(a)\) \((4y \ – \ 1)^4\);
\(b)\) \((3x + 4y)^5\).

Trả lời:

\(a)\) \((4y \ – \ 1)^4 = [4y + (\ – \ 1)]^4\)

\(= (4y)^4 + 4. (4y)^3. (\ – \ 1). + 6. (4y)^2. (\ – \ 1)^2 \)

\(+ 4. 4y. (\ – \ 1)^3 + (\ – \ 1)^4\)

\(= 256y^4 \ – \ 256y^3 + 96y^2 \ – \ 16y + 1\)

\(b)\) \((3x + 4y)^5\)

\(= (3x)^5 + 5(3x)^4. (4y) + 10. (3x)^3. (4y)^2 \)

\(+ 10. (3x)^2. (4y)^3 + 5. 3x. (4y)^4 + (4y)^5\)

\(= 243x^5 + 1620x^4y + 4320x^3y^2 + 5760x^2y^3 \)

\(+ 3840xy^4 + 1024y^5\)

\(\)

Bài \(6\). Mật khẩu của máy tính là một dãy các kí tự (có kể thứ tự từ trái qua phải) được chọn từ: \(10\) chữ số, \(26\) chữ cái in thường cùng với \(26\) chữ cái in hoa và \(10\) kí tự đặc biệt. Bạn Ngân muốn lập một mật khẩu của máy tính có độ dài là \(8\) kí tự bao gồm: \(4\) kí tự đầu tiên là \(4\) chữ số khác nhau, \(2\) kí tự tiếp theo là \(2\) chữ cái in thường, \(1\) kí tự tiếp theo nữa là chữ cái in hoa, kí tự cuối cùng là kí tự đặc biệt. Bạn Ngân có bao nhiêu cách lập mật khẩu của máy tính?

Trả lời:

Để lập một mật khẩu máy tính gồm \(8\) kí tự, ta cần thực hiện liên tiếp các hành động sau:

\(+)\) Lập \(4\) kí tự đầu tiên bằng cách chọn ra \(4\) chữ số đôi một khác nhau trong \(10\) chữ số và sắp xếp \(4\) chữ số đó theo một thứ tự.

Do đó mỗi cách lập \(4\) kí tự đầu tiên là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(10\) phần tử.

Ta có: \(A_{10}^4 = 10. 9. 8. 7 = 5040\) (cách lập)

\(+)\) Chọn \(2\) kí tự tiếp theo là chữ cái in thường.

Do \(2\) kí tự này không nhất thiết khác nhau nên ta có:

Kí tự chữ in thường đầu tiên có \(26\) cách chọn.

Kí tự chữ in thường thứ hai có \(26\) cách chọn.

Do đó, số cách chọn \(2\) kí tự tiếp theo là chữ cái in thường là:

\(26 . 26 = 676\) cách chọn.

\(+)\) Chọn \(1\) kí tự tiếp theo là chữ cái in hoa, chọn \(1\) trong \(26\) chữ cái in hoa nên ta có \(26\) cách chọn.

\(+)\) Chọn \(1\) kí tự cuối cùng là kí tự đặc biệt, chọn \(1\) trong \(10\) kí tự đặc biệt nên ta có \(10\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, số cách lập một mật khẩu máy tính của bạn Ngân là:

\(5040 . 676 . 26 . 10 = 885 830 400\) (cách lập).

Vậy bạn Ngân có \(885 830 400\) cách lập một mật khẩu máy tính.

\(\)

Bài \(7\). Một trường trung học phổ thông tổ chức cuộc thi chạy tiếp sức giữa các lớp với nội dung \(4 x 100m\) và yêu cầu mỗi đội gồm \(2\) nam, \(2\) nữ. Bạn An được giáo viên giao nhiệm vụ chọn ra \(4\) bạn và sắp xếp thứ tự chạy của \(4\) bạn đó để đăng kí dự thi. Bạn An có bao nhiêu cách lập ra một đội thi đủ điều kiện đăng kí? Biết lớp bạn An có \(22\) nam và \(17\) nữ.

Trả lời:

Để lập ra một đội thi đủ điều kiện đăng kí, ta thực hiện các hành động liên tiếp như sau:

\(+)\) Chọn ngẫu nhiên ra \(2\) bạn nam trong \(22\) bạn nam, ta có \(C_{22}^2 = 231\) (cách chọn).

\(+)\) Chọn ngẫu nhiên ra \(2\) bạn nữ trong \(17\) bạn nữ, ta có \(C_{17}^2 = 136\) (cách chọn).

\(+)\) Sắp xếp thứ tự chạy của \(4\) bạn đã được chọn ra, ta có \(4! = 24\) (cách xếp).

Áp dụng quy tắc nhân, số cách lập một đội thi đủ điều kiện đăng kí là:

\(231 . 136 . 24 = 753 984\) (cách).

Vậy có \(753 984\) cách lập đội thi đủ điều kiện đăng kí.

\(\)

Bài \(8\). Bác Thảo muốn mua \(2\) chiếc máy tính để phục vụ công việc. Người bán hàng giới thiệu cho bác \(3\) hãng máy tính để tham khảo: Hãng thứ nhất có \(4\) loại máy tính phù hợp, hãng thứ hai có \(5\) loại máy tính phù hợp, hãng thứ ba có \(7\) loại máy tính phù hợp. Bác Thảo có bao nhiêu cách chọn hai máy tính dùng cho công việc?

Trả lời:

Tổng số loại máy tính của cả \(3\) hãng mà bác Thảo được giới thiệu là:

\(4 + 5 + 7 = 16\) (chiếc)

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên ra hai chiếc máy tính trong \(16\) chiếc máy tính là tổ hợp chập \(2\) của \(16\) phần tử.

Vậy số cách để bác Thảo chọn ra \(2\) máy tính dùng cho công việc trong \(16\) máy tính là:

\(C_{16}^2 = \displaystyle \frac{16!}{2!. 14!} = 120\) (cách).

Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V Bài tập cuối chương V

Xem bài giải trước: Bài 4 – Nhị thức Newton
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Số gần đúng. Sai số
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech