Bài tập cuối chương 9

Bài tập cuối chương 9 trang 76 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

A. TRẮC NGHIỆM

9.37. Cho ABC là tam giác không cân. Biết \(\Delta A’B’C’ ∽ \Delta ABC.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\Delta A’C’B’ ∽ \Delta ACB.\)

B. \(\Delta B’C’A’ ∽ \Delta BAC.\)

C. \(\Delta B’A’C’ ∽ \Delta BCA.\)

D. \(\Delta A’C’B’ ∽ \Delta ABC.\)

Giải

\(\Delta A’B’C’ ∽ \Delta ABC\) nên đỉnh A tương ứng đỉnh A’, đỉnh B tương ứng đỉnh B’, đỉnh C tương ứng đỉnh C’.

Chọn đáp án A.

\(\)

9.38. Cho \(\Delta A’B’C’ ∽ \Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng bằng 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=2.\)

B. \(\displaystyle\frac{AB}{A’C’}=2.\)

C. \(\displaystyle\frac{A’B’}{AB}=2.\)

D. \(\displaystyle\frac{A’B’}{AC}=2.\)

Giải

Vì \(\Delta A’B’C’ ∽ \Delta ABC\)

\(⇒ \displaystyle\frac{A’B’}{AB}=\displaystyle\frac{A’C’}{AC}=\displaystyle\frac{B’C’}{BC}=2.\)

Chọn đáp án C.

\(\)

9.39. Trong các bộ ba số đo dưới đây, đâu là số đo ba cạnh của một tam giác vuông?

A. 3 m; 5 m; 6 m.

B. 6 m; 8 m; 10 m.

C. 1 cm; 0,5 cm; 1,25 cm.

D. 9 m; 16 m; 25 m.

Giải

Theo định lí Pythagore ta thấy \(6^2+8^2=10^2.\)

Chọn đáp án B.

\(\)

9.40. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB ≠ AC) và tam giác DEF vuông tại D (DE ≠ DF). Điều nào dưới đây không suy ra \(\Delta ABC ∽ \Delta DEF?\)

A. \(\widehat{B} = \widehat{E}.\)

B. \(\widehat{C} = \widehat{F}.\)

C. \(\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{E} + \widehat{F}.\)

D. \(\widehat{B}-\widehat{C} = \widehat{E}-\widehat{F}.\)

Giải

Chọn đáp án C.

\(\)

B. TỰ LUẬN

9.41. Cho hình 9.76, biết rằng MN // AB, MP // AC. Hãy liệt kê ba cặp hai tam giác (khác nhau) đồng dạng có trong hình.

Giải

Tam giác ABC có MN // AB nên ta có \(\Delta CNM ∽ \Delta CAB.\)

Tam giác ABC có MP // AC nên ta có \(\Delta MPB ∽ \Delta CAB.\)

Suy ra \(\Delta CNM ∽ \Delta MPB.\)

\(\)

9.42. Cho hình 9.77, biết rằng \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}.\) Chứng minh rằng \(\Delta ABD ∽ \Delta ACE\) và \(\Delta BOE ∽ \Delta COD.\)

Giải

Hai tam giác ABD và ACE có \(\widehat{A}\) chung; \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}.\)

Do đó \(\Delta ABD ∽ \Delta ACE\) (g.g).

Vì \(\Delta ABD ∽ \Delta ACE\) nên \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\) hay \(\widehat{CDO}=\widehat{BEO}\) (1)

Ta có \(\widehat{ABD}+\widehat{EBO}=180^o;\) \(\widehat{ACE}+\widehat{DCO}=180^o\)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) suy ra \(\widehat{EBO}=\widehat{DCO}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta BOE ∽ \Delta COD\) (g.g).

\(\)

9.43. Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại điểm G (H.9.78). Chứng minh rằng tam giác GMN đồng dạng với tam giác GBC và tìm tỉ số đồng dạng.

Giải

Tam giác ABC có, MA = MC, NA = NB nên NM là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra NM // BC, NM = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB.

Tam giác GMN và tam giác GBC có NM // BC suy ra \(\Delta GMN ∽ \Delta GBC.\)

\(\)

9.44. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 4 cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB.

a) Chứng minh rằng \(\Delta HDA ∽ \Delta AHC.\)

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD.

Giải

a) Ta có AB ⊥ AC, HD ⊥ AB nên HD // AC.

Suy ra \(\widehat{DHA}=\widehat{HAC}\) (so le trong).

Hai tam giác vuông HDA (vuông tại D) và AHC (vuông tại H) có: \(\widehat{DHA}=\widehat{HAC}.\)

Do đó \(\Delta HDA ∽ \Delta AHC.\)

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC:

\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^2+5^2=41\) hay \(BC=\sqrt{41}\ cm.\)

– Có \(AH.BC=AB.AC\)

\(⇒ AH=\displaystyle\frac{20\sqrt{41}}{41}\)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BHA: \(HB^2=AB^{2}-AH^{2}\)

\(⇒ HB=\displaystyle\frac{25\sqrt{41}}{41}\ cm\)

\(⇒ HC=\displaystyle\frac{16\sqrt{41}}{41}\ cm.\)

Tam giác vuông BDH và tam giác vuông BAC có: HD // AC.

Do đó \(\Delta BDH ∽ \Delta BAC.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{BH}{BC}=\displaystyle\frac{DH}{AC} ⇒ HD=\displaystyle\frac{100}{41}.\)

\(\)

9.45. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH (H.9.79).

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A.

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN.

c) Tính diện tích tam giác AMN.

Giải

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABH:

\(AB^2=AH^2+BH^2=12^2+16^2=400\) hay \(AB=20\ cm.\)

Tương tự, ta có: \(AC^2=AH^2+CH^2=12^2+9^2\) hay \(AC=15\ cm.\)

Từ giả thiết, ta thấy \(AB^2+AC^2=BC^2.\)

Theo định lí Pythagore đảo thì ABC là tam giác vuông tại A.

b) Tam giác AHB có M, N là trung điểm của AH, BH nên MN là đường trung bình của tam giác AHB.

Suy ra MN // AB mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A).

Do đó MN ⊥ AC.

Tam giác ACN có M là giao điểm hai đường cao AH, MN nên M là trực tâm của tam giác ACN.

Suy ra CM là đường cao tam giác ACN nên CM ⊥ AN.

c) Diện tích tam giác AMN:

\(S_{AMN}=\displaystyle\frac{1}{2}.AM.MN\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{1}{2}AH.\displaystyle\frac{1}{2}AB\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{1}{2}.12.\displaystyle\frac{1}{2}.20=30\ cm^2.\)

\(\)

9.46. Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.80 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) \(\displaystyle\frac{BD}{BC}=\displaystyle\frac{AB}{AB+AC},\) từ đó suy ra \(AE=\displaystyle\frac{AB.AC}{AB+AC}.\)

b) \(\Delta DFC ∽ \Delta ABC.\)

c) \(DF = DB.\)

Giải

a) Vì AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\displaystyle\frac{DB}{DC}=\displaystyle\frac{AB}{AC}\) hay \(DB.AC=DC.AB.\)

Ta có: \(BD.(AB+AC)=BD.AB+BD.AC\) \(=DB.AB+DC.AB=AB(DB+DC)\)

\(⇒ BD.(AB+AC)=AB.BC.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{BD}{BC}=\displaystyle\frac{AB}{AB+AC}\) (1)

Hai tam giác CED và CAB có \(\widehat{C}\) chung, \(\widehat{A}=\widehat{E}.\)

Do đó \(\Delta CED ∽ \Delta CAB\) (g.g).

Suy ra \(\displaystyle\frac{CE}{CA}=\displaystyle\frac{CD}{CB}.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{AC-AE}{AC}=\displaystyle\frac{BC-BD}{BC}.\)

\(⇒ 1-\displaystyle\frac{AE}{AC}=1-\displaystyle\frac{DB}{BC}\)

\(⇒ \displaystyle\frac{AE}{AC}=\displaystyle\frac{DB}{BC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{AC}=\displaystyle\frac{AB}{AB+AC}.\)

\(⇒ AE=\displaystyle\frac{AB.AC}{AB+AC}.\)

b) Hai tam giác DFC và ABC, có \(\widehat{C}\) chung, \(\widehat{A}=\widehat{E}=90^o\)

Do đó \(\Delta DFC ∽ \Delta ABC\) (g.g).

c) Vì \(\Delta DFC ∽ \Delta ABC\) suy ra \(\displaystyle\frac{DF}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{AC}\) \(⇒ DF=\displaystyle\frac{AB.DC}{AC}\) (3)

Ta có \(DB.AC=DC.AB\) (chứng minh ở câu a) \(⇒DB=\displaystyle\frac{DC.AB}{AC}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(DF=DB.\)

\(\)

9.47. Để tính được chiều cao gần đúng của kim tự tháp Ai Cập, người ta nắm 1 cây cọc cao 1 m vuông góc với mặt đất và đo được bóng cây cọc trên mặt đất là 1,5 m. Khi đó chiều dài bóng của kim tự tháp trên mặt đất là 208,2 m. Hỏi kim tự tháp cao bao nhiêu mét?

Giải

Ta có hình vẽ

Trong cùng một thời điểm, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất các góc bằng nhau.

\(⇒ \widehat{BAC}=\widehat{B’A’C’}.\)

Hai tam giác vuông BAC (vuông tại B) và B’A’C’ (vuông tại B’) có: \(\widehat{BAC}=\widehat{B’A’C’}.\)

Do đó \(\Delta B’A’C’ ∽ \Delta BAC.\)

\(⇒ \displaystyle\frac{A’B’}{AB}=\displaystyle\frac{B’C’}{BC}\)

\(⇒ \displaystyle\frac{1}{AB}=\displaystyle\frac{1,5}{208,2}\)

\(⇒ AB = 208,2:1,5=138,8\ m.\)

\(\)

9.48. Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ 1m nhìn sang tòa nhà đối diện thì vừa nhìn thấy đúng tất cả 6 tầng của tòa nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao 80 cm và mỗi tầng của tòa nhà đối diện 4 m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là bao nhiêu?

Giải