Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương \(II\) trang \(57\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{3}\) và \(u_n = 3 u_{n \ – \ 1}\) với mọi \(n \geq 2\). Số hạng thứ năm của dãy \((u_n)\) là:
\(A\). \(27\).
\(B\). \(9\).
\(C\). \(81\).
\(D\). \(243\).

Trả lời:

Ta có: \(\displaystyle \frac{u_n}{u_{n \ – \ 1}} = \displaystyle \frac{3u_{n \ – \ 1}}{u_{n \ – \ 1}} = 3\)

Do đó dãy số đã cho là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{3}\) và công bội \(q = 3\)

Suy ra công thức số hạng tổng quát là:

\(u_n = \displaystyle \frac{1}{3}. 3^{n \ – \ 1} = 3^{n \ – \ 2}\)

Vậy \(u_5 = 3^{5 \ – \ 2} = 3^3 = 27\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(2\). Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
\(A\). \(21, \ – \ 3, \ – \ 27, \ – \ 51, \ – \ 75\).
\(B\). \(\displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{5}{4}, 2, \displaystyle \frac{11}{4}, \displaystyle \frac{15}{4}\).
\(C\). \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}\).
\(D\). \(\displaystyle \frac{1}{20}, \displaystyle \frac{1}{30}, \displaystyle \frac{1}{40}, \displaystyle \frac{1}{50}, \displaystyle \frac{1}{60}\).

Trả lời:

Xét \(\ – \ 3 \ – \ 21 = \ – \ 27 \ – \ (\ – \ 3) = \ – \ 51 \ – \ (\ – \ 27) =\)

\( \ – \ 75 \ – \ (\ – \ 51) = \ – \ 24\)

Vậy dãy số \(21, \ – \ 3, \ – \ 27, \ – \ 51, \ – \ 75\) là cấp số cộng với công sai \(d = \ – \ 24\)

Chọn đáp án \(A\)

\(\)

Bài \(3\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 5\), công sai \(d = 4\). Công thức của số hạng tổng quát \(u_n\) là:
\(A\). \(u_n = \ – \ 5 + 4n\).
\(B\). \(u_n = \ – \ 1 \ – \ 4n\).
\(C)\) \(u_n = \ – \ 5 + 4n^2\).
\(D\). \(u_n = \ – \ 9 + 4n\).

Trả lời:

Công thức số hạng tổng quát:

\(u_n = \ – \ 5 + 4. (n \ – \ 1) = \ – \ 9 + 4n\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(4\). Tổng \(100\) số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ \(1\) là:
\(A\). \(10000\).
\(B\). \(10100\).
\(C)\). \(20000\).
\(D\). \(20200\).

Trả lời:

Các số tự nhiên lẻ lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 2\).

Do đó tổng \(100\) số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ \(1\) là:

\(S_{100} = \displaystyle \frac{100. [1 + 1 + 2. (100 \ – \ 1)]}{2} = 10000\)

Chọn đáp án \(A\).

\(\)

Bài \(5\). Trong các dãy số \((u_n)\) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\(A\). Dãy số \((u_n)\) được xác định bởi: \(u_1 = 1\) và \(u_n = u_{n \ – \ 1}. (n \ – \ 1)\) với mọi \(n \geq 2\).
\(B\). Dãy số \((u_n)\) được xác định bởi: \(u_1 = 1\) và \(u_n = 2u_{n \ – \ 1} + 1\) với mọi \(n \geq 2\).
\(C\). Dãy số \((u_n)\) được xác định bởi: \(u_1 = 1\) và \(u_n = u^2_{n \ – \ 1}\) với mọi \(n \geq 2\).
\(D\). Dãy số \((u_n)\) được xác định bởi: \(u_1 = 1\) và \(u_n = \displaystyle \frac{1}{3}. u_{n \ – \ 1}\) với mọi \(n \geq 2\).

Trả lời:

Dãy số \((u_n)\) được xác định bởi: \(u_1 = 1\) và \(u_n = \displaystyle \frac{1}{3}. u_{n \ – \ 1}\) với mọi \(n \geq 2\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Chọn đáp án \(D\).

\(\)

Bài \(6\). Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = \ – \ 1\), công bội \(q = \ – \ \displaystyle \frac{1}{10}\). Khi đó \(\displaystyle \frac{1}{10^{2017}}\) là số hạng thứ:
\(A\). \(2016\).
\(B\). \(2017\).
\(C\). \(2018\).
\(D\). \(2019\).

Trả lời:

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

\(u_n = (\ – \ 1). \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{10}\right)^{n \ – \ 1}\)

Xét \(u_n = \displaystyle \frac{1}{10^{2017}}\) là:

\(\Rightarrow \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{10}\right)^{n \ – \ 1} = \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{10}\right)^{2017}\)

\(\Rightarrow n = 2018\)

Chọn đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(7\). Trong các dãy số \((u_n)\) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
\(A\). \(u_n = \sin{n}\).
\(B\). \(u_n = n (\ – \ 1)^n\).
\(C\). \(u_n = \displaystyle \frac{1}{n}\).
\(D\). \(u_n = 2^{n + 1}\).

Trả lời:

Ta có: \(u_{n + 1} = 2^{n + 1 + 1} = 2^{n + 2}\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = 2^{n + 2} \ – \ 2^{n + 1} = 2^{n + 1} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

\(\Rightarrow\) Dãy số đã cho là dãy số tăng.

Chọn đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(8\). Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \((u_n)\) sau, biết số hạng tổng quát:
\(a)\) \(u_n = \displaystyle \frac{n^2}{n + 1}\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{2}{5^n}\);
\(c)\) \(u_n = (\ – \ 1)^n. n^2\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \displaystyle \frac{(n + 1)^2}{n + 1 + 1} = \displaystyle \frac{(n + 1)^2}{n + 2}\).

Xét hiệu \(u_{n + 1} \ – \ u_n = \displaystyle \frac{(n + 1)^2}{n + 2} \ – \ \displaystyle \frac{n^2}{n + 1}\)

\(= \displaystyle \frac{(n + 1)^3 \ – \ n^2(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)} = \displaystyle \frac{n^2 + 3n +1}{(n + 2)(n + 1)} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)0

Lại có \(u_n = \displaystyle \frac{n^2}{n + 1} > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn dưới.

\(b)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \displaystyle \frac{2}{5^{n + 1}}\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = \displaystyle \frac{2}{5^{n + 1}} \ – \ \displaystyle \frac{2}{5^n}\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{4}{5}. \displaystyle \frac{2}{5^n} = \ – \ \displaystyle \frac{8}{5^n} < 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\).

Lại có: \(u_n = \displaystyle \frac{2}{5^n} \leq \displaystyle \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm và bị chặn trên bởi \(\displaystyle \frac{2}{5}\)

\(c)\) Ta có: \(u_{n + 1} = (\ – \ 1)^{n + 1}. (n + 1)^2\)

Xét hiệu \(u_{n + 1} \ – \ u_n = (\ – \ 1)^{n + 1}. (n + 1)^2 \ – \ (\ – \ 1)^n. n^2\)

\(= (\ – \ 1)^n. [\ – \ (n + 1)^2 + n^2] = \ – \ (\ – \ 1)^n. (2n + 1)\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số không tăng, không giảm, không bị chặn.

\(\)

Bài \(9\). Cho cấp số cộng \((u_n)\). Tìm số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(u_2 + u_5 = 42\) và \(u_4 + u_9 = 66\);
\(b)\) \(u_2 + u_4 = 22\) và \(u_1. u_5 = 21\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_2 + u_5 = 42\\u_4 + u_9 = 66 \end{array} \right. \end{equation} \)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} u_1 + d + u_1 + 4d = 42\\u_1 + 3d + u_1 + 8d = 66 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 2u_1 + 5d = 42\\2u_1 + 11d = 66 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_1 = 11\\d = 4 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy \(u_1 = 11, d = 4\).

\(b)\) Ta có: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}u_2 + u_4 = 22\\u_1. u_5 = 21 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2u_1 + 4d = 22\\u_1. (u_1 + 4d) = 21 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}d = \displaystyle \frac{11 \ – \ u_1}{2} (1) \\u_1. (u_1 + 4d) = 21 (2) \end{array} \right. \end{equation}\)

Thay \((1)\) vào \((2)\) ta được:

\(u_1. \left(u_1 + 4. \displaystyle \frac{11 \ – \ u_1}{2}\right) = 21\)

\(\Rightarrow u_1^2 \ – \ 22u_1 + 21 = 0\)

\(\Rightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}u_1 = 1\\u_1 = 21 \end{array} \right. \end{equation}\)

Với \(u_1 = 1 \Rightarrow d = 5\)

Với \(u_1 = 21 \Rightarrow d = \ – \ 5\)

Vậy \(u_1 = 1, d = 5\) hoặc \(u_1 = 21, d = \ – \ 5\).

\(\)

Bài \(10\). Cho cấp số nhân \((u_n)\). Tìm số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(u_6 = 192\) và \(u_7 = 384\);
\(b)\) \(u_1 + u_2 + u_3 = 7\) và \(u_5 \ – \ u_2 = 14\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{u_6}{u_7} = \displaystyle \frac{u_1. q^5}{u_1. q^6} = \displaystyle \frac{1}{q}\)

Mà \(\displaystyle \frac{u_6}{u_7} = \displaystyle \frac{192}{384} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow q = 2\)

\(\Rightarrow u_1 = \displaystyle \frac{u_6}{q^5} = \displaystyle \frac{192}{2^5}\)

\(= 6\)

Vậy cấp số nhân có \(u_1 = 6, q = 2\).

\(b)\) Ta có: \(u_1 + u_2 + u_3 = u_1 + u_1. q + u_1. q^2 = 7\)

\(\Rightarrow u_1. (1 + q + q^2) = 7 (1)\)

Lại có \(u_5 \ – \ u_2 = u_1. q^4 \ – \ u_1. q = 14\)

\(\Rightarrow u_1. q(q^3 \ – \ 1) = 14 (2)\)

Chia vế theo vế của \((1)\) cho \((2)\) ta được:

\(\displaystyle \frac{u_1.(1 + q + q^2)}{u_1. q.(q \ – \ 1).(q^2 + q + 1)} = \displaystyle \frac{7}{14} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{q. (q \ – \ 1)} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow q^2 \ – \ q \ – \ 2 = 0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix}q = 2\\q = \ – \ 1 \end{matrix} \right.\)

Với \(q = 2\) thì \(u_1 = 1\)

Với \(q = \ – \ 1\) thì \(u_1 = 7\)

Vậy cấp số nhân có \(q = 2, u_1 = 1\) hoặc \(q = \ – \ 1, u_1 = 7\)

\(\)

Bài \(11\). Tứ giác \(ABCD\) có số đo bốn góc \(A, B, C, D\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc \(C\) gấp \(5\) lần số đo góc \(A\). Tính số đo các góc của tứ giác \(ABCD\) theo đơn vị độ.

Trả lời:

Do \(A, B, C, D\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

\(B = A + d, C = A + 2d, D = A + 3d\)

Mặt khác \(A + B + C + D = 360^o\)

Suy ra: \(4A + 6d = 360^o\) hay \(2A + 3d = 180^o\) \((1)\)

Lại có: \(C = A + 2d = 5 A\)

\(\Rightarrow d = 2A\) thay vào \((1)\) ta được:

\(2A + 3. 2A = 180^o\)

\(\Rightarrow 8A = 180^o\)

\(\Rightarrow A = 22,5^o, d = 45^o\)

\(\Rightarrow B = 67,5^o, C = 112,5^o, D = 157,5^o\)

Vậy số đo các góc của tứ giác \(ABCD\) là \(A = 22,5^o, B = 67,5^o, C = 112,5^o, D = 157,5^o\).

\(\)

Bài \(12\). Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có \(1\) cây, ở hàng thứ \(2\) có \(2\) cây, ở hàng thứ \(3\) có \(3\) cây, …, ở hàng thứ \(n\) có \(n\) cây. Biết rằng người ta trồng hết \(4950\) cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Trả lời:

Giả sử số hàng được trồng là \(n\) hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 1\), công sai \(d = 1\)

Khi đó tổng số cây ở \(n\) hàng được trồng là:

\(S_n = \displaystyle \frac{n(1 + n)}{2} = 4950\)

\(\Leftrightarrow n^2 + n \ – \ 9900 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}n = 99 (\text{ thỏa mãn })\\n = \ – \ 100 (\text{ Không thỏa mãn }) \end{array} \right.\end{equation}\)

Vậy có tất cả \(99\) hàng cây được trồng theo cách trên.

\(\)

Bài \(13\). Một cái tháp có \(11\) tầng. Diện tích của mặt sàn tầng \(2\) bằng nửa diện tích của mặt sàn đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là \(12288 m^2\). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông?

Trả lời:

Ta có diện tích mặt đáy tháp là \(u_1 = 12288 (m^2)\)

Diện tích mặt sàn tầng \(2\) là:

\(u_2 = 12288. \displaystyle \frac{1}{2} = 6144 (m^2)\)

…

Gọi diện tích mặt sàn tầng \(n\) là \(u_n\) với \(n \in \mathbb{N^8}\).

Dãy các giá trị \((u_n)\) lập thành cấp số nhân với \(u_1 = 12288\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{1}{2}\), có công thức số hạng tổng quát là:

\(u_n = 12288. \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n \ – \ 1}\)

Diện tích mặt sàn trên cùng chính là mặt sàn của tầng thứ \(11\) nên ta có:

\(u_{11} = 12288. \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{11 \ – \ 1} = 12 (m^2)\)

\(\)

Bài \(14\). Một khay nước có nhiệt độ \(23^oC\) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm \(20 \%\). Tính nhiệt độ của khay nước đó sau \(6\) giờ theo đơn vị độ \(C\).

Trả lời:

Gọi \(u_n\) là nhiệt độ của khay nước sau \(n\) giờ (đơn vị độ \(C\)) với \(n \in \mathbb{N^*}\).

Ta có: Nhiệt độ ban đầu của khay nước \(u_1 = 23\)

\(u_2 = 23 \ – \ 23. 20\% = 23. (1 \ – \ 20\%) = 23. 0,8\)

\(u_3 = 23. 0,8 \ – \ 23. 0,8. 20\% = 23. 0,8^2\)

…

Dãy số \((u_n)\) lập thành cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 23\) và công bội \(q = 0,8\)

Suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

\(u_n = 23. 0,8^{n \ – \ 1}\) độ \(C\).

Khi đó, sau \(6\) giờ thì nhiệt độ của khay nước là:

\(u_6 = 23. 0,8^{6 \ – \ 1} = 23. 0,8^5 \approx 7,5^oC\)

\(\)

Bài \(15\). Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng \(4\). Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành \(4\) phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(C_2\) (Hình \(4\)). Từ hình vuông \(C_2\) lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông \(C_3\). Cứ tiếp tục như trên ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, C_3, …, C_n,….\) Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh hình vuông \(C_n\). Chứng minh rằng dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân.

Trả lời:

Độ dài cạnh hình vuông đầu tiên là:

\(a_1 = 4\)

Độ dài cạnh hình vuông thứ \(2\) là: \(a_2 = \sqrt{10}\)

…

Độ dài cạnh hình vuông thứ \(n\) là \(a_n\)

Độ dài cạnh hình vuông thứ \(n + 1\) là:

\(a_{n + 1} = \sqrt{\left(\displaystyle \frac{3}{4} a_n\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{1}{4}a_n\right)^2} = \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4} a_n\)

Xét \(\displaystyle \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \displaystyle \frac{\frac{\sqrt{10}}{4}a_n}{a_n} = \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4}\).

Vậy dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 4\) và công bội \(q = \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4}\).

\(\)

Bài \(16\). Ông An vay ngân hàng \(1\) tỉ đồng với lãi suất \(12\%/\)năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là \(a\) đồng và đã trả hết nợ sau đúng \(2\) năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Trả lời:

Lãi suất \(12\%/\)năm = \(1\%/\)tháng.

Gọi \(u_n\) là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

\(u_1 = 1000000000\) (đồng).

\(u_2 = 1000000000 + 1000000000. 1\% \ – \ a\)

\(= 1000000000( 1 + 0,01) \ – \ a\)

\(= u_1. 1,01 \ – \ a\) (đồng)

\(u_3 = 1000000000(1 + 0,01) \ – \ a + [1000000000(1 + 0,01) \ – \ a]. 1\% \ – \ a\)

\(= [1000000000(1 + 0,01) \ – \ a]. (1 + 0,01) \ – \ a\)

\(= 1000000000. 1,01^2 \ – \ a. 1,01 \ – \ a\)

\(= u_1. 1,01^2 \ – \ a. 1,01 \ – \ a\) (đồng).

…

\(a_n = u_1. 1,01^{n \ – \ 1} \ – \ a. 1,01^{n \ – \ 2} \ – \ a. 1,01^{n \ – \ 3} \ – \ … \ – \ a\) (đồng).

Ta thấy dãy \(a. 1,01^{n \ – \ 2}; a. 1,01^{n \ – \ 3}; …; a\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = a\) và công bội \(q = 1,01\) sẽ có tổng \(n \ – \ 2\) số hạng đầu tiên là:

\(S_{n \ – \ 2} = \displaystyle \frac{a. (1 \ – \ 1,01^{n \ – \ 2})}{1 \ – \ 1,01}\)

Sau \(2\) năm tức là \(24\) tháng ông An đã trả hết nợ tức là \(a_{25} = 0\)

\(a_{25} = 1000000000. 1,01^{24} \ – \ S_{23}\)

\(= 1000000000. 1,01^{24} \ – \ \displaystyle \frac{a. (1 \ – \ 1,01^{23})}{\ – \ 0,01}\)

\(\Rightarrow a = 49375000\) đồng.

Vậy số tiền ông An phải trả mỗi tháng là \(49375000\) đồng.

Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II

Xem bài giải trước: Bài 3 – Cấp số nhân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1 – Giới hạn của dãy số
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech