Bài tập cuối chương IX

Bài tập cuối chương IX trang 84 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

9.36. Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}\) là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B; lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Giải

Ta có \(\widehat{BDE}\) là góc ngoài tại đỉnh D của \(∆ADE\) nên \(\widehat{BDE} =\widehat{DAE} +\widehat{DEA} >\widehat{DAE}.\)

Do đó \(\widehat{BDE}\) là góc tù.

\(∆BDE\) có \(\widehat{BDE}\) là góc tù nên \(\widehat{BDE}\) là góc lớn nhất trong \(∆BDE.\)

Do đó cạnh BE > DE (1).

\(\widehat{BEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E của \(∆ABE\) nên \(\widehat{BEC} =\widehat{EAB} +\widehat{EBA} >\widehat{EAB}.\)

Do đó \(\widehat{BEC}\) là góc tù.

\(∆BEC\) có \(\widehat{BEC}\) là góc tù nên \(\widehat{BEC}\) là góc lớn nhất trong \(∆BEC.\)

Do đó BC > BE (2).

Từ (1) và (2) ta có DE < BE < BC.

Vậy DE < BC.

\(\)

9.37. Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.52).

a) So sánh \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{AED}.\)

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Giải

a) \(∆ABC\) có AB > AC nên \(\widehat{ACB} >\widehat{ABC}.\)

\(∆ABD\) có AB = BD nên \(∆ABD\) cân tại B.

Khi đó \(\widehat{BAD} =\widehat{BDA}.\)

\(\widehat{ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh B của \(∆ABD\) nên \(\widehat{ABC} =\widehat{BAD} +\widehat{BDA} =2\widehat{BDA}.\)

\(∆ACE\) có AC = CE nên \(∆ACE\) cân tại C.

Khi đó \(\widehat{CAE} =\widehat{CEA}.\)

\(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C của \(∆ACE\) nên \(\widehat{ACB} =\widehat{CAE} +\widehat{CEA} =2\widehat{CEA}.\)

Do \(\widehat{ACB} >\widehat{ABC}\) nên \(2\widehat{CEA} >2\widehat{BDA}\) do đó \(\widehat{CEA} >\widehat{BDA}\) hay \(\widehat{AED} >\widehat{ADE}.\)

b) \(∆ADE\) có \(\widehat{AED} >\widehat{ADE}\) nên AD > AE.

\(\)

9.38. Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(AI < \displaystyle\frac{1}{2}(AB + AC);\)

b) \(AM < \displaystyle\frac{1}{2}(AB + AC).\)

Giải

a) AB là cạnh huyền của \(∆AIB\) vuông tại I.

Do đó AB > AI (1).

AC là cạnh huyền của \(∆AIC\) vuông tại I .

Do đó AC > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có 2AI < AB + AC hay AI < \(\displaystyle\frac{1}{2}\)(AB + AC).

b) Kẻ MN là tia đối MA sao cho MN = MA.

Do AM là đường trung tuyến của \(∆ABC\) nên M là trung điểm của BC.

Xét \(∆AMC\) và \(∆NMB\) có:

MN = MA (theo giả thiết);

\(\widehat{NMB} =\widehat{AMC}\) (hai góc đối đỉnh);

BM = CM (M là trung điểm của BC);

Vậy \(∆AMC=∆NMB\) (c.g.c).

Suy ra AC = BN (hai cạnh tương ứng);

Xét ΔABN ta có: AN < AB + BN (bất đẳng thức tam giác)

⇒ 2AM < AB + AC

⇒ AM < \(\displaystyle\frac{1}{2}\)(AB + AC)

\(\)

9.39. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.

Giải

C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của \(∆ABE.\)

\(BC = BD + DC = BD + \displaystyle\frac{1}{2}BD\) \(= \displaystyle\frac{2}{2}BD + \displaystyle\frac{1}{2}BD = \displaystyle\frac{3}{2}BD\)

\(BD = BC:\displaystyle\frac{3}{2}=\displaystyle\frac{2}{3}BC.\)

BC là đường trung tuyến của \(∆ABE\) và \(BD = \displaystyle\frac{2}{3}BC\) nên D là trọng tâm của \(∆ABE.\)

Suy ra AD là đường trung tuyến của ∆ABE.

\(∆ABE\) có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên \(∆ABE\) cân tại A.

\(\)

9.40. Một sợi dây thép dài 1,2 m. Cần đánh dấu trên sợi dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh dài 30 cm (H.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.