Bài tập cuối chương V

Bài tập cuối chương \(V\) trang \(89\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(A\) – TRẮC NGHIỆM

Bài \(5.17\). Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia \(0,2\) kg thì độ chính xác \(d\) là:

\(A: 0,1\) kg

\(B: 0,2\) kg

\(C: 0,3\) kg

\(D: 0,4\) kg.

Trả lời:

Đáp án \(B\).

\(\)

Bài \(5.18\). Trong hai mẫu số liệu, mẫu nào có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, đúng hay sai?

\(A\). Đúng

\(B\). Sai

Trả lời:

Ta có: Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{s^2}\)

Vậy mẫu số liệu có phương sai lớn hơn thì độ lệch chuẩn lớn hơn.

Đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(5.19\). Có \(25 \%\) giá trị của mẫu số liệu nằm giữa \(Q_1\) và \(Q_3\), đúng hay sai?

\(A\). Đúng

\(B\). Sai

Trả lời:

Ta có: \(Q_2\) chia mẫu số liệu thành hai nửa bằng nhau.

Từ \(Q_1\) đến \(Q_2\) là nửa của nửa số liệu bên trái.

Từ \(Q_2\) đến \(Q_3\) là nửa của nửa số liệu bên phải.

Do đó có \(50\%\) giá trị của số liệu nằm giữa hai giá trị \(Q_1\) và \(Q_3\). Vậy phát biểu đã cho là sai.

Đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(5.20\). Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?

\(A\). Số trung bình.

\(B\). Mốt.

\(C\). Số trung vị.

\(D\). Độ lệch chuẩn.

Trả lời:

Đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(5.21\). Điểm trung bình môn học kì \(I\) một số môn học của bạn An là \(8; 9; 7; 6; 5; 7; 3\). Nếu An được cộng thêm mỗi môn \(0,5\) điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?

\(A\). Số trung bình.

\(B\). Trung vị.

\(C\). Độ lệch chuẩn.

\(D\). Tứ phân vị.

Trả lời:

Sắp xếp điểm trung bình môn học kì \(I\) của An theo thứ tự không giảm ta được:

\(3; 5; 6; 7; 7; 8; 9\).

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\(\overline{X} = \displaystyle \frac{3 + 5 + 6 + 7 + 7 + 8 + 9}{7} \approx 6,4\)

Suy ra:

\(s^2 = \displaystyle \frac{(8 \ – \ 6,4)^2 + (9 \ – \ 6,4)^2 + (7 \ – \ 6,4)^2 + (6 \ – \ 6,4)^2 + (5 \ – \ 6,4)^2 + (7 \ – \ 6,4)^2 + (3 \ – \ 6,4)^2}{7}\)

\(\approx 3,39\)

\(\Rightarrow s = \sqrt{s^2} = \sqrt{3,39} \approx 1,84\)

Vì \(n = 7\) là số lẻ nên trung vị \(Q_2 = 7\)

\(\Rightarrow Q_1 = 5, Q_3 = 8\)

Sau khi bạn An được cộng thêm \(0,5\) điểm mỗi môn thì ta có mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:

\(3,5; 5,5; 6,5; 7,5; 7,5; 8,5; 9,5\).

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\(\displaystyle \frac{3,5 + 5,5 + 6,5 + 7,5 + 7,5 + 8,5 + 9,5}{7} \approx 6,9 \)

Suy ra \(s^2 \approx 3,39\)

\(\Rightarrow s \approx 1,84\)

Vì \(n = 7\) là số lẻ nên trung vị \(Q_2 = 7,5\)

\(Q_1 = 5,5; Q_3 = 8,5\)

Vậy nếu An được cộng thêm mỗi môn \(0,5\) điểm thì số trung bình, trung vị và tứ phân vị thay đổi (cộng thêm \(0,5\)) còn độ lệch chuẩn không đổi.

Đáp án \(C\)

\(\)

\(B\) – TỰ LUẬN

Bài \(5.22\). Lương khởi điểm của \(5\) sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị triệu đồng) là:
\(3,5\) \(\) \(9,2\) \(\) \(9,2\) \(\) \(9,5\) \(\) \(10,5\).
\(a)\) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này.
\(b)\) Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán? Vì sao?

Trả lời:

\(a)\) Do các giá trị trong mẫu số liệu chênh lệch nhau khá lớn nên giá trị trung bình sẽ bị ảnh hưởng.

Vì vậy ta sẽ dùng số trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường này.

\(b)\) Vì trong mẫu có giá trị nhỏ nhất là \(3,5\) là giá trị bất thường nên sẽ ảnh hưởng tới giá trị khoảng biến thiên. Vì vậy, ta dùng khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán của mẫu số liệu.

\(\)

Bài \(5.23\). Điểm Toán và điểm Tiếng Anh của \(11\) học sinh lớp \(10\) được cho trong bảng sau:

Hãy so sánh mức độ học đều của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.

Trả lời:

Điểm môn Toán của \(11\) học sinh sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được mẫu số liệu sau:

\(5; 31; 37; 43; 43; 57; 62; 63; 78; 80; 91\)

Trung bình cộng điểm môn Toán của học sinh là:

\(\overline{X_T} = \displaystyle \frac{5 + 31 + 37 + 43 + 43 + 57 + 62 + 63 + 78 + 80 + 91}{11}\)

\(\approx 53,64\)

Phương sai \(s^2 = \displaystyle \frac{(5 \ – \ 53,64)^2 + (31 \ – \ 53,64)^2 + … + (80 \ – \ 53,64)^2 + (91 \ – \ 53,64)^2}{11}\)

\(\approx 566,78\)

\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{566,78} \approx 23,81\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\(R = 91 \ – \ 5 = 86\)

Vì \(n = 11\) là số lẻ nên số trung vị \(Q_2 = 57\)

Nửa bên trái trung vị có \(5\) số liệu, là số lẻ nên tứ phân vị thứ nhất là \(Q_1 = 37\)

Nửa bên phải trung vị có \(5\) số liệu nên tứ phân vị thứ ba là \(Q_3 = 78\)

\(\Rightarrow\) Khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 78 \ – \ 37 = 41\)

Điểm môn Tiếng anh của \(11\) học sinh sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được mẫu số liệu sau:

\(37; 41; 49; 55; 57; 62; 64; 65; 65; 70; 73\).

Trung bình cộng điểm môn Tiếng Anh của học sinh là:

\(\overline{X_{TA}} = \displaystyle \frac{37 + 41 + 49 + 55 + 62 + 64 + 65 + 65 + 70 + 73}{11}\)

\(\approx 58\)

Phương sai \(s^2 = \displaystyle \frac{(37 \ – \ 58)^2 + (41 \ – \ 58)^2 + … + (70 \ – \ 58)^2 + (73 \ – \ 58)^2}{11}\)

\(\approx 121,82\)

\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{s^2} \approx 11,04\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\(R = 73 \ – \ 37 = 34\)

Tương tự ta có:

\(Q_2 = 62; Q_1 = 49; Q_3 = 65\)

\(\Rightarrow\) Khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 65 \ – \ 49 = 16\)

\(+)\) So sánh khoảng biến thiên:

Do \(86 > 34\) nên khoảng biến thiên của mẫu số liệu điểm Toán lớn hơn mẫu số liệu điểm Tiếng Anh. Do đó độ phân tán của mẫu số liệu điểm Toán lớn hơn mẫu số liệu điểm Tiếng Anh. Vậy \(11\) bạn học sinh học môn Tiếng Anh đồng đều hơn môn Toán.

\(+)\) So sánh khoảng tứ phân vị:

Do \(41 > 16\) nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu điểm Toán lớn hơn mẫu số liệu điểm Tiếng Anh. Do đó độ phân tán của số liệu điểm Toán cao hơn Tiếng Anh. Vậy \(11\) bạn học sinh học môn Tiếng Anh đồng đều hơn môn Toán.

\(+)\) So sánh độ lệch chuẩn:

Do \(23,81 > 11,04\) nên độ phân tán của mẫu số liệu điểm Toán cao hơn Tiếng Anh. Vậy \(11\) học sinh học Tiếng Anh đồng đều hơn môn Toán.

\(\)

Bài \(5.24\). Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm \(2018\) (đơn vị triệu người).

\(a)\) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
\(b)\) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.
\(c)\) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?

Trả lời:

Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

\(0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79; 1,81;\)

\(1,85; 2,01; 7,52\).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

\(\overline{X} = \displaystyle \frac{0,81 + 0,97 + 1,09 + 1,19 + 1,25 + 1,27 + 1,79 + 1,81 + 1,85 + 2,01 + 7,52}{11}\)

\( = 1,96\)

Vì \(n = 11\) là số lẻ nên trung vị là số chính giữa của mẫu số liệu: \(Q_2 = 1,27\)

\(b)\) Ta thấy giá trị \(7,52\) là giá trị bất thường của mẫu số liệu nên dẫn tới sự sai khác nhiều của số trung bình và trung vị.

\(c)\) Do mẫu số liệu có giá trị bất thường nên ta sử dụng số trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc đồng bằng Bắc Bộ.

\(\)

Bài \(5.25\). Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm \(2017\):
Đồng bằng sông Hồng: \(187\) \(34\) \(35\) \(46\) \(54\) \(57\) \(37\) \(39\) \(23\) \(57\) \(27\).
Đồng bằng sông Cửu Long: \(33\) \(34\) \(33\) \(29\) \(24\) \(39\) \(42\) \(24\) \(23\) \(19\) \(24\) \(15\) \(26\).

(Theo Tổng cục Thống kê)

\(a)\) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.
\(b)\) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?
\(c)\) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

Trả lời:

\(a)\)

Mẫu số liệu đồng bằng sông Hồng:

Số trung bình:

\(\overline{X} = \displaystyle \frac{187 + 34 + 35 + 46 + 54 + 57 + 37 + 39 + 23 + 57 + 27}{11}\)

\(\approx 54,18\)

Phương sai \(s^2 = \displaystyle \frac{(187 \ – \ 54,18)^2 + (34 \ – \ 54,18)^2 + … + (57 \ – \ 54,18)^2 + (27 \ – \ 54,18)^2}{11}\)

\(\approx 1885,06\)

\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{s^2} \approx 43,42\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187\).

Vì \(n = 11\) là số lẻ nên trung vị \(Q_2 = 39\)

Nửa số liệu bên trái có \(5\) giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là \(Q_1 = 34\).

Nửa số liệu bên phải có \(5\) giá trị nên tứ phân vị thứ ba là \(Q_3 = 57\).

Khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 57 \ – \ 34 = 23\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\(R = 187 \ – \ 23 = 164\).

Giá trị \(57\) xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu số liệu là \(57\).

Mẫu số liệu đồng bằng sông Cửu Long:

Số trung bình:

\(\overline{X} = \displaystyle \frac{33 + 34 + 33 + 29 + 24 + 39 + 42 + 24 + 23 + 19 + 24 + 15 + 26}{13}\)

\(\approx 28,08\)

Phương sai \(s^2 = \displaystyle \frac{(33 \ – \ 28,08)^2 + (34 \ – \ 28,08)^2 + … + (15 \ – \ 28,08)^2 + (26 \ – \ 28,08)^2}{13}\)

\(\approx 56,22\)

\(\Rightarrow\) Độ lệch chuẩn là:

\(s = \sqrt{s^2} \approx 7,5\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

\(15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 42\).

Trung vị \(Q_2 = 26\)

Nửa số liệu bên trái có \(6\) giá trị là số chẵn nên tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

\(Q_1 = \displaystyle \frac{23 + 24}{2} = 23,5\)

Nửa số liệu bên phải có tứ phân vị thứ ba là:

\(Q_3 = \displaystyle \frac{33 + 34}{2} = 33,5\)

Khoảng tứ phân vị là:

\(\Delta_Q = Q_3 \ – \ Q_1 = 33,5 \ – \ 23,5 = 10\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\(R = 42 \ – \ 15 = 27\).

Giá trị \(24\) xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu số liệu là \(24\).

\(b)\) Vì trong mẫu số liệu thứ nhất xuất hiện giá trị bất thường \(187\) làm ảnh hưởng đến giá trị trung bình của mẫu số liệu thứ nhất nên hai số trung bình của hai mẫu có sự sai khác nhiều còn trung vị thì không.

\(c)\) Vì trong mẫu số liệu thứ nhất xuất hiện giá trị bất thường \(187\) là giá trị lớn nhất trong khi mẫu số liệu thứ hai không có giá trị bất thường, dẫn tới khoảng biến thiên của mẫu số liệu thứ nhất có sự sai khác nhiều so với mẫu thứ hai.

Độ phân tán của mẫu số liệu thứ nhất lớn hơn so với mẫu thứ hai nên độ lệch chuẩn của hai mẫu chênh lệch nhau nhiều.

Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của \(50\%\) số liệu chính giữa mẫu số liệu. Mà các giá trị chính giữa ở hai mẫu số liệu không khác nhau nhiều nên khoảng tứ phân vị của hai mẫu số liệu không khác nhau nhiều.

\(\)

Bài \(5.26\). Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của \(10\) tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:
\(5,5\) \(\) \(13,8\) \(\) \(10,2\) \(12,2\) \(\) \(11,0\) \(\) \(7,4\) \(\) \(11,4\) \(\) \(13,1\) \(\) \(12,5\) \(\) \(13,4\).
(Theo Tổng cục Thống kê)
\(a)\) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
\(b)\) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?

Trả lời:

\(a)\) Số trung bình của mẫu số liệu là:

\(\overline{X} = \displaystyle \frac{5,5 + 13,8 + 10,2 + 12,2 + 11,0 + 7,4 + 11,4 + 13,1 + 12,5 + 13,4}{10}\)

\(= 11,05\)

Suy ra phương sai là:

\(s^2 = \displaystyle \frac{(5,5 \ – \ 11,05)^2 + (13,8 \ – \ 11,05)^2 + … + (12,5 \ – \ 11,05)^2 + (13,4 \ – \ 11,05)^2}{10}\)

\(= 6,57\)

\(\Rightarrow s = \sqrt{s^2} = \sqrt{6,57} = 2,56\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(5,5; 7,4; 10,2; 11,0; 11,4; 12,2; 12,5; 13,1; 13,4; 13,8\).

Vì \(n = 10\) là số chẵn nên trung vị \(Q_2 = \displaystyle \frac{11,4 + 12,2}{2} = 11,8\)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: