Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương II trang 69 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

72. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Mọi số vô tỉ đều là số thực.

B. Mọi số thực đều là số vô tỉ.

C. Số \(0\) là số hữu tỉ.

D. \(-\sqrt{2}\) là số vô tỉ.

Giải

Số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ nên phát biểu B sai.

Chọn đáp án B.

\(\)

73. Trong các kết quả của mỗi phép tính sau, kết quả nào không bằng 1,1?

A. \(\sqrt{(2,1-0,3)^2}.\)

B. \(\sqrt{1,21}.\)

C. \(\displaystyle\frac{\sqrt{121}}{10}.\)

D. \(\sqrt{(0,7+0,4).(1,3-0,2)}.\)

Giải

\(\sqrt{(2,1-0,3)^2}=\sqrt{1,8^2}=1,8.\)

\(\sqrt{1,21}=1,1.\)

\(\displaystyle\frac{\sqrt{121}}{10}=\displaystyle\frac{11}{10}=1,1.\)

\(\sqrt{(0,7+0,4).(1,3-0,2)}=\sqrt{1,1\ .\ 1,1}=1,1.\)

Chọn đáp án A.

\(\)

74. Tổng các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\left|x-\displaystyle\frac{1}{2}\right|-1=\displaystyle\frac{5}{2}\) là:

A. \(4.\)

B. \(-3.\)

C. \(1.\)

D. \(-1.\)

Giải

\(\left|x-\displaystyle\frac{1}{2}\right|-1=\displaystyle\frac{5}{2}\)

\(\left|x-\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{5}{2}+1\)

\(\left|x-\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{7}{2}\)

TH1: \(x-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{7}{2} \left(x≥\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)

\(x=\displaystyle\frac{7}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(x=4.\)

TH2: \(x-\displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{7}{2}\)

\(x=-\displaystyle\frac{7}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(x=-3.\)

Vậy tổng các giá trị của \(x\) bằng: \(4+(-3)=1.\)

Chọn đáp án C.

\(\)

75. Sắp xếp các số \(|-4|;\ \sqrt{5};\) \(\left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|;\) \(\sqrt{64};\ -\displaystyle\frac{7}{3}\) theo thứ tự tăng dần là:

A. \(-\displaystyle\frac{7}{3};\ \left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|;\ \sqrt{5};\ |-4|;\ \sqrt{64}.\)

B. \(-\displaystyle\frac{7}{3};\ \sqrt{5};\ \left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|;\ |-4|;\ \sqrt{64}.\)

C. \(\sqrt{64};\ |-4|;\ \left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|;\ \sqrt{5};\ -\displaystyle\frac{7}{3};\ .\)

D. \(-\displaystyle\frac{7}{3};\ \sqrt{5};\ \left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|;\ \sqrt{64};\ |-4|.\)

Giải

Ta có \(|-4|= 4;\quad \sqrt{5}=2,236…;\)

\(\left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|=3,(6);\quad \sqrt{64}=8.\)

Do \(-\displaystyle\frac{7}{3}< 2,236… < 3,(6) < 4 < 8\) nên \(-\displaystyle\frac{7}{3}<\sqrt{5}<\left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|<|-4|<\sqrt{64}.\)

Chọn đáp án B.

\(\)

76. Hai lớp \(7A,\ 7B\) đã ủng hộ \(8\ 400\ 000\) đồng cho quỹ phòng chống dịch Covid-19. Số tiền ủng hộ của hai lớp \(7A,\ 7B\) lần lượt tỉ lệ với \(4;\ 3.\) Số tiền mỗi lớp ủng hộ quỹ trên là:

A. Lớp \(7A\) ủng hộ \(3\ 600\ 000\) đồng; Lớp \(7B\) ủng hộ \(4\ 800\ 000\) đồng.

B. Lớp \(7A\) ủng hộ \(4\ 600\ 000\) đồng; Lớp \(7B\) ủng hộ \(3\ 800\ 000\) đồng.

C. Lớp \(7A\) ủng hộ \(3\ 800\ 000\) đồng; Lớp \(7B\) ủng hộ \(4\ 600\ 000\) đồng.

D. Lớp \(7A\) ủng hộ \(4\ 800\ 000\) đồng; Lớp \(7B\) ủng hộ \(3\ 600\ 000\) đồng.

Giải

Gọi số tiền lớp \(7A,\ 7B\) ủng hộ cho quỹ phòng chống dịch Covid-19 lần lượt là \(x,\ y.\)

Ta có \(\displaystyle\frac{x}{4}=\displaystyle\frac{y}{3}\) và \(x + y = 8\ 400\ 000.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle\frac{x}{4}=\displaystyle\frac{y}{3}=\displaystyle\frac{x+y}{4+3}=\displaystyle\frac{8\ 400\ 000}{7}=1\ 200\ 000.\)

Suy ra \(x = 1\ 200\ 000 . 4 = 4\ 800\ 000\);

\(y = 1\ 200\ 000 . 3 = 3\ 600\ 000\).

Vậy số tiền lớp \(7A,\ 7B\) ủng hộ cho quỹ phòng chống dịch Covid-19 lần lượt là \(4\ 800\ 000\) đồng và \(3\ 600\ 000\) đồng.

Chọn đáp án D.

\(\)

77. Một ô tô đi quãng đường \(135\) km với vận tốc \(v\) (km/h) và thời gian \(t\) (h). Mối quan hệ giữa \(v\) và \(t\) là:

A. \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ \(135.\)

B. \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ \(\displaystyle\frac{1}{135}.\)

C. \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ \(135.\)

D. \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ \(\displaystyle\frac{1}{135}.\)

Giải

Quãng đường ô tô đi: \(v . t = 135\) nên \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Chọn đáp án C.

\(\)

78. Viết mỗi số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:

\(\displaystyle\frac{1}{3};\ \displaystyle\frac{17}{6};\ \displaystyle\frac{3}{4};\ \displaystyle\frac{-14}{11};\ \displaystyle\frac{-4}{55}.\)

Giải

Ta có: \(\displaystyle\frac{1}{3}=0,(3);\quad \displaystyle\frac{17}{6}=1,8(3);\quad \displaystyle\frac{3}{4}=0,75;\)

\(\displaystyle\frac{-14}{11}=-1,(27);\quad \displaystyle\frac{-4}{55}=-0,0(72).\)

\(\)

79. Trong các số sau, số nào là số vô tỉ:

\(34,(3);\ 5,234561213141516…;\) \(-45,8(89);\ -\sqrt{121};\ \sqrt{19};\ \sqrt{\displaystyle\frac{25}{16}}.\)

Giải

Ta có \(-\sqrt{121}=-11;\ \sqrt{19}=4,35889894…;\) \(\sqrt{\displaystyle\frac{25}{16}}=\displaystyle\frac{5}{4};\ \displaystyle\frac{5}{4}=1,25.\)

Trong các số đã cho, số vô tỉ là: \(5,234561213141516…;\ \sqrt{19}.\)

\(\)

80. So sánh:

a) \(213,6(42)\) và \(213,598…;\)

b) \(-43,001\) và \(-43,(001);\)

c) \(-\sqrt{237}\) và \(-15;\)

d) \(\sqrt{1\displaystyle\frac{40}{81}}\) và \(\sqrt{1\displaystyle\frac{20}{101}};\)

e) \(2+\sqrt{37}\) và \(6+\sqrt{2};\)

g) \(\displaystyle\frac{\sqrt{5^2}+\sqrt{15^2}}{\sqrt{4^2}+\sqrt{36^2}}\) và \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2^2}}.\)

Giải

a) Vì chữ số hàng phần mười \(6 > 5\) nên \(213,6(42) > 213,598…\)

Vậy \(213,6(42) > 213,598…\)

b) Ta có: \(-43,(001) = -43,001001…\)

Vì \(-43,001 > -43,001001…\) nên \(-43,001 > -43,(001).\)

Vậy \(-43,001 > -43,(001).\)

c) Ta có: \(-\sqrt{237}=-15,3948…\)

Vì \(-15,3948… < -15\) nên \(-\sqrt{237} < -15.\)

Vậy \(-\sqrt{237} < -15.\)

d) Ta có: \(\sqrt{1\displaystyle\frac{40}{81}}=\sqrt{\displaystyle\frac{121}{81}};\) \(\sqrt{1\displaystyle\frac{20}{101}}=\sqrt{\displaystyle\frac{121}{101}}.\)

Vì \(\displaystyle\frac{121}{81} > \displaystyle\frac{121}{101}\) nên \(\sqrt{\displaystyle\frac{121}{81}} > \sqrt{\displaystyle\frac{121}{101}}.\)

Vậy \(\sqrt{1\displaystyle\frac{40}{81}}>\sqrt{1\displaystyle\frac{20}{101}}.\)

e) Ta có: \(2+\sqrt{37}=8,0827…;\) \(6+\sqrt{2}=7,4142…\)

Vì \(8,0827… > 7,4142…\) nên \(2+\sqrt{37}>6+\sqrt{2}.\)

Vậy \(2+\sqrt{37}>6+\sqrt{2}.\)

g) Ta có: \(\displaystyle\frac{\sqrt{5^2}+\sqrt{15^2}}{\sqrt{4^2}+\sqrt{36^2}}=\displaystyle\frac{5+15}{4+36}=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Vậy \(\displaystyle\frac{\sqrt{5^2}+\sqrt{15^2}}{\sqrt{4^2}+\sqrt{36^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2^2}}.\)

\(\)

81. Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) \(-0,34;\ -6,(25);\ 1\displaystyle\frac{5}{9};\ \sqrt{169};\ \sqrt{15};\)

b) \(1,0(09);\ \sqrt{64};\ 31\displaystyle\frac{1}{5};\ 34,(5);\ -\sqrt{225}.\)

Giải

a) Ta có: \(-6,(25)=-6,2525…;\) \(1\displaystyle\frac{5}{9}=1,5555…;\) \(\sqrt{169}=13;\) \(\sqrt{15}=3,8729…\)

Do \(-6,2525… < -0,34 < 1,5555… < 3,8729… < 13.\)

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: \(-6,(25);\) \(-0,34;\) \(1\displaystyle\frac{5}{9};\) \(\sqrt{15};\) \(\sqrt{169}.\)

b) Ta có: \(1,0(09)=1,00909…;\) \(\sqrt{64}=8;\) \(31\displaystyle\frac{1}{5}=31,2;\) \(34,(5)=34,555…;\) \(-\sqrt{225}=-15\)

Do \(-15 < 1,00909… < 8 < 31,2 < 34,555…\)

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: \(-\sqrt{225};\) \(1,0(09);\) \(\sqrt{64};\) \(31\displaystyle\frac{1}{5};\) \(34,(5).\)

\(\)

82. Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:

a) \(2\displaystyle\frac{1}{4};\ \sqrt{16};\ -\sqrt{83};\ -\sqrt{196};\ -0,0(51);\)

b) \(21\displaystyle\frac{1}{6};\ \sqrt{49};\ -\sqrt{144};\ -614,1;\ -111,0(3).\)

Giải

a) Ta có: \(2\displaystyle\frac{1}{4}=2,25;\ \sqrt{16}=4;\) \(-\sqrt{83}=-9,1104…;\) \(-\sqrt{196}=-14;\) \(-0,0(51)=-0,05151…\)

Do \(4 > 2,25 > -0,05151… > -9,1104… > -14.\)

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(\sqrt{16};\) \(2\displaystyle\frac{1}{4};\) \(-0,0(51);\) \(-\sqrt{83};\) \(-\sqrt{196}.\)

b) Ta có: \(21\displaystyle\frac{1}{6}=21,1666…;\ \sqrt{49}-7;\) \(-\sqrt{144}=-12;\) \(-111,0(3)=-111,0333…\)

Do \(21,166… > 7 > -12 > -111,0333… > -614,1.\)

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(21\displaystyle\frac{1}{6};\) \(\sqrt{49};\) \(-\sqrt{144};\) \(-111,0(3);\) \(-614,1.\)

\(\)

83. Tính:

a) \(\sqrt{0,04}+\sqrt{0,25}+2,31;\)

b) \((-\sqrt{0,09})+(\sqrt{169})+12,501;\)

c) \(\displaystyle\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}+\displaystyle\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{144}}-3,5;\)

d) \((-\sqrt{0,04})+(\sqrt{0,01})+12,02;\)

e) \(\left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|+\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^2-\left|4\displaystyle\frac{1}{2}+(-3,25)\right|;\)

g) \(\left|\sqrt{169}-\sqrt{900}\right|-\left|\displaystyle\frac{-5}{4}\right|:\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2.\)

Giải

a) \(\sqrt{0,04}+\sqrt{0,25}+2,31\)

\(= 0,2 + 0,5 + 2,31 = 3,01.\)

b) \((-\sqrt{0,09})+(\sqrt{169})+12,501\)

\(= (- 0,3) + ( – 13) + 12,501 = – 0,799.\)

c) \(\displaystyle\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}+\displaystyle\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{144}}-3,5\)

\(=\displaystyle\frac{7}{2}+\displaystyle\frac{15}{12}-3,5\)

\(= 3,5 + 1,25-3,5= 1,25.\)

d) \((-\sqrt{0,04})+(\sqrt{0,01})+12,02\)

\(= (-0,2) . 0,1 + 12,02 = 12.\)

e) \(\left|\displaystyle\frac{-11}{3}\right|+\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^2-\left|4\displaystyle\frac{1}{2}+(-3,25)\right|\)

\(=\displaystyle\frac{11}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}-\left|\displaystyle\frac{9}{2}-3,25\right|\)

\(=\displaystyle\frac{11}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}-|4,4-3,25|\)

\(=\displaystyle\frac{11}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{5}{4}=\displaystyle\frac{8}{3}.\)

g) \(\left|\sqrt{169}-\sqrt{900}\right|-\left|\displaystyle\frac{-5}{4}\right|:\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\)

\(=|13-30|=\displaystyle\frac{5}{4}:\left(-\displaystyle\frac{1}{6}\right)^2\)

\(=|-17|-\displaystyle\frac{5}{4}:\displaystyle\frac{1}{36}\)

\(=17-\displaystyle\frac{5}{4}.36=-28.\)

\(\)

84. Tìm \(x,\) biết:

a) \(x+\displaystyle\frac{6}{23}+(-0,7)+\displaystyle\frac{17}{23}=0;\)

b) \(|x|-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{9}{2};\)

c) \(2x+\sqrt{0,81}-\left|\displaystyle\frac{-5}{4}\right|:\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=-0,1;\)

d) \(|x|+|x+1|=\displaystyle\frac{-3}{4}.\)

Giải

a) \(x+\displaystyle\frac{6}{23}+(-0,7)+\displaystyle\frac{17}{23}=0\)

\(x=-\displaystyle\frac{17}{23}-(-0,7)-\displaystyle\frac{6}{23}\)

\(x=\displaystyle\frac{-23}{23}+0,7\)

\(x=-1+0,7=-0,3.\)

Vậy \(x=-0,3.\)

b) \(|x|-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{9}{2}\)

\(|x|=\displaystyle\frac{9}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(|x| = 5\)

\(x = 5\) hoặc \(x =-5.\)

Vậy \(x = 5\) hoặc \(x =-5.\)

c) \(2x+\sqrt{0,81}-\left|\displaystyle\frac{-5}{4}\right|:\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=-0,1\)

\(2x+0,9-\displaystyle\frac{5}{4}:\displaystyle\frac{1}{4}=-0,1\)

\(2x+0,9-5=-0,1\)

\(2x=-0,1+5-0,9\)

\(2x = 4\)

\(x = 2\)

Vậy \(x = 2.\)

d) \(|x|+|x+1|=\displaystyle\frac{-3}{4}\)

Ta có: \(|x| ≥ 0;\ |x + 1| ≥ 0\) với mọi số thực \(x\) nên \(|x| + |x + 1| ≥ 0\) với mọi số thực \(x.\)

Mà \(-\displaystyle\frac{3}{4}<0\) nên không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

\(\)

85. Chỉ số đồng hồ đo nước sinh hoạt của nhà bạn Hạnh được thống kê theo bảng sau:

Tổng số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong Quý III là 354 200 đồng. Tính số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong mỗi tháng của Quý III, biết rằng giá mỗi mét khối nước hằng tháng là như nhau.

Giải

Số nước nhà bạn Hạnh dùng trong Quý III là:

\(250-204 = 46\ (m^3).\)

Giá của \(1\ m^3\) nước là:

\(354\ 200 : 46 = 7\ 700\) (đồng).

Số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng \(7\) là:

\(7\ 700 . (220-204) = 123\ 200\) (đồng).

Số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng \(8\) là:

\(7\ 700 . (237-220) = 130\ 900\) (đồng).

Số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng \(9\) là:

\(7\ 700 . (250-237) = 100\ 100\) (đồng).

Vậy trong Quý III, số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng \(7,\) tháng \(8,\) tháng \(9\) lần lượt là: \(123\ 200\) đồng; \(130\ 900\) đồng; \(130\ 900\) đồng.

\(\)

86. Tìm ba số \(x,\ y,\ z,\) biết:

a) \(2x = 3y;\ 5y = 7z\) và \(3x-7y + 5z = 30;\)

b) \(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y-2}{3}=\displaystyle\frac{z-3}{4}\) và \(x-2y+3z=14.\)

Giải

a) Do \(2x = 3y;\ 5y = 7z\) hay \(\displaystyle\frac{x}{3}=\displaystyle\frac{y}{2};\) \(\displaystyle\frac{y}{7}=\displaystyle\frac{z}{5}\) nên \(\displaystyle\frac{x}{21}=\displaystyle\frac{y}{14}=\displaystyle\frac{z}{10}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle\frac{x}{21}=\displaystyle\frac{y}{14}=\displaystyle\frac{z}{10}=\displaystyle\frac{3x-7y-5z}{3.21-7.17+5.10}=\displaystyle\frac{30}{15}=2.\)

Vậy \(x = 2 . 21 = 42;\) \(y = 2 . 14 = 28;\) \(z = 2 . 10 = 20.\)

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y-2}{3}=\displaystyle\frac{z-3}{4}\) \(=\displaystyle\frac{(x-1)-2(y-2)+3(z-3)}{2-2.3+3.4}\) \(=\displaystyle\frac{x-2y+3z-6}{8}=\displaystyle\frac{14-6}{8}=1.\)

Suy ra \(x-1 = 1 . 2 = 2;\) \(y-2 = 1 . 3 = 3;\) \(z-3 = 1 . 4 = 4.\)

Vậy \(x = 3;\ y = 5;\ z = 7.\)

\(\)

87. Một chiếc xe đạp và một chiếc xe máy cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của xe máy lớn hơn vận tốc của xe đạp là 18 km/h nên khi xe máy đến B thì xe đạp mới đến C (C nằm giữa A và B). Quãng đường CB bằng 0,6 lần quãng đường AB. Tính vận tốc của mỗi xe.

Giải

Ta có quãng đường \(CB\) bằng \(0,6\) lần quãng đường \(AB\) nên quãng đường \(AC\) bằng \(0,4\) lần quãng đường \(AB.\)

Gọi vận tốc của xe đạp, xe máy lần lượt là \(v_1\) (km/h), \(v_2\) (km/h).

Do cùng một thời gian thì vận tốc và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên

\(\displaystyle\frac{v_1}{v_2}=\displaystyle\frac{AC}{AB}=0,4=\displaystyle\frac{2}{5}\) hay \(\displaystyle\frac{v_1}{2}=\displaystyle\frac{v_2}{5}.\)

Mặt khác, ta lại có \(v_2-v_1 = 18.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle\frac{v_1}{2}=\displaystyle\frac{v_2}{5}=\displaystyle\frac{v_2-v_1}{5-2}=\displaystyle\frac{18}{3}=6.\)

Suy ra \(v_1 = 6 . 2 = 12\) (km/h); \(v_2 = 6 . 5 = 30\) (km/h).

Vậy vận tốc của xe đạp, xe máy lần lượt là: \(12\) km/h; \(30\) km/h.

\(\)

88. Chị Hà đã chuẩn bị đúng số tiền để mua 15 kg cá hồi tại một cửa hàng thủy hải sản. Nhưng hôm đó nhân dịp năm mới nên cửa hàng đã giảm giá 20% mỗi ki-lô-gam cá hồi. Với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua thêm được nhiều nhất bao nhiêu ki-lô-gam cá hồi?

Giải

Gọi \(x\) (đồng) là giá tiền của một ki-lô-gam trước khi giảm giá.

Giá tiền một ki-lô-gam sau khi giảm giá là:

\((100\%-20\%) . x = 80\%x = 0,8x\) (đồng).

Số tiền ban đầu chị Hà có: \(15x\) (đồng).

Với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua được nhiều nhất số kg cá hồi là:

\(15x : 0,8x = 18,75\) (kg)

Ban đầu chị Hà dự định mua \(15\) kg, sau khi giảm giá thì với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua thêm được nhiều nhất số kg cá hồi là:

\(18,75-15 = 3,75\) (kg).

Vậy với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua thêm được nhiều nhất \(3,75\) ki-lô-gam cá hồi.

\(\)

89. Một công ty xây dựng dự định giao cho một nhóm gồm 48 công nhân thực hiện một công việc trong 12 ngày. Tuy nhiên, khi bắt đầu công việc thì một số công nhân bị điều động đi làm việc khác, do đó thời gian làm việc thực tế của nhóm công nhân còn lại kéo dài thêm 6 ngày so với dự kiến. Hỏi số công nhân bị điều động đi làm việc khác là bao nhiêu? Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

Giải

Gọi số công nhân thực hiện công việc dự định ban đầu là \(x\) (công nhân).

Thời gian thực tế đội công nhân đó hoàn thiện công việc là:

\(12 + 6 = 18\) (ngày).

Vì số công nhân và thời gian thực hiện công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(18x = 48 . 12 = 576.\)

Suy ra \(x = 576 : 18 = 32.\)

Do đó có \(32\) công nhân thực hiện công việc dự định ban đầu nên số công nhân bị điều động đi làm việc khác là:

\(48-32 = 16\) (công nhân).

Vậy số công nhân bị điều động đi làm việc khác là \(16\) công nhân.

\(\)

90*. Trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán, ba khối 6, 7, 8 có tất cả 200 học sinh tham dự thi. Tính số học sinh tham dự thi của mỗi khối, biết rằng nếu tăng \(\displaystyle\frac{3}{13}\) số học sinh tham gia dự thi của khối lớp 6, tăng \(\displaystyle\frac{1}{15}\) số học sinh tham dự thi của khối lớp 7 và tăng \(\displaystyle\frac{1}{3}\) số học sinh tham dự thi của khối lớp 8 thì số học sinh tham dự thi của mỗi khối là như nhau.

Giải

Gọi số học sinh tham dự thi của khối \(6,\ 7,\ 8\) lần lượt là \(x,\ y,\ z.\)

Ta có \(x+\displaystyle\frac{3}{13}x=y+\displaystyle\frac{1}{15}yz+\displaystyle\frac{1}{3}z\) hay \(\displaystyle\frac{16z}{13}=\displaystyle\frac{16y}{15}=\displaystyle\frac{4z}{3},\) suy ra \(\displaystyle\frac{x}{13}=\displaystyle\frac{y}{15}=\displaystyle\frac{z}{12}.\)

Mặt khác, ta lại có: \(x+y+z=200.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle\frac{x}{13}=\displaystyle\frac{y}{15}=\displaystyle\frac{z}{12}=\displaystyle\frac{x+y+z}{13+15+12}=\displaystyle\frac{200}{40}=5.\)

Do đó \(x = 13 . 5 = 65;\) \(y = 15 . 5 = 75;\) \(z = 12 . 5 = 60.\)

Vậy khối \(6,\ 7,\ 8\) lần lượt có: \(65\) học sinh, \(75\) học sinh, \(60\) học sinh tham dự cuộc thi.

\(\)

91*. Cho các số \(a,\ b,\ c\) thỏa mãn \(\displaystyle\frac{a}{2\ 020}=\displaystyle\frac{b}{2\ 021}=\displaystyle\frac{c}{2\ 2022}.\) Chứng tỏ rằng:

\(4(a-b)(b-c) = (c-a)^2.\)

Giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle\frac{a}{2\ 020}=\displaystyle\frac{b}{2\ 021}=\displaystyle\frac{c}{2\ 2022}=\displaystyle\frac{a-b}{2\ 020-2\ 021}\) \(=\displaystyle\frac{b-c}{2\ 021-2\ 022}=\displaystyle\frac{c-a}{2\ 022-2\ 020}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{a-b}{-1}=\displaystyle\frac{b-c}{-1}=\displaystyle\frac{c-a}{2}\) hay \(c-a=-2(a-b)=-2(b-c).\)

Do đó \((c-a)2 = [–2(a-b)][–2(b-c)] = 4(a-b)(b-c).\)

\(\)

92*. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = |x-1| + 21;\)

b) \(B=\sqrt{x}+x^2-22\) với \(x ≥ 0.\)

Giải

a) Ta có: \(|x-1| ≥ 0\) với mọi số thực \(x\) nên \(A = |x-1| + 21 ≥ 21\) với mọi số thực \(x.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(21.\)

Dấu “\(=\)” xảy ra khi và chỉ khi \(|x-1| = 0.\)

Suy ra \(x-1 = 0\) hay \(x = 1.\)

b) Ta có: \(\sqrt{x}≥0,\ x^2 ≥ 0\) với mọi số thực \(x\) nên \(\sqrt{x}+x^2≥0\) với mọi số thực \(x.\)