Bài tập cuối chương III

Bài tập cuối chương III trang \(59\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:

\(a) y = 4x^2 \ – \ 1\);

\(b) y = \displaystyle \frac{1}{x^2 + 1}\);

\(c) y = 2 + \displaystyle \frac{1}{x}\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) hay hàm số có tập xác định

\(D = \mathbb{R}\).

\(b)\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x^2 + 1 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 \neq \ – \ 1\) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(c)\) Hàm số xác định với mọi \(x \neq 0\) nên hàm số có tập xác định:

\(D = \mathbb{R} \setminus {0}\).

\(\)

Bài \(2\). Tìm điều kiện của \(m\) để mỗi hàm số sau đây là hàm số bậc hai:

\(a) y = (1 \ – \ 3m)x^2 + 3\);

\(b) y = (4m \ – \ 1)(x \ – \ 7)^2\);

\(c) y = 2(x^2 + 1) + 11 \ – \ m\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số là hàm số bậc hai khi và chỉ khi: \( 1 \ – \ 3m \neq 0\)

\(\Leftrightarrow m \neq \displaystyle \frac{1}{3}\)

Vậy với \(m \neq \displaystyle \frac{1}{3}\) thì hàm số là hàm số bậc hai.

\(b)\) Ta có: \(y = (4m \ – \ 1)(x \ – \ 7)^2 \)

\(= (4m \ – \ 1)(x^2 \ – \ 14x + 49)\)

\(= (4m \ – \ 1)x^2 \ – \ 14(4m \ – \ 1) + 49(4m \ – \ 1)\).

Hàm số là hàm số bậc hai khi và chỉ khi: \( 4m \ – \ 1 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow m \neq \displaystyle \frac{1}{4}\).

Vậy với \(m \neq \displaystyle \frac{1}{4}\) thì hàm số là hàm số bậc hai.

\(c)\) Ta có: \(y = 2(x^2 + 1) + 11 \ – \ m\)

\( = 2x^2 + 2 + 11 \ – \ m = 2x^2 + 13 \ – \ m\)

Hàm số đã cho là hàm số bậc hai với mọi giá trị của \(m\).

Vậy với mọi giá trị của \(m\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

\(\)

Bài \(3\). Vẽ các đồ thị hàm số sau:

\(a) y = x^2 \ – \ 4x + 3\);

\(b) y = \ – \ x^2 \ – \ 4x + 5\);

\(c) y = x^2 \ – \ 4x + 5\);

\(d) y = \ – \ x^2 \ – \ 2x \ – \ 1\).

Trả lời:

\(a)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) đồ thị của hàm số bậc hai \(y = x^2 \ – \ 4x + 3\) là một Parabol \(P_1\):

\(+\) Có đỉnh \(S\) có hoành độ \(x_S = \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = 2\), tung độ \(y_S = 2^2 \ – \ 4.2 + 3 = \ – \ 1\);

\(+\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) ( đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(+\) Có bề lõm quay lên vì \(a = 1 > 0\)

\(+\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\) , tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ \((0; 3)\);

Ngoài ra phương trình \(x^2 \ – \ 4x + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) hoặc \(x = 3\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ \((1; 0); (3; 0)\).

Ta có đồ thị sau:

\(b)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) đồ thị của hàm số bậc hai \(y = \ – \ x^2 \ – \ 4x + 5\) là một Parabol \(P_2\):

\(+\) Có đỉnh \(S\) có hoành độ \(x_S = \ – \ 2\), tung độ \(y_S = 9\);

\(+\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \ – \ 2\) ( đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(+\) Có bề lõm quay xuống dưới vì \(a = \ – \ 1 < 0\)

\(+\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(5\) , tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ \((0; 5)\);

Ngoài ra phương trình \(\ – \ x^2 \ – \ 4x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) hoặc \(x = \ – \ 5\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ \((1; 0); (\ – \ 5; 0)\).

Ta có đồ thị sau:

\(c)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) đồ thị của hàm số bậc hai \(y = x^2 \ – \ 4x + 5\) là một Parabol \(P_3\):

\(+\) Có đỉnh \(S\) có hoành độ \(x_S = 2\), tung độ \(y_S = 1\);

\(+\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) ( đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(+\) Có bề lõm quay lên vì \(a = 1 > 0\)

\(+\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(5\) , tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ \((0; 5)\);

Ngoài ra phương trình \(\ – \ x^2 \ – \ 4x + 5 = 0\) vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Ta có đồ thị sau:

\(d)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) đồ thị của hàm số bậc hai \(y = \ – \ x^2 \ – \ 2x \ – \ 1\) là một Parabol \(P_4\):

\(+\) Có đỉnh \(S\) có hoành độ \(x_S = \ – \ 1\), tung độ \(y_S = 0\);

\(+\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \ – \ 1\) ( đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(+\) Có bề lõm quay xuống dưới vì \(a = \ – \ 1 < 0\)

\(+\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1\) , tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ \((0; 1)\);

Ngoài ra phương trình \(\ – \ x^2 \ – \ 2x \ – \ 1 = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = \ – \ 1\)nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có toạ độ \((\ – \ 1; 0)\).

Ta có đồ thị sau:

\(\)

Bài \(4\). Một vận động viên chạy xe đạp trong \(1\) giờ \(30\) phút đầu với vận tốc trung bình là \(42\) km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ \(15\) phút và tiếp tục đạp xe \(2\) giờ liền với vận tốc \(30\) km/h.

\(a)\) Hãy biểu thị quãng đường \(s\) (tính bằng kilômét) mà người này đi được sau \(t\) phút bằng một hàm số.

\(b)\) Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số \(s\) theo \(t\).

Trả lời:

Đổi \(1\) giờ \(30\) phút \(= 90\) phút; \(2\) giờ \( = 120\) phút;

\(42\) km/h \(= 0,7\) km/phút; \(30\) km/h \(= 0,5\) km/phút.

Với \(t \leq 90\) phút: Quãng đường người này đi được là \(0,7.t\) (km)

\(\Rightarrow s(t) = 0,7t\)

Với \( 90 < t \leq (90 + 15) = 105\): Đây là khoảng thời gian người này nghỉ ngơi. Do đó quãng đường người này đi được không đổi và bằng \(0,7.90 = 63\) (km).

\(\Rightarrow s(t) = 63\)

\(105 < t < 105 + 120 = 225\) người này đạp xe với vận tốc \(0,5\) km/phút nên quãng đường người đó đi được bằng \(63 + 0,5(t \ – \ 105)\)

Do đó \(s(t) = 63 + 0,5(t \ – \ 105) = 0,5t + 10,5\)

Khi đó ta có hàm số thể hiện quãng đường \(s\) mà người này đi được sau \(t\) phút là:

\(\left \{\begin{matrix} 0,7t \text{ với } t \leq 90\\ 63 \text{ với } 90 < t \leq 105\\ 0,5t + 10,5 \text{ với } 105 < t \leq 225 \end{matrix} \right.\)

\(b)\) Với \(0 \leq x \leq 90\) ta có \(s = 0,7t\) km

\(\Rightarrow\) trên \([0; 90]\) ta vẽ đường thẳng \(s = 0,7t\), ta được đồ thị là đoạn \(OA\).

Với \(90 < t \leq 105\) thì ta có \(s = 63\) km

\(\Rightarrow\) trên nửa khoảng \((90; 105]\) ta vẽ đường thẳng \(s = 63\), ta được đoạn \(AB\).

Với \(105< t \leq 225\) thì \(s = 0,5t + 10,5\) km

Trên nửa khoảng \((105; 225]\) ta vẽ đường thẳng \(s = 0,5t + 10,5\), ta được đoạn \(BC\).

Như vậy, ta được đồ thị biểu diễn hàm số \(s\) theo \(t\) như hình sau:

\(\)

Bài \(5\). Biết rằng hàm số \( y = 2x^2 + mx + n\) giảm trên khoảng \((\ – \ \infty; 1)\), tăng trên khoảng \(( 1; + \infty)\) và có tập giá trị là \([9; +\infty)\). Xác định giá trị của \(m\) và \(n\).

Trả lời:

Đồ thị hàm số có đỉnh \(S\) có toạ độ:

\(x_S = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ m}{4}\);

\(y_S = f(\ – \ \displaystyle \frac{m}{4})\).

Hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\), giảm trên khoảng \((\ – \ \infty; 1)\), tăng trên khoảng \((1; + \infty)\) và có tập giá trị là \([9; + \infty)\) nên suy ra ta có:

\(x_S = 1; y_S = 9\)

\(\Rightarrow \ – \ \displaystyle \frac{m}{4} = 1 \Leftrightarrow m = \ – \ 4\)

Suy ra \(y_S = 2.1^2 \ – \ 4.1 + n = 9\)

\(\Leftrightarrow n = 11\).

Vậy \(m = \ – \ 4, n = 11\) là giá trị cần tìm.

\(\)

Bài \(6\). Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước).

Chiếc cầu trong Hình\(1\) có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người muốn thực hiện một cú nhảy bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn dài bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.

Trả lời: Xét trong hệ trục \(Oxy\)

Bộ phận chống đỡ có dạng Parabol \(P\) nên đồ thị có phương trình:

\(y = ax^2 + bx + c\)

Chân bộ phận chống đỡ tại vị trí \(D\) và \(E\).

\(B\) là vị trí người nhảy.

Ta có: \(DE = DH + HE = 50 +120 = 170 m\);

\(\Rightarrow DO= OE = \displaystyle \frac{1}{2} DE = \displaystyle \frac{1}{2} . 170 = 85m\)

Từ đó ta có toạ độ hai điểm: \(D(\ – \ 85; 0); E(85; 0)\)

Lại có: \(OH = OD \ – \ HD = 85 \ – \ 50 = 35; HC = 45\)

\(\Rightarrow\) Điểm \(C\) có toạ độ \((35; 45)\).

Vì các điểm \(D, C, E\) đều thuộc Parabol \(P\) nên thay toạ độ các điểm vào ta có:

\(\left \{\begin{matrix} a.(\ – \ 85)^2 + b.\ – \ 85 + c = 0\\ a. 85^2 + b. 85 + c = 0\\ a. 35^2 + b. 35 + c = 45 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a = \ – \ \displaystyle \frac{3}{400}\\ b = 0\\ c = \displaystyle \frac{867}{16} \end{matrix} \right.\)

Suy ra phương trình Parabol cần tìm là: \(y = \ – \ \displaystyle \frac{3}{400} x^2 + \displaystyle \frac{867}{16}\).

\(A\) là điểm đỉnh của Parabol nên \(x_A = 0\)

\(\Rightarrow y_A= \displaystyle \frac{867}{16}\)

\(\Rightarrow OA = \displaystyle \frac{867}{16} m\).

\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ vị trí nhảy \(B\) đến mặt nước là:

\(BF = BA + AO + OF\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{867}{16} + 43 \approx 98,19 m\)

\(\Rightarrow\) Độ dài sợi dây là: \(98,19 : 3 = 32,73 m\)

Vậy độ dài sợi dây cần tìm là \(32,73m\).

\(\)

Bài \(7\). Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao \(80m\) , lúc đó máy bay đang bay với vận tốc \(50 m/s\). Để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí nào? Biết rằng nếu chọn gốc toạ độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì toạ độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau:

\(\left \{\begin{matrix} x = v_0t\\ y = h \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 \end{matrix} \right.\)

Trong đó, \(v_0\) là vận tốc ban đầu và \(h\) là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.

Lưu ý: Chuyển động này được xem là chuyển động ném ngang.