Bài tập cuối chương II

Chương \(II\) – Bài tập cuối chương \(II\) trang \(39\) SGK Toán Lớp \(10\) Tập \(1\) NXB Chân trời sáng tạo. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

\(a) \ – \ 2x + y \ – \ 1 \leq 0\)

\(b) \ – \ x + 2y > 0\)

\(c) x \ – \ 5y < 2\)

\(d) \ – \ 3x + y + 2 \leq 0\)

\(e) 3(x \ – \ 1) + 4(y \ – \ 2) < 5x \ – \ 3\).

Trả lời:

\(a)\) Vẽ đường thẳng \(\Delta\): \(\ – \ 2x + y \ – \ 1 = 0 \) đi qua \(2\) điểm \(A(0; 1)\) và \(B(\displaystyle \frac{\ – \ 1}{2}; 0)\).

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\)

Ta thấy \(O \notin \Delta\) và \(\ – \ 0+ 0 \ – \ 1 = \ – \ 1 < 0\) nên \(O(0; 0)\) là nghiệm của bất phương trình \(\ – \ 2x + y \ – \ 1 \leq 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(\ – \ 2x + y \ – \ 1 \leq 0\) là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(\Delta\) có chứa điểm \(O(0; 0)\) (miền được tô màu trong hình).

\(b)\) Vẽ đường thẳng \(\Delta\): \(\ – \ x + 2y = 0 \) đi qua \(2\) điểm \(O(0; 0)\) và \(A(2; 1)\)

Xét điểm \(B(0; 1) \)

Ta thấy \(C \notin \Delta\) và \(\ – \ 0 + 2.1 = 2 > 0\) nên \(B(0; 1)\) là nghiệm của bất phương trình \(\ – \ x + 2y > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ 2y > 0\) là nửa mặt phẳng không kể cả bờ \(\Delta\) có chứa điểm \(B(0; 1)\) (miền được tô màu trong hình).

\(c)\) Vẽ đường thẳng \(\Delta\): \(x \ – \ 5y \ – \ 2 = 0 \) đi qua \(2\) điểm \(A(0; \displaystyle \frac{\ – \ 2}{5})\) và \(B(2; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\)

Ta thấy \(0 \notin \Delta\) và \(0 \ – \ 5.0 \ – \ 2 = \ – \ 2 < 0\) nên \(O(0; 0)\) là nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ 5y < 2\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ 5y < 2\) là nửa mặt phẳng không kể cả bờ \(\Delta\) có chứa điểm \(O(0; 0)\) (miền được tô màu trong hình).

\(d)\) Vẽ đường thẳng \(\Delta\): \((\ – \ 3x \ + y + 2 = 0 \) đi qua \(2\) điểm \(A(0; \ – \ 2)\) và \(B(\displaystyle \frac{2}{3}; 0\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\)

Ta thấy \(0 \notin \Delta\) và \(0 + 0 + 2 = 2 > 0\) nên \(O(0; 0)\) không phải là nghiệm của bất phương trình \(\ – \ 3x \ + y + 2 \leq 0 \)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(\ – \ 3x \ + y + 2 \leq 0 \) là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(\Delta\) không chứa điểm \(O(0; 0)\) (miền được tô màu trong hình).

\(e)\) Ta có: \(3(x \ – \ 1) + 4(y \ – \ 2) < 5x \ – \ 3\)

\(\Leftrightarrow 3x \ – \ 3 + 4y \ – \ 8 \ – \ 5x + 3 < 0\)

\(\Leftrightarrow 4y \ – \ 2x \ – \ 8 < 0\)

\(\Leftrightarrow 2y \ – \ x \ -\ 4 < 0\)

Vẽ đường thẳng \(\Delta\): \(2y \ – \ x \ – \ 4 = 0 \) đi qua \(2\) điểm \(A(0; 2)\) và \(B(\ – \ 4; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\)

Ta thấy \(0 \notin \Delta\) và \(0 \ – \ 0 \ – \ 4 = \ – \ 4 < 0\) nên \(O(0; 0)\) là nghiệm của bất phương trình \(2y \ – \ x \ -\ 4 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2y \ – \ x \ -\ 4 < 0\) là nửa mặt phẳng không chứa bờ \(\Delta\) có chứa điểm \(O(0; 0)\) (miền được tô màu trong hình).

\(\)

Bài \(2\). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)

\(\left \{\begin{matrix} x \ – \ 2y > 0\\ x + 3y < 3 \end{matrix} \right.\)

Trả lời: Ta biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ bất phương trình như sau:

Với bất phương trình: \(x \ – \ 2y > 0\)

Vẽ đường thẳng \(d_1: x \ – \ 2y = 0\) đi qua hai điểm \(O(0 ; 0)\) và \(A (2 ; 1)\).

Xét điểm \(B (0 ; 1)\). Ta thấy \(B \notin d_1\) và \( 0 \ – \ 2.1 = \ – \ 2 < 0\)

\(\Rightarrow B(0 ; 1)\) không phải là nghiệm của bất phương trình: \(x \ – \ 2y > 0\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ 2y > 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d_1\) (không kể bờ \(d_1\) và không chứa điểm \(B (0 ; 1)\).

Với bất phương trình \(x + 3y < 3\)

Vẽ đường thẳng \(d_2 : x + 3y = 3\) đi qua hai điểm \(B(0 ; 1)\) và \(C (3 ; 0)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0 ; 0)\). Ta có \(O \notin d_2\) và \(0 + 3.0 = 0 < 3 \)

\(\Rightarrow O(0 ; 0)\) là nghiệm của bất phương trình \(x + 3y < 3\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(x + 3y < 3\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d_2\) (không kể bờ \(d_2\)) có chứa điểm \(O(0 ; 0)\).

Ta có hình sau:

Vậy miền không tô màu (không bao gồm các đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\)) trong hình là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(\)

Bài \(3\). Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm \(A\) và \(B\). Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu \(I, II, III\). Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất \(1\) kg sản phẩm được cho trong bảng sau :

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại \(A\) lãi \(30\) triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại \(B\) lãi \(50\) triệu đồng.

Trả lời: Gọi \(x; y\) lần lượt là số kilôgam mỗi loại sản phẩm \(A; B\) nhà máy sản xuất được.

\(\Rightarrow x \geq 0; y \geq 0\)

Để sản xuất được \(x\) kg sản phẩm \(A\) cần:

\(2x\) kg nguyên liệu \(I\)
\(4x\) kg nguyên liệu \(II\)
\(x\) kg nguyên liệu \(III\)

Để sản xuất được \(y\) kg nguyên liệu \(II\) cần:

\(y\) kg nguyên liệu \(I\)
\(4y\) kg nguyên liệu \(II\)
\(2y\) kg nguyên liệu \(III\)

Số kg nguyên liệu dự trữ của nguyên liệu loại \(I\) là \(8\)

\(\Leftrightarrow 2x + y \leq 8\)

Số kg nguyên liệu dự trữ của nguyên liệu loại \(II\) là \(24\)

\(\Leftrightarrow 4x + 4y \leq 24 \Leftrightarrow x + y \leq 6\)

Số kg nguyên liệu dự trữ của nguyên liệu loại \(III\) là \(8\)

\(\Leftrightarrow x + 2y \leq 8\)

Kết hợp các điều kiện lại ta có hệ phương trình sau:

\( \left \{\begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\2x + y \leq 8\\ x + y \leq 6\\ x + 2y \leq 8 \end{matrix} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ phương trình trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) ta được hình sau:

Miền không tô màu (miền tứ giác \(OABC\) bao gồm cả các cạnh) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho với các đỉnh có toạ độ: \( O(0; 0); A(0; 4); B( \displaystyle \frac{8}{3}; \displaystyle \frac{8}{3}); C(4; 0)\).

Gọi \(T\) ( đơn vị: triệu đồng) là số tiền lãi thu về của công ty.

Ta có: \( T = 30x + 50y\)

Tính giá trị của \(T\) tại các đỉnh của tứ giác \(OABC\)

Tại \(O(0; 0): T = 30.0 + 50.0 = 0\);
Tại \(A(0; 4): T = 30.0 + 50.4 = 200\);
Tại \(B(\displaystyle \frac{8}{3}; \displaystyle \frac{8}{3}: T = 30. \displaystyle \frac{8}{3} + 50.\displaystyle \frac{8}{3} = \displaystyle \frac{640}{3} = \approx 213\);
Tại \(C(4; 0): T = 30.4 + 50.0 = 120\).

\(T\) đạt lớn nhất bằng \(213\) tại \(B(\displaystyle \frac{8}{3}; \displaystyle \frac{8}{3})\)

Vậy công ty nên sản xuất \(\displaystyle \frac{8}{3}\) kg sản phẩm loại \(A\) và \(\displaystyle \frac{8}{3}\) kg sản phẩm loại \(B\) để thu về tiền lãi lớn nhất.

\(\)

Bài \(4\). Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại \(A\) chiếm \(3m^2\) sàn, loại này có sức chứa \(12m^3\) và có giá \(7,5\) triệu đồng; tủ loại \(B\) chiếm \(6m^2\) sàn, loại này có sức chứa \(18m^3\) và có giấ \(5\) triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là \(60m^2\) mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá \(60\) triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Trả lời: Gọi \(x; y\) lần lượt là số tủ hồ sơ loại \(A, B\) mà công ty cần mua.

Ta có: \(x \geq 0; y \geq 0\)

Khi đó, \(x\) chiếc tủ loại \(A\) chiếm \(3x\) \(m^2\) sàn, \(y\) chiếc tủ loại \(B\) chiếm \(6y\) \(m^2\) sàn.

\(\Rightarrow\) Tổng mặt bằng hai loại tủ sẽ chiếm: \(3x + 6y\) (\(m^2)\)

Do công ty chỉ thu xếp được \(60 m^2\) mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ nên ta có: \(3x + 6y \leq 60 \Leftrightarrow x + 2y \leq 20 \)

Số tiền cần dùng để mua \(x\) chiếc tủ loại \(A\) và \(y\) chiếc tủ loại \(B\) lần lượt là: \(7,5x\) và \(5y\) triệu đồng.

Tổng số tiền cần dùng để mua hai loại tủ trên là : \(7,5x + 5y\) (triệu đồng).

Do ngân sách mua tủ không quá \(60\) triệu đồng nên ta có bất phương trình:

\(7,5x + 5y \leq 60 \Leftrightarrow 1,5x + y \leq 12\)

Kết hợp lại, ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\ x + 2y \leq 20\\ 1,5x + y \leq 12 \end{matrix} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lên mặt phẳng \(Oxy\) ta được hình sau:

Miền không tô màu (miền tứ giác \(OABC\) bao gồm cả các cạnh) là miền nghiệm của hệ phương trình đã cho với các đỉnh có toạ độ là: \(O(0; 0); A(0; 10); B(2; 9); C(8; 0)\).

Sức chứa (đơn vị: \(m^3\) của \(x\) chiếc tủ loại \(A\) và \(y\) chiếc tủ loại \(B\) lần lượt là: \(12x\) và \(18y\) (\(m^3\)).

Gọi \(F\) là tổng thể tích của \(x\) chiếc tủ loại \(A\) và \(y\) chiếc tủ loại \(B\).

Ta có: \(F = 12x + 18y\) (\(m^3\))

Tính giá trị của \(F\) tại các đỉnh của tứ giác \(OABC\):

Tại \(O(0; 0): F = 12.0 + 18.0 = 0\);
Tại \(A(0; 10): F = 12.0 + 18.10 = 180\);
Tại \(B(2; 9): F = 12.2 + 18.9 = 186\);
Tại \(C(8; 0): F = 12.8 + 18.0 = 96\).

\(F\) đạt giá trị lớn nhất là \(186\) \(m^3\) tại \(B(2; 9)\).

Vậy để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất thì công ty nên mua \(2\) tủ loại \(A\) và \(9\) tủ loại \(B\).

\(\)

Bài \(6\). Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng \(A, B\) sản xuất hai loại sản phẩm \(X, Y\). Để sản xuất một tấn sản phẩm \(X\) cần dùng máy \(A\) trong \(6\) giờ và dùng máy \(B\) trong \(2\) giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm \(Y\) cần dùng máy \(A\) trong \(2\) giờ và dùng máy \(B\) trong \(2\) giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy \(A\) làm việc không quá \(12\) giờ một ngày, máy \(B\) làm việc không quá \(8\) giờ một ngày. Một tấn sản phẩm \(X\) lãi \(10\) triệu đồng và một tấn sản phẩm \(Y\) lãi \(8\) triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi mỗi ngày cao nhất.

Trả lời:

Gọi \(x\) (tấn) là khối lượng sản phẩm \(X\) mà xưởng sản xuất ra mỗi ngày; \(y\)(tấn) là khối lượng sản phẩm \(Y\) mà xưởng sản xuất ra mỗi ngày.

Ta có: \(x \geq 0; y \geq 0\).

Để sản xuất \(x\) tấn sản phẩm \(X\) cần dùng máy \(A\) trong \(6x\) (giờ) và cần dùng máy \(B\) trong \(2x\) giờ.
Để sản xuất \(y\) tấn sản phẩm \(Y\) cần dùng máy \(A\) trong \(2y\) giờ và cần dùng máy \(B\) trong \(2y\) giờ.

\(\Rightarrow\) Tổng số giờ dùng máy \(A\) trong mỗi ngày là \(6x + 2y\) (giờ) và Tổng số giờ dùng máy \(B\) trong mỗi ngày là: \(2x + 2y\) (giờ)

Do máy \(A\) làm việc không quá \(12\) giờ một ngày nên ta có bất phương trình:

\(6x + 2y \leq 12 \Leftrightarrow 3x + y \leq 6\)

Do máy \(B\) làm việc không quá \(8\) giờ một ngày nên ta có bất phương trình: \(2x + 2y \leq 8 \Leftrightarrow x + y \leq 4\)

Kết hợp lại ta có hệ bất phương trình:

\(\left \{\begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\3x + y \leq 6\\ x + y \leq 4 \end{matrix} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lên hệ toạ độ \(Oxy\) ta được hình sau:

Miền không tô màu (miền tứ giác \(OABC\) bao gồm cả các cạnh) là miền nghiệm của bất phương trình đã cho với các đỉnh \(O(0; 0); A(0; 4); B(1; 3); C(2; 0)\).

Gọi \(T\) (đơn vị: triệu đồng) là số tiền lãi mỗi ngày mà công ty thu được khi sản xuất được \(x\) tấn sản phẩm \(X\) và \(y\) tấn sản phẩm \(Y\).

Ta có: \(T = 10x + 8y\) (triệu đồng)

Xét giá trị của \(T\) tại các đỉnh của tứ giác \(OABC\)