Bài tập cuối chương II

Bài tập cuối chương \(II\) trang \(31\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(A\): TRẮC NGHIỆM

Bài \(2.7\). Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(A\). \(x + y > 3\);
\(B\). \(x^2 + y^2 \leq 4\);
\(C\). \((x \ – \ y)(3x + y) \geq 1\);
\(D\). \(y^2 \ – \ 2 \leq 0\).0

Trả lời:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x; y\) có dạng tổng quát \(ax + by \leq c (ax + by \geq c; ax + by < c; ax + by > c\) với \(a, b, c\) là các số thực đã cho, \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), \(x, y\) là các ẩn số.

Xét các bất phương trình đã cho, chỉ có bất phương trình \(x + y > 3\) có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a =1, b = 1, c = 3\).

Đáp án: \(A\)

\(\)

Bài \(2.8\). Cho bất phương trình \(2x + y > 3\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(A\). Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
\(B\). Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
\(C\). Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.
\(D\). Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \([3; + \infty)\).

Trả lời:

Ta thấy bất phương trình \(2x + y > 3\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mà bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Đáp án \(C\)

\(\)

Bài \(2.9\). Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ y <3\)?

Trả lời:

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình

\(x \ – \ y < 3\) trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng \(d: x \ – \ y \ – \ 3 = 0\)
• Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta thấy: \(0 \ – \ 0 \ – \ 3 = \ – \ 3 < 0\) thỏa mãn bất phương trình \(x \ – \ y < 3\). Do đó \(O\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ y <3\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ \(d\) (không chứa bờ \(d\))có chứa gốc tọa độ \(O\).

Đáp án \(D\)

\(\)

Bài \(2.10\). Hệ bất phương tình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(A\). \(\left \{\begin{matrix}x \ – \ y < 0\\2y \geq 0 \end{matrix} \right.\)
\(B\). \(\left \{\begin{matrix}3x + y^3 < 0\\x + y > 3 \end{matrix} \right.\)
\(C\). \(\left \{\begin{matrix}x + 2y < 0\\y^2 + 3 < 0 \end{matrix} \right.\)
\(D\). \(\left \{\begin{matrix}\ – \ x^2 + y < 4\\x + 2y < 1 \end{matrix} \right.\).

Trả lời:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta thấy chỉ có hệ ở đáp án \(A\) thỏa mãn là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án \(A\)

\(\)

Bài \(2.11\). Cho hệ bất phương trình \(\left \{\begin{matrix}x \ – \ y < \ – \ 3\\2y \geq \ – \ 4 \end{matrix} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?
\(A\). \((0; 0)\)
\(B\). \((\ – \ 2; 1)\)
\(C\). \((3; \ – \ 1)\)
\(D\). \((\ – \ 3; 1)\).

Trả lời:

Thay lần lượt tọa độ các điểm \(A, B, C, D\) vào hệ bất phương trình đã cho.

Ta thấy chỉ có tọa độ điểm \(D(\ – \ 3; 1)\) thỏa mãn hệ.

Đáp án \(D\)

\(\)

\(B\). TỰ LUẬN

Bài \(2.12\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle \frac{x + y}{2} \geq \displaystyle \frac{2x \ – \ y + 1}{3}\) trên mặt phẳng toạ độ.

Trả lời:

Ta có: \(\displaystyle \frac{x + y}{2} \geq \displaystyle \frac{2x \ – \ y + 1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 3.(x + y) \geq 2.(2x \ – \ y + 1)\)

\(\Leftrightarrow x \ – \ 5y \leq \ – \ 2\)

Xác định miền nghiệm của bất phương trình như sau:

• Vẽ đường thẳng \(d: x \ – \ 5y = \ – \ 2\)
• Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta có: \(0 \ – \ 5. 0 = 0 > \ – \ 2\) nên điểm \(O\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ 5y \leq 0\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) (kể cả bờ \(d\)) không chứa gốc tọa độ \(O\) (Miền tô màu trong hình)

\(\)

Bài \(2.13\). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left \{\begin{matrix}x + y < 1\\2x \ – \ y \geq 3 \end{matrix} \right.\) trên mặt phẳng toạ độ.

Trả lời:

Xác định miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x + y < 1\):

• Vẽ đường thẳng \(d_1: x + y = 1\)
• Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta có: \(0 + 0 = 0 < \) thỏa mãn bất phương trình \(x + y < 1\) hay điểm \(O\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\)

Do đó miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x + y < 1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) (không chứa bờ \(d_1\)) có chứa gốc tọa độ \(O\)

Xác định miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(2x \ – \ y \geq 3\):

• Vẽ đường thẳng \(d_2: 2x \ – \ y = 3\)
• Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) ta có: \(2. 0 \ – \ 0 = 0 < 3\) không thỏa mãn bất phương trình \(2x \ – \ y \geq 3\) hay điểm \(O\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x \ – \ y \geq 3\)

Do đó miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(2x \ – \ y \geq 3\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_2\) (kể cả bờ \(d_2\)) không chứa gốc tọa độ \(O\).

Khi đó miền không bị tô màu chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị tô màu trong hình dưới.

\(\)

Bài \(2.14\). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left \{\begin{matrix}y \ – \ 2x \leq 2\\y \leq 4\\x \leq 5\\x + y \geq \ – \ 1 \end{matrix} \right.\) trên mặt phẳng toạ độ. Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x; y) = \ – \ x \ – \ y\) với \((x; y)\) thoả mãn hệ trên.

Trả lời:

Miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(y \ – \ 2x \leq 2\) được xác định như sau:

• Vẽ đường thẳng \(d_1: y \ – \ 2x = 2\)
• Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\) ta có: \(0 \ – \ 2. 0 = 0 < 2\) thoả mãn bất phương trình \(y \ – \ 2x \leq 2\) hay điểm \(O\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(y \ – \ 2x \leq 2\).

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(y \ – \ 2x \leq 2\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) (kể cả bờ \(d_1\)) có chứa gốc toạ độ \(O\)

Miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(y \leq 4\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(y = 4\) ( kể cả bờ \(y = 4\)) chứa gốc toạ độ \(O\).

Miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(x \leq 5\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x = 5\) (kể cả bờ \(x = 5\)) có chứa gốc toạ độ \(O\).

Miền nghiệm \(D_4\) của bất phương trình \(x + y \geq \ – \ 1\) được xác định như sau:

• Vẽ đường thẳng \(d_2: x + y = \ – \ 1\)
• Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\) ta có: \(0 + 0 = 0 > \ – \ 1\) thoả mãn bất phương trình \(x + y \geq \ – \ 1\) hay điểm \(O\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \geq \ – \ 1\)

Do đó miền nghiệm \(D_4\) của bất phương trình \(x + y \geq \ – \ 1\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d_2\) (kể cả bờ \(d_2\)) có chứa gốc toạ độ \(O\).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(ABCD\) với toạ độ các đỉnh là \(A(1; 4); B(\ – \ 1; 0); C(5; \ – \ 6); D(5; 4)\).

Tính giá trị \(F(x; y) = \ – \ x \ – \ y\) tại các điểm \(A, B, C, D\) ta được:

\(F(1; 4) = \ – \ (\ – \ 1) \ – \ 4 = \ – \ 5\);

\(F(\ – \ 1; 0) = \ – \ (\ – \ 1) \ – \ 0 = 1\);

\(F(5; \ – \ 6) = \ – \ 5 \ – \ (\ – \ 6)= 1\);

\(F(5; 4) = \ – \ 5 \ – \ 4 = \ – \ 9\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\) là \(1\) tại \((x; y) = (\ – \ 1; 0)\) hoặc \((x; y) = (5; \ – \ 6)\) và giá trị nhỏ nhất bằng \(\ – \ 9\) tại \((x; y) = (5; 4)\).

\(\)

Bài \(2.15\). Bác An đầu tư \(1,2\) tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất \(7 %\) một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất \(8 %\) một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất \(12 %\) một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất ba lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá \(200\) triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Trả lời:

Gọi \(x, y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền bác An đầu tư vào trái phiếu chính phủ và trái phiếu ngân hàng.

Ta có \(0 \leq x, y \leq 1200\)

Khi đó số tiền bác An đầu tư vào trái phiếu doanh nghiệp là \(1200 \ – \ x \ – \ y\) (triệu đồng)

Bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ nhiều gấp ít nhất \(3\) lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: \(x \geq 3y\) hay \(x \ – \ 3y \geq 0\)

Bác An đầu tư không quá \(200\) triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên \(1200 \ – \ x \ – \ y \leq 200\) hay \(x + y \geq 1000\)

Kết hợp lại ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix}0 \leq x \leq 1200\\0 \leq y \leq 1200\\x \ – \ 3y \geq 0\\x + y \geq 1000 \end{matrix}\right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) như hình dưới với tọa độ các điểm \((A(750; 250); B(1000; 0); C(1200; 0); D(1200; 400)\).

Lợi nhuận bác An thu được sau một năm là:

\(F(x; y) = x. 7% + y. 8% + (1200 \ – \ x \ – \ y). 12%\)

\(= 144 \ – \ 0,05x \ – \ 0,04y\)

Ta đi tìm giá tị lớn nhất của \(F(x; y)\) khi \((x; y)\) thoả mãn hệ bất phương trình:

\(\left \{\begin{matrix}0 \leq x \leq 1200\\0 \leq y \leq 1200\\x \ – \ 3y \geq 0\\x + y \geq 1000 \end{matrix} \right.\)

Xét giá trị của \(F\) tại các điểm \(A; B; C; D\) ta được:

\(F(A) = F(750; 250) = 144 \ – \ 0,05. 750 \ – \ 0,04. 250\)

\(= 96,5\)

\(F(B) = F(1000; 0) = 144 \ – \ 0,05. 1000 \ – \ 0,04. 0\)

\(= 94\)

\(F(C) = F(1200; 0) = 144 \ – \ 0,05. 1200 \ – \ 0,04. 0\)

\(= 84\)

\(F(D) = F(1200; 400) = 144 \ – \ 0,05.1200 \ – \ 0,04. 400\)

\(= 68\)

Ta thấy \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(96,5\) tại \(A(x; y) = (750; 250)\)

Vậy để lãi suất thu được là lớn nhất sau một năm thì bác An nên đầu tư \(750\) triệu trái phiếu chính phủ, \(250\) triệu trái phiếu ngân hàng và \(200\) triệu trái phiếu doanh nghiệp.

\(\)

Bài \(2.16\). Một công ty dự định chi tối đa \(160\) triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp \(8\) lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp \(8\) lần trên đài phát thanh.
Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là \(900\) giây với chi phí là \(80\) nghìn đồng trên giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là \(360\) giây với chi phí là \(400\) nghìn đồng trên giây. Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Gợi ý: Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo \(1\) giây trên đài phát thanh là \(1\) (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo \(1\) giây trên đài truyền hình là \(8\) (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo \(x\) giây trên đài phát thanh và \(y\) giây trên đài truyền hình là \(F(x, y) = x + 8y\). Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(F(x, y)\) với \(x, y\) thoả mãn các điều kiện trong đề bài.

Trả lời:

Gọi \(x; y\) giây lần lượt là số giây quảng cáo trên đài phát thanh và đài truyền hình trong một tháng của công ty.

Khi đó \( 0 \leq x \leq 900 ; 0 \leq y \leq 360\).

Khi đó chi phí công ty cần chi trả cho quảng cáo trong một tháng là: \(80x + 400y\) (nghìn đồng)

Vì công ty dự định chi tối đa \(160\) triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới nên ta có:

\(80x + 400y \leq 160000\) hay \(x + 5y \leq 2000\)

Kết hợp lại ta có hệ bất phương trình:

\(\left \{\begin{matrix}0 \leq x \leq 900\\0 \leq y \leq 360\\x + 5y \leq 2000 \end{matrix} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác \(OABCD\) với toạ độ các đỉnh \(O(0; 0); A(0; 360); B(200; 360);\)

\( C(900; 220); D(900; 0)\).

Nếu coi hiệu quả quảng cáo \(1\) giây trên đài phát thanh là \(1\) đơn vị thì hiệu quả quảng cáo \(1\) giây trên đài truyền hình là \(8\) đơn vị.

Khi đó hiệu quả quảng cáo \(x\) giây trên đài phát thanh và \(y\) giây trên đài truyền hình là:

\(F(x; y) = x + 8y\)

Tính giá trị \(F(x; y)\) tại các điểm \(O, A, B, C, D\) ta được:

\(F(0; 0) = 0 + 8. 0 = 0\);

\(F(0; 360) = 0 + 8. 360 = 2880\);

\(F(200; 360) = 200 + 8. 360 = 3080\);

\(F(900; 220) = 900 + 8. 220 = 2660\);

\(F(900; 0) = 900 + 8. 0 = 900\).

\(\Rightarrow F\) đạt giá trị lớn nhất tại \((x; y) = (200; 360)\)

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên đài phát thanh là \(200\) giây và trên đài truyền hình là \(360\) giây thì hiệu quả nhất.

Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II Bài tập cuối chương II

Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-4-he-bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-5-gia-tri-luong-giac-cua-mot-goc-tu-0-den-180/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-bai-tap-sgk-toan-lop-10-nxb-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song/

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech