Bài tập cuối chương \(IV\) trang \(99\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3, AC = 4, \widehat{BAC} = 120^o\). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
\(a)\) Độ dài cạnh \(BC\) và độ lớn góc \(B\);
\(b)\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;
\(c)\) Diện tích của tam giác;
\(d)\) Độ dài đường cao xuất phát từ \(A\);
\(e)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BC}\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Trả lời:
\(a)\) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \ – \ 2. AB. AC. \cos{\widehat{BAC}}\)
\(= 3^2 + 4^2 \ – \ 2. 3. 4. \cos{120^o}\)
\(= 37\)
\(\Rightarrow BC \approx 6\)
\(\cos{B} = \displaystyle \frac{AB^2 + BC^2 \ – \ AC^2}{2. AB. BC} = \displaystyle \frac{2^2 + 6^2 \ – \ 4^2}{2. 3. 6}\)
\(= \displaystyle \frac{29}{36}\)
\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 36^o\)
\(b)\) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = 2R\)
\(\Rightarrow R = \displaystyle \frac{BC}{2\sin{A}} = \displaystyle \frac{6}{2\sin{120^o}}\)
\(= 2\sqrt{3}\)
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = 2\sqrt{3}\)
\(c)\) Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sin{A}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. 3. 4. \sin{120^o} = 3\sqrt{3}\) (đvdt)
\(d)\) Kẻ đường cao \(AH\)
Áp dụng công thức tính diện tích:
\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AH. BC\)
\(\Rightarrow AH = \displaystyle \frac{2S_{ABC}}{BC} = \displaystyle \frac{2. 3\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)
\(e)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}\)
\(= AB. AC. \cos{\widehat{BAC}} = 3. 4 . \cos{120^o} = \ – \ 6\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = \ – \ 6\)
Lại có \(M\) là trung điểm \(BC\) nên:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)
Khi đó:
\(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BC} = \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \overrightarrow{BC}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC})\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). ((\ – \ \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{AC})\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{AB})^2\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2} (AC \ – \ AB) = \displaystyle \frac{1}{2}. (4 \ – \ 3) = \displaystyle \frac{1}{2}\)
Vậy \(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BC} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\)
Bài \(2\). Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
\(A = (\sin{20^o} + \sin{70^o})^2 + (\cos{20^o} + \cos{110^o})^2\),
\(B = \tan{20^o} + \cot{20^o} + \tan{110^o} + \cot{110^o}\).
Trả lời:
\(A = (\sin{20^o} + \sin{70^o})^2 + (\cos{20^o} + \cos{110^o})^2\)
\(= (\cos{70^o} + \cos{20^o})^2 + (\cos{20^o} + \cos{110^o})^2\)
\(= (\ – \ \cos{110^o} + \cos{20^o})^2 + (\cos{20^o} + \cos{110^o})^2\)
\(= 2 [(\cos{110^o})^2 + (\cos{20^o})^2]\)
\(= 2 [(\ – \ \cos{70^o})^2 + (\sin{70^o})^2]\)
\(= 2. 1 = 2\)
\(B = \tan{20^o} + \cot{20^o} + \tan{110^o} + \cot{110^o}\)
\(= \cot{70^o} + \tan{70^o} \ – \ \tan{70^o} \ – \ \cot{70^o}\)
\(= 0\)
\(\)
Bài \(3\). Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.
Bạn Hoài vẽ góc \(xOy\) và đố bạn Đông làm thế nào có thể biết được số đo của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:
\(-\) Chọn các điểm \(A, B\) lần lượt thuộc các tia \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(OA = OB = 2\) cm.
\(-\) Đo độ dài đoạn thẳng \(AB\) được \(AB = 3,1\) cm.
Từ các dữ kiện trên, bạn Đông tính được \(\cos{\widehat{xOy}}\), từ đó suy ra độ lớn góc \(xOy\).
Em hãy cho biết số đo góc \(xOy\) ở Hình \(70\) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời:
Ta có: \(\cos{\widehat{xOy}} = \displaystyle \frac{OA^2 + OB^2 \ – \ AB^2}{2. OA. OB} = \ – \ \displaystyle \frac{161}{800}\)
\(\Rightarrow \widehat{xOy} \approx 101,6^o\)
\(\)
Bài \(4\). Có hai trạm quan sát \(A\) và \(B\) ven hồ và một trạm quan sát \(C\) ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ \(A\) và từ \(B\) đến \(C\), người ta làm như sau (Hình \(71\)):
\(-\) Đo góc \(BAC\) được \(60^o\), đo góc \(ABC\) được \(45^o\);
\(-\) Đo khoảng cách \(AB\) được \(1200\) m.
Khoảng cách từ trạm \(C\) đến các trạm \(A\) và \(B\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời:
Xét tam giác \(ABC\) ta có:
\(\widehat{C} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{B})\)
\( = 180^o \ – \ (60^o + 45^o) = 75^o\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta được:
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{BC}{\sin{60^o}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{45^o}} = \displaystyle \frac{1200}{\sin{75^o}}\)
\(\Rightarrow AC = \displaystyle \frac{1200\sin{45^o}}{\sin{75^o}} \approx 878,5\) m
\(BC = \displaystyle \frac{1200 \sin{60^o}}{\sin{75^o}} \approx 1075,9\) m
Vậy \(AC \approx 878,5 m, BC \approx 1075,9 m\).
\(\)
Bài \(5\). Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chạy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).
Từ vị trí đang đứng \(A\), người đó đo được góc nghiêng \(\alpha = 35^o\) so với bờ sông tới một vị trí \(C\) quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí \(B\) cách \(A\) một khoảng \(d = 50 m\) và tiếp tục đo được góc nghiêng \(\beta = 65^o\) so với bờ bên kia so tới vị trí \(C\) đã chọn (Hình \(72\)). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Trả lời:
Kẻ \(AD\) vuông góc hai bên bờ sông. Khi đó \(AD\) là độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng.
Xét tam giác \(ABC\) ta có:
\(\widehat{BAC} + \widehat{BCA} = 65^o\) (Tính chất góc ngoài đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\))
\(\Rightarrow \widehat{BCA} = 65^o \ – \ 35^o = 30^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC} = 180^o \ – \ (30^o + 35^o) = 115^o\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{\widehat{BCA}}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{\widehat{ABC}}}\)
\(\Rightarrow AC = \displaystyle \frac{AB \sin{\widehat{ABC}}}{\sin{\widehat{BCA}}} = \displaystyle \frac{50. \sin{115^o}}{\sin{30^o}} \approx 90,6\)
Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\), có \(\widehat{CAD} = 90^o \ – \ 35^o = 55^o\)
\(\Rightarrow \cos{\widehat{CAD}} = \displaystyle \frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow AD = AC \cos{\widehat{CAD}} = 90,6. \cos{55^o} \approx 52\) (m)
Vậy độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là \(52\)m.
\(\)
Bài \(6\). Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \(M, N\) ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí \(O\) bên ngoài ốc đảo sao cho: \(O\) không thuộc đường thẳng \(MN\); các khoảng cách \(OM, ON\) và góc \(MON\) là đo được (Hình \(71\)). Sau khi đo, ta có: \(OM = 200\)m, \(ON = 500\) m, \(\widehat{MON} = 135^o\).
Khoảng cách giữa hai vị trí \(M, N\) là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời:
Ba vị trí \(M, O, N\) tạo thành ba đỉnh của tam giác \(MON\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OMN\) ta có:
\(MN^2 = OM^2 + ON^2 \ – \ 2. OM. ON. \cos{\widehat{MON}}\)
\(= 200^2 + 500^2 \ – \ 2. 200. 500. \cos{135^o}\)
\(\approx 431421\)
\(\Rightarrow MN \approx 657\) (m)
Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(M\) và \(N\) khoảng \(657\)m.
\(\)
Bài \(7\). Chứng minh:
\(a)\) Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}\) với \(E\) là điểm bất kì;
\(b)\) Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{IN} = 2\overrightarrow{MN}\) với \(M, N\) là hai điểm bất kì;
\(c)\) Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác (ABC\) thì \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \ – \ 3 \overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{NG}\) với \(M, N\) là hai điểm bất kì.
Trả lời:
\(a)\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)
Với \(E\) là điểm bất kì, ta có:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}\)
Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}\) với \(E\) bất kì.
\(b)\)
\(I\) là trung điểm \(AB\) nên với điểm \(M\) bất kì ta có:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}\)
Khi đó, với điểm \(N\) bất kì ta có:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{IN} = 2\overrightarrow{MI} + 2 \overrightarrow{IN} = 2 \overrightarrow{MN}\)
Vậy \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{IN} = 2\overrightarrow{MN}\) với \(M, N\) là hai điểm bất kì.
\(c)\)
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên với điểm \(M\) bất kì ta có:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3 \overrightarrow{MG}\)
Khi đó, với điểm \(N\) bất kì ta có:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \ – \ 3 \overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{MG} \ – \ 3 \overrightarrow{MN}\)
\(= 3 (\overrightarrow{MG} \ – \ \overrightarrow{MN}) = 3 (\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MG})\)
\(= 3 \overrightarrow{NG}\)
Vậy \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \ – \ 3 \overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{NG}\) với \(M, N\) là hai điểm bất kì.
\(\)
Bài \(8\). Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 4, AD = 6, \widehat{BAD} = 60^o\) (Hình \(74\)).
\(a)\) Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{AC}\) theo \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\).
\(b)\) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}. \overrightarrow{AC}\).
\(c)\) Tính độ dài các đường chéo \(BD, AC\).
Trả lời:
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \ – \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)
\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}|. \overrightarrow{AD}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})}\)
\(= AB. AD. \cos{\widehat{BAD}} = 4. 6. \cos{60^o} = 12\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD} = 12\)
Lại có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}. (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})\)
\(= \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}\)
\(= 4^2 + 12 = 28\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = 28\)
\(\overrightarrow{BD}. \overrightarrow{AC} = (\ – \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}). (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})\)
\(= \overrightarrow{AD}^2 \ – \ \overrightarrow{AB}^2\)
\(= AD^2 \ – \ AB^2 = 6^2 \ – \ 4^2 = 20\)
Vậy \(\overrightarrow{BD}. \overrightarrow{AC} = 20\)
\(c)\) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABD\) có:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 \ – \ 2. AB. AD. \cos{\widehat{BAD}}\)
\(= 4^2 + 6^2 \ – \ 2. 4. 6. \cos{60^o} = 28\)
\(\Rightarrow BD \approx 2\sqrt{7}\)
Lại có: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow (\overrightarrow{AC})^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}^2 = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AD}^2 + 2. \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow AC^2 = AB^2 + AD^2 + 2. \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow AC^2 = 4^2 + 6^2 + 2. 12 = 76\)
\(\Rightarrow AC \approx 2\sqrt{19}\)
Vậy \(AC = 2\sqrt{19}, BD = 2\sqrt{7}\)
\(\)
Bài \(9\). Hai lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm \(O\) và tạo với nhau một góc \((\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}) = \alpha\) làm cho vật di chuyển theo hướng từ \(O\) đến \(C\) (Hình \(75\)). Lập công thức tính cường độ của hợp lực \(\overrightarrow{F}\) làm cho vật di chuyển theo hướng từ \(O\) đến \(C\) (giả sử chỉ có đúng hai lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) làm cho vật di chuyển).
Trả lời:
\(OACB\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\) \((1)\)
Ta đi tính cường độ lực \(\overrightarrow{F}\) hay chính là \(|\overrightarrow{F}|\)
Bình phương hai vế của \((1)\) ta được:
\(\overrightarrow{F}^2 = (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})^2\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{F}|^2 = |\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2. \overrightarrow{F_1}. \overrightarrow{F_2}\) \((2)\)
Lại có: \(\overrightarrow{F_1}. \overrightarrow{F_2} = |\overrightarrow{F_1}|. |\overrightarrow{F_2}|. \cos{(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2})}\)
\(= |\overrightarrow{F_1}|. |\overrightarrow{F_2}|. \cos{\alpha}\) \((3)\)
Từ \((2), (3)\) suy ra:
\(|\overrightarrow{F}|^2 = |\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2. |\overrightarrow{F_1}|. |\overrightarrow{F_2}|. \cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2. |\overrightarrow{F_1}|. |\overrightarrow{F_2}|. \cos{\alpha}}\)
Vậy công thức tính cường độ hợp lực \(\overrightarrow{F}\) làm cho vật di chuyển theo hướng từ \(O\) đến \(C\) là \(|\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2. |\overrightarrow{F_1}|. |\overrightarrow{F_2}|. \cos{\alpha}}\)
Bài tập cuối chương IV Bài tập cuối chương IV Bài tập cuối chương IV Bài tập cuối chương IV
Xem bài giải trước: Bài 6 – Tích vô hướng của hai vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.