Bài tập cuối chương IV

Bài tập cuối chương \(IV\) trang \(80\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

\(A – \) TRẮC NGHIỆM

Bài \(1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A.\) \(sin{a} = \sin{(180^o \ – \ a)}\);
\(B.\) \(\cos{a} = \cos{(180^o \ – \ a)}\);
\(C.\) \(\tan{a} = \tan{(180^o \ – \ a)}\);
\(D.\) \(\cot{a} = \cot{(180^o \ – \ a)}\).

Trả lời:

Ta có sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau.

Côsin, tan và côtan của hai góc bù nhau thì đối nhau.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2\). Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
\(A.\) \(\cos{45^o} = \sin{45^o}\);
\(B.\) \(\cos{45^o} = \sin{135^o}\);
\(C.\) \(\cos{30^o} = \sin{120^o}\);
\(D.\) \(\sin{60^o} = \cos{120^o}\).

Trả lời:

Ta có: \(\cos{45^o} = \sin{(90^o \ – \ 45^o)} = \sin{45^o} \Rightarrow A\) đúng.

\(\cos{45^o} = \sin{45^o} = \sin{(180^o \ – \ 45^o)} = \sin{135^o}\)

\(\Rightarrow B\) đúng.

\(\cos{30^o} = \sin{(90^o \ – \ 30^o)} = \sin{60^o} = \sin{(180^o \ – \ 60^o)} = \sin{120^o}\)

\(\sin{60^o} = \cos{30^o} \neq \cos{120^o} \Rightarrow D\) sai.

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(3\). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(A.\) \(\sin{90^o} < \sin{150^o}\);
\(B.\) \(\sin{90^o15′} < \sin{90^o30′}\);
\(C.\) \(\cos{90^30′} > \cos{100^o}\);
\(D.\) \(\cos{150^o} > \cos{120^o}\).

Trả lời:

Ta có \(A\) sai do \(\sin{90^o} = 1, \sin{150^o} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\sin{90^o15′} = 0,99999 > \sin{90^o30′} = 0,99996\) nên \(B\) sai.

\(\cos{90^o30′} \approx \ – \ 0,0087 > \cos{100^o} \approx \ – \ 0,17 \Rightarrow C\) đúng.

\(\cos{150^o} = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{3}}{2} < \cos{120^o} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2} \Rightarrow D\) sai.

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(4\). Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
\(A.\) \(\sin{150^o} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(B.\) \(\cos{150^o} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(C.\) \(\tan{150^o} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\);
\(D.\) \(\cot{150^o} = \sqrt{3}\).

Trả lời:

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:

\(\sin{150^o} = \displaystyle \frac{1}{2}; \cos{150^o} = \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{3}}{2}; \tan{150^o} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{\sqrt{3}}; \cot{150^o} = \ – \ \sqrt{3}\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(5\). Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB = c\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(A.\) Nếu \(b^2 + c^2 \ – \ a^2 > 0\) thì góc \(A\) nhọn;
\(B.\) Nếu \(b^2 + c^2 \ – \ a^2 > 0\) thì góc \(A\) tù;
\(C.\) Nếu \(b^2 + c^2 \ – \ a^2 < 0\) thì góc \(A\) nhọn;
\(D.\) Nếu \(b^2 + c^2 \ – \ a^2 > 0\) thì góc \(A\) vuông.

Trả lời:

Theo định lí côsin ta có: \(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc\cos{A}\)

Nếu \(b^2 + c^2 \ – \ a^2 > 0\) thì \(2bc\cos{A} > 0 \Rightarrow \cos{A} > 0\) (Do \(b, c > 0\))

\(\Rightarrow \widehat{A} < 90^o\) Hay \(A\) là góc nhọn.

Nếu \(b^2 + c^2 \ – \ a^2 < 0\) thì \(2bc\cos{A} < 0 \Rightarrow \cos{A} < 0\) (Do \(b, c > 0\))

\(\Rightarrow \widehat{A} > 90^o\) Hay \(A\) là góc tù.

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(6\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4 cm, BC = 7 cm, CA= 9 cm\). Giá trị \(\cos{A}\) là:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{2}{3}\);
\(B.\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\);
\(C.\) \(\ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

Trả lời:

Áp dụng hệ quả định lý côsin ta có:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC} = \displaystyle \frac{4^2 + 9^2 \ – \ 7^2}{2. 4. 9}\)

\(= \displaystyle \frac{2}{3}\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(7\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8cm, AC = 18cm\) và có diện tích bằng \(64 cm^2\). Giá trị \(\sin{A}\) là:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(B.\) \(\displaystyle \frac{3}{8}\);
\(C.\) \(\displaystyle \frac{4}{5}\);
\(D.\) \(\displaystyle \frac{8}{9}\).

Trả lời:

Ta có: \(S = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sin{A}\)

\(\Rightarrow 64 = \displaystyle \frac{1}{2}. 8. 18. \sin{A}\)

\(\Rightarrow \sin{A} = \displaystyle \frac{8}{9}\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(8\). Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = AC = 30 cm\). Hai đường trung tuyến \(BF\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\). Diện tích tam giác \(GFC\) là:
\(A.\) \(50 cm^2\);
\(B.\) \(50\sqrt{2} cm^2\);
\(C.\) \(75 cm^2\);
\(D.\) \(15\sqrt{105}\).

Trả lời:

Kẻ \(GH \perp AC\)

Theo tính chất trọng tâm, ta có \(GF = \displaystyle \frac{1}{3} BF\)

Xét hai tam giác \(GHF\) và \(BAF\) ta có:

\(\begin{equation} \left. \begin{array}{II}\widehat{GFH} \text{ chung }\\ \widehat{GFH} = \widehat{BAF} = 90^o \end{array} \right\} \end{equation} \Rightarrow \Delta{GHF} \sim \Delta{BAF} (g.g)\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{GH}{AB} = \displaystyle \frac{GF}{BF} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow GH = 10 cm\)

Lại có \(FC = \displaystyle \frac{1}{2}AC = 15 cm\)

\(\Rightarrow S_{GFC} = \displaystyle \frac{1}{2}. GH. FC = \displaystyle \frac{1}{2}. 10. 15 = 75 (cm^2)\)

Chọn đáp án \(C\).

\(\)

Bài \(9\). Cho tam giác \(ABC\) có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
\(A.\) \(2S\);
\(B.\) \(3S\);
\(C.\) \(4S\);
\(D.\) \(6S\).

Trả lời:

Diện tích tam giác \(ABC\) ban đầu là:

\(S = \displaystyle \frac{1}{2}. BC. AC. \sin{C}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) lúc sau là:

\(S’ = \displaystyle \frac{1}{2}. 2BC. 3AC. \sin{C} = 6. \displaystyle \frac{1}{2}. BC. AC. \sin{C}\)

\(= 6S\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(10\). Cho \(\widehat{xOy} = 30^o\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB = 1\). Độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\) bằng:
\(A.\) \(1,\);
\(B.\) \(\sqrt{3}\);
\(C.\) \(2\sqrt{2}\);
\(D.\) \(2\).

Trả lời:

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\displaystyle \frac{OB}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{O}} = \displaystyle \frac{1}{\sin{30^o}} = 2\)

\(\Rightarrow OB = 2\sin{A}\)

Ta có: \(\ – \ 1 \leq \sin{A} \leq 1\) nên \(OB\) lớn nhất khi \(\sin{A} = 1\)

\(\Leftrightarrow \widehat{A} = 90^o\)

Khi đó \(OB = 2\sin{A} = 2\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

\(B -\) TỰ LUẬN

Bài \(1\). Cho tam giác \(ABC\) với ba cạnh là \(a, b, c\). Chứng minh rằng:
\(\displaystyle \frac{\cos{A}}{a} + \displaystyle \frac{\cos{B}}{b} + \displaystyle \frac{\cos{C}}{c} = \displaystyle \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}\).

Trả lời:

Theo định lí côsin ta có:

\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc\cos{A}\)

\(\Rightarrow \cos{A} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{\cos{A}}{a} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2abc}\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\displaystyle \frac{\cos{B}}{b} = \displaystyle \frac{a^2 + c^2 \ – \ b^2}{2abc}\)

\(\displaystyle \frac{\cos{C}}{c} = \displaystyle \frac{a^2 + b^2 \ – \ c^2}{2abc}\)

Suy ra: \(\displaystyle \frac{\cos{A}}{a} + \displaystyle \frac{\cos{B}}{b} + \displaystyle \frac{\cos{C}}{c}\)

\(= \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2abc} + \displaystyle \frac{a^2 + c^2 \ – \ b^2}{2abc} + \displaystyle \frac{a^2 + b^2 \ – \ c^2}{2abc}\)

\(= \displaystyle \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}\)

Vậy \(\displaystyle \frac{\cos{A}}{a} + \displaystyle \frac{\cos{B}}{b} + \displaystyle \frac{\cos{C}}{c} = \displaystyle \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}\) (đpcm).

\(\)

Bài \(2\). Cho tam giác \(ABC\). Biết \(a = 24, b = 36, \widehat{C} = 52^o\). Tính cạnh \(c\) và hai góc \(\widehat{A}, \widehat{B}\).

Trả lời:

Áp dụng định lí côsin ta có:

\(c^2 = a^2 + b^2 \ – \ 2ab \cos{C}\)

\(= 24^2 + 36^2 \ – \ 2. 24. 36. \cos{52^o} \approx 808,14\)

\(\Rightarrow c \approx 28,43\)

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{28,43}{\sin{52^o}}\)

\(\Rightarrow \sin{A} = \displaystyle \frac{a\sin{52^o}}{28,43} \approx 0,665\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 42^o\)

Lại có \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{B} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^o \ – \ (42^o + 52^o) = 86^o\)

Vậy \(c \approx 28,43, \widehat{A} = 42^o, \widehat{B} = 86^o\).

\(\)

Bài \(3\). Hai chiếc tàu thuỷ \(P\) và \(Q\) cách nhau \(50 m\). Từ \(P\) và \(Q\) thẳng hàng với chân \(A\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bời biển, người ta nhìn chiều cao \(AB\) của tháp dưới các góc \(\widehat{BPA} = 40^o\) và \(\widehat{BQA} = 52^o\). Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Trả lời:

Ta biểu diễn như hình sau:

Khi đó ta có: \(\widehat{APB} = 40^o; \widehat{AQB} = 52^o; \widehat{PAB} = 90^o, PQ = 50 m\)

Theo tính chất hai góc kề bù: \(\widehat{AQB} + \widehat{PQB} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{PQB} = 180^o \ – \ 52^o = 128^o\)

Xét tam giác \(BQP\) ta có:

\(\widehat{BPQ} = 40^o, \widehat{BQB} = 128^o\)

\(\Rightarrow \widehat{PBQ} = 180^o \ – \ (40^o + 128^o) = 12^o\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(BQP\) ta có:

\(\displaystyle \frac{PQ}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{BQ}{\sin{\widehat{BPQ}}} = \displaystyle \frac{50}{\sin{12^o}}\)

\(\Rightarrow BQ = \displaystyle \frac{50 \sin{40^o}}{\sin{12^o}} \approx 154,58 m\)

Xét tam giác \(ABQ\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AB = BQ \sin{52^o} = 154,58 \sin{52^o} \approx 121,81 m\).

Vậy chiều cao tháp hải đăng là \(121,81m\).

\(\)

Bài \(4\). Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 99^o, b = 6, c = 10\). Tính:
\(a)\) Diện tích tam giác \(ABC\);
\(b)\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}bc \sin{\widehat{A}} = \displaystyle \frac{1}{2}. 6. 10. \sin{99^o} \approx 29,63\) (đvdt)

\(b)\) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A}\)

\(= 6^2 + 10^2 \ – \ 2. 6. 10. \cos{99^o} = 154,77\)

\(\Rightarrow a \approx 12,44\)

Áp dụng định lí sin ta có: \(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = 2R\)

\(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{a}{2\sin{A}} = \displaystyle \frac{12,44}{2.\sin{99^o}} \approx 6,3\)

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là:

\(p = \displaystyle \frac{a + b + c}{2} = \displaystyle \frac{12,44 + 6 + 10}{2} = 14,22\)

\(\Rightarrow r = \displaystyle \frac{S}{p} = \displaystyle \frac{29,63}{14,22} \approx 2,08\)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(6,3\); bán kính đường tròn nội tiếp là \(2,08\).

\(\)

Bài \(5\). Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc bay với vận tốc \(800 km/h\) theo hướng lệch so với hướng bắc \(15^o\) về phía tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam \(45^o\) về phía tây với vận tốc \(600 km/h\) (Hình \(1\)). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau \(3\) giờ?

Trả lời:

Ta biểu diễn như hình sau:

Ta có: \(\widehat{AOB} = 180^o \ – \ (15^o + 45^o) = 120^o\)

Sau \(3\) giờ, máy bay \(A\)bay từ \(O\) đến \(A\) với \(OA = 800. 3 = 2400\) (km)

Sau \(3\) giờ, máy bay \(B\) bay từ \(O\) đến \(B\) với \(OB = 600. 3 =1800\) (km)

Sau \(3\) giờ, vị trí hai máy \(A, B\) tạo với điểm xuất phát \(O\) tam giác \(AOB\) có \(OA = 2400; OB = 1800\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(AOB\) ta được:

\(AB^2 = OA^2 + OB^2 \ – \ 2. OA. OB. \cos{\widehat{AOB}}\)

\(= 2400^2 +1800^2 \ – \ 2. 2400. 1800. \cos{120^o}\)

\(= 13320000\)

\(\Rightarrow AB \approx 3650 km\)

Vậy sau \(3\) giờ, hai máy bay cách nhau khoảng \(3650 km\).

\(\)

Bài \(6\). Cho tam giác \(ABC\) không vuông. Chứng minh rằng:
\(\displaystyle \frac{\tan{A}}{\tan{B}} = \displaystyle \frac{c^2 + a^2 \ – \ b^2}{c^2 + b^2 \ – \ a^2}\).

Trả lời:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc \cos{A}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{\cos{A}} = \displaystyle \frac{2bc}{b^2 + c^2 \ – \ a^2}\)

Tương tự ta được \(\displaystyle \frac{1}{\cos{B}} = \displaystyle \frac{2ac}{a^2 + c^2 \ – \ b^2}\)

Theo định lí sin ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = 2R\)

\(\Rightarrow \sin{A} = \displaystyle \frac{a}{2R}; \sin{B} = \displaystyle \frac{b}{2R}\)

Khi đó ta được:

\(\displaystyle \frac{\tan{A}}{\tan{B}} = \displaystyle \frac{\sin{A}}{\cos{A}}. \displaystyle \frac{\sin{B}}{\cos{B}}\)

\(= \displaystyle \frac{a}{2R}. \displaystyle \frac{2bc}{b^2 + c^2 \ – \ a^2}. \displaystyle \frac{a^2 + c^2 \ – \ b^2}{2ac}. \displaystyle \frac{2R}{b}\)

\(= \displaystyle \frac{c^2 + a^2 \ – \ b^2}{c^2 + b^2 \ – \ a^2}\) (đpcm).

\(\)

Bài \(7\). Một tháp viễn thông cao \(42 m\) được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc \(34^o\) so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp \(33m\) như Hình \(2\). Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.