Bài tập cuối chương III

Bài tập cuối chương trang \(85\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

Bài \(1\). \(\lim{\displaystyle \frac{n + 3}{n^2}}\) bằng
\(A.\) \(1\).
\(B.\) \(0\).
\(C.\) \(3\).
\(D.\) \(2\).

Trả lời:

Ta có: \(\lim{\displaystyle \frac{n + 3}{n^2}} = \lim{\left(\displaystyle \frac{n}{n^2} + \displaystyle \frac{3}{n^2}\right)} = \lim{\displaystyle \frac{1}{n}} + \lim{\displaystyle \frac{3}{n^2}}\)

\(= 0 + 0 = 0\)

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(2\). Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
\(M = 1 + \displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{1}{4^2} + … + \displaystyle \frac{1}{4^n} + …\) bằng:
\(A.\) \(\displaystyle \frac{3}{4}\).
\(B.\) \(\displaystyle \frac{5}{4}\).
\(C.\) \(\displaystyle \frac{4}{3}\).
\(D.\) \(\displaystyle \frac{6}{5}\).

Trả lời:

Cấp số nhân có số hạng đầu là \(1\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{4}\)

Suy ra \(M = 1 + \displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{1}{4^2} + … + \displaystyle \frac{1}{4^n} + …\)

\(= \displaystyle \frac{1}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}} = \displaystyle \frac{4}{3}\)

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(3\). \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 \ – \ 9}{x \ – \ 3}\) bằng:
\(A.\) \(0\).
\(B.\) \(6\).
\(C.\) \(3\).
\(D.\) \(1\).

Trả lời:

Ta có: \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 \ – \ 9}{x \ – \ 3} = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x \ – \ 3)(x + 3)}{x \ – \ 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3)\)

\( = 3 + 3 = 6\)

Chọn đáp án \(B\)

\(\)

Bài \(4\). Hàm số
\(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x^2 + 2x + m \quad \text{ khi } x \geq 2\\3 \quad \quad \quad \quad \text{ khi } x < 2\end{array} \right.\end{equation}\)
liên tục tại \(x = 2\) khi:
\(A.\) \(m = 3\)
\(B.\) \(m = 5\)
\(C.\) \(m = \ – \ 3\)
\(D.\) \(m = \ – \ 5\).

Trả lời:

Ta có: \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} x^2 + 2x + m\)

\(= 2^2 + 2. 2 + m = 8 + m\)

\(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^-} 3 = 3\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi: \(m + 8 = 3\)

\(\Leftrightarrow m = \ – \ 5\)

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(5\). \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x \ – \ 1}{x}\) bằng:
\(A.\) \(2\).
\(B.\) \(\ – \ 1\).
\(C.\) \(0\).
\(D.\) \(1\).

Trả lời:

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x \ – \ 1}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\displaystyle \frac{2x}{x} \ – \ \displaystyle \frac{1}{x}\right)\)

\(= \lim\limits_{x \to +\infty} \left(2 \ – \ \displaystyle \frac{1}{x}\right)\)

\(= 2 \ – \ \lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{1}{x} = 2 \ – \ 0 = 2\)

Chón đáp án \(A\)

\(\)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài \(6\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim{\displaystyle \frac{3n \ – \ 1}{n}}\);
\(b)\) \(\lim{\displaystyle \frac{\sqrt{n^2 + 2}}{n}}\);
\(c)\) \(\lim{\displaystyle \frac{2}{3n + 1}}\);
\(d)\) \(\lim{\displaystyle \frac{(n + 1)(2n + 2)}{n^2}}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim{\displaystyle \frac{3n \ – \ 1}{n}} = \lim{\left(3 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n}\right)} = 3 \ – \ \lim{\displaystyle \frac{1}{n}}\)

\(= 3 \ – \ 0 = 3\)

\(b)\) \(\lim{\displaystyle \frac{\sqrt{n^2 + 2}}{n}} = \lim{\sqrt{\displaystyle \frac{n^2 + 2}{n^2}}} = \lim{\sqrt{1 + \displaystyle \frac{1}{n^2}}}\)

\(= \sqrt{1 + \lim{\displaystyle \frac{1}{n^2}}} = \sqrt{1 + 0} = 1\)

\(c)\) \(\lim{\displaystyle \frac{2}{3n + 1}} = \lim{\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{n}}{\displaystyle \frac{3n}{n} + \displaystyle \frac{1}{n}}} = \displaystyle \frac{\lim{\displaystyle \frac{2}{n}}}{3 + \lim{\displaystyle \frac{1}{n}}} \)

\(= \displaystyle \frac{0}{3 + 0} = 0\)

\(d)\) \(\lim{\displaystyle \frac{(n + 1)(2n + 2)}{n^2}} = \lim{\displaystyle \frac{2n^2 + 4n + 2}{n^2}}\)

\(= \lim{\left(2 + \displaystyle \frac{4}{n} + \displaystyle \frac{2}{n^2}\right)} = 2 + \lim{\displaystyle \frac{4}{n}} + \lim{\displaystyle \frac{2}{n^2}}\)

\( = 2 + 0 + 0 = 2\)

\(\)

Bài \(7\). Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \(H_1\). Nối các trung điểm của \(H_1\) để tạo thành tam giác \(H_2\). Tiếp theo nối các trung điểm của \(H_2\) để tạo thành tam giác \(H_3\) (Hình \(1\)). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác \(H_1, H_2, H_3, …\). Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.

Trả lời:

Theo tính chất của tam giác đều, ta có các tam giác \(H_1, H_2, H_3, …\) lần lượt có cạnh là \(a, \displaystyle \frac{1}{2}a, \displaystyle \frac{1}{2^2}a, …\)

Khi đó tổng chu vi của các tam giác là:

\(C = 3a + 3. \displaystyle \frac{1}{2}.a + 3. \displaystyle \frac{1}{2^2}a + …\)

\(= 3a. \left(1 + \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{2^2} + … \right)\)

\(= 3a. \displaystyle \frac{1}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}} = 6a\)

Tam giác \(H_1\) có cạnh \(a\) nên có chiều cao \(a.\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\). Diện tích của \(H_1\) là:

\(S_1 = \displaystyle \frac{1}{2}. a. a \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\)

Tam giác \(H_2\) có cạnh \(\displaystyle \frac{a}{2}\) nên có chiều cao \(\displaystyle \frac{a}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = a \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\). Diện tích của \(H_2\) là:

\(S_2 = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{a}{2}. a \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} = \displaystyle \frac{1}{4}. a^2 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} = \displaystyle \frac{1}{4}. S_1\)

Tương tự, ta có diện tích \(H_3\) bằng:

\(S_3 = \displaystyle \frac{1}{4^2} S_1\)

Suy ra tổng diện tích các tam giác là:

\(S = S_1 + S_2 + S_3 +… \)

\(= a^2 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}. \left(1 + \displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{1}{4^2} + … \right)\)

\(= a^2 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}. \displaystyle \frac{1}{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}} = a^2 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\)

Bài \(8\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim\limits_{x \to \ – \ 1}{3x^2 \ – \ x + 2}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^2 \ – \ 16}{x \ – \ 4}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{3 \ – \ \sqrt{x + 7}}{x \ – \ 2}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim\limits_{x \to \ – \ 1} {3x^2 \ – \ x + 2} = 3. (\ – \ 1)^2 \ – \ (\ – \ 1) + 2 = 6\)

\(b)\) \(\lim\limits_{x \to 4} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 16}{x \ – \ 4} = \lim\limits_{x \to 4} \displaystyle \frac{(x \ – \ 4)(x + 4)}{x \ – \ 4}\)

\(= \lim\limits_{x \to 4} (x + 4) = 4 + 4 = 8\)

\(c)\) \(\lim\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{3 \ – \ \sqrt{x + 7}}{x \ – \ 2} = \lim\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{(3 \ – \ \sqrt{x + 7})(3 + \sqrt{x + 7})}{(x \ – \ 2)(3 + \sqrt{x + 7})}\)

\(= \lim\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{9 \ – \ (x + 7)}{(x \ – \ 2)(3 + \sqrt{x + 7})} = \lim\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{2 \ – \ x}{(x \ – \ 2)(3 + \sqrt{x + 7})}\)

\( = \lim\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3 + \sqrt{x + 7}}\)

\(= \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3 + \sqrt{2 + 7}} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{6}\).

\(\)

Bài \(9\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ – \ x + 2}{x + 1}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{x \ – \ 2}{x^2}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ – \ x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{\ – \ (x + 1) + 3}{x + 1}\)

\(= \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\ – \ 1 + \displaystyle \frac{3}{x + 1}\right)\)

\(= \ – \ 1 + \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x + 1} = \ – \ 1 + 0 = \ – \ 1\)

\(b)\) \(\lim\limits_{x \to \ – \ \infty} \displaystyle \frac{x \ – \ 2}{x^2} = \lim\limits_{x \to \ – \ \infty} \left(\displaystyle \frac{x}{x^2} \ – \ \displaystyle \frac{2}{x^2}\right)\)

\(= \lim\limits_{x \to \ – \ \infty} \displaystyle \frac{1}{x} \ – \ \lim\limits_{x \to \ – \ \infty} \displaystyle \frac{2}{x^2} = 0 \ – \ 0 = 0\)

\(\)

Bài \(10\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \frac{1}{x \ – \ 4}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{x}{2 \ – \ x}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\lim\limits_{x \to 4^+} \displaystyle \frac{1}{x \ – \ 4} = + \infty\)

\(b)\) \(\lim\limits_{x \to 2^+} \displaystyle \frac{x}{2 \ – \ x} = \ – \ \infty\)

\(\)

Bài \(11\). Xét tính liên tục của hàm số:
\(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\sqrt{x + 4} \quad \text{ khi } x \geq 0\\2\cos{x} \quad \text{ khi } x < 0 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

Khi \(x \geq 0\) thì \(f(x) = \sqrt{x + 4}\) là hàm căn thức có tập xác định là \(( \ – \ 4; + \infty)\) nên suy ra \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((0; +\infty)\)

Khi \(x < 0\) thì \(f(x) = 2 \cos{x}\) là hàm lượng giác có tập xác định \(\mathbb{R}\) nên \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((\ – \ \infty; 0)\)

Xét \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x + 4} = \sqrt{0 + 4} = 2\)

\(\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} 2\cos{x} = 2 \cos{0} = 2\)

Suy ra \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\) hay hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x_0 = 0\)

Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

\(\)

Bài \(12\). Cho hàm số
\(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{x^2 \ – \ 25}{x \ – \ 5} \quad \text{ khi } x \neq 5\\a \quad \quad \quad \quad \text{ khi }x = 5 \end{array} \right.\end{equation}\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Trả lời:

Khi \(x \neq 5\) ta có \(f(x) = \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 25}{x \ – \ 5}\) là hàm phân thức nên \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; 5) \cup (5; +\infty)\)

Đê hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(f(x)\) liên tục tại \(5\).

Hay \(\lim\limits_{x \to 5} f(x) = f(5)\)

Ta có \(\lim\limits_{x \to 5} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 25}{x \ – \ 5} = \lim\limits_{x \to 5} \displaystyle \frac{(x \ – \ 5)(x + 5)}{x \ – \ 5} = \lim\limits_{x \to 5} (x + 5)\)

\(= 5 + 5 = 10\)

Mà \(f(5) = a\)

Suy ra \(a = 10\)

Vậy với \(a = 10\) thì \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

\(\)

Bài \(13\). Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ \(10^o C\), mỗi phút tăng \(2^oC\) trong \(60\) phút, sau đó giảm mỗi phút \(3^oC\) trong \(40\) phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo \(^oC\)) trong tủ theo thời gian \(t\) (tính theo phút) có dạng:
\(T(t) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}10 + 2t \quad \text{ khi } 0 \leq t \leq 60\\k \ – \ 3t \quad \text{ khi }60 < t \leq 100 \end{array} \right.\end{equation}\). (\(k\) là hằng số)
Biết rằng, \(T(t)\) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của \(k\).

Trả lời:

Hàm số \(T(t)\) liên tục trên tập xác định nên \(T(t)\) liên tục tại \(t_0 = 60\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{t \to 60} T(t) = T(60)\)

Xét \(\lim\limits_{t \to 60^-} T(t) = \lim\limits_{t \to 60^-} (10 + 2t) = 10 + 2. 60 = 130\)

\(\lim\limits_{t \to 60^+} T(t) = \lim\limits_{t \to 60^+} (k \ – \ 3t) = k \ – \ 180\)

\(T(60) = 10 + 2. 60 = 130\)

Hàm số \(T(t)\) liên tục tại \(t_0 = 60\) khi và chỉ khi: \(k \ – \ 180 = 130\)

\(\Leftrightarrow k = 310\)

Vậy \(k = 310\)

Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III Bài tập cuối chương III

Xem bài giải trước: Bài 3 – Hàm số liên tục
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech