Bài tập cuối chương 5 trang 103 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
37. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat A = 3\widehat B.\) Số đo các góc của hình bình hành \(ABCD\) là:
A. \(\widehat A = \widehat C = 120^o,\widehat B = \widehat D = 60^o.\)
B. \(\widehat A = \widehat D = 45^o,\widehat B = \widehat C = 135^o.\)
C. \(\widehat A = \widehat C = 135^o,\widehat B = \widehat D = 45^o.\)
D. \(\widehat A = \widehat D = 135^o,\widehat B = \widehat D = 45^o.\)
Giải
Xét hình bình hành \(ABCD,\) có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^o\)
Mà \(\widehat A = \widehat C;\ \widehat D = \widehat B\) (tính chất); \(\widehat A = 3\widehat B.\)
Do đó \(\widehat {3B} + \widehat B + 3\widehat B + \widehat B = 360^o\)
Suy ra \(\widehat B = \widehat D = 45^o;\) \(\widehat A = \widehat C = \displaystyle\frac{{360^o-45^o.2}}{2} = 135^o.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
38. Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài bằng \(8\ cm.\) Độ dài đường chéo \(AC\) là:
A. \(4\sqrt 2\ cm.\)
B. \(8\sqrt 2\ cm.\)
C. \(2\sqrt 8\ cm.\)
D. \(4\sqrt 8\ cm.\)
Giải
Xét tam giác vuông cân \(ABC,\) ta có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 128.\)
Vậy độ dài đường chéo \(AC = \sqrt {128} = 8\sqrt 2\ cm.\)
Chọn đáp án B.
\(\)
39. Cho tứ giác \(ABCD\) có \(E,\ F,\ G,\ H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\ BC,\ CD,\ DA.\) Điều kiện của tứ giác \(ABCD\) để tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật là:
A. \(BD = AC.\)
B. \(AB \bot BC.\)
C. \(BD \bot AC.\)
D. \(AB = CD.\)
Giải
Xét tam giác \(ABCD\) có \(E,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\ AD\) nên \(EH\) là đường trung bình của tam giác \(ABD.\)
Suy ra \(EH//BD,\ EH = \displaystyle\frac{1}{2}BD\) (1)
Tương tự xét tam giác \(CBD\) có \(F,\ G\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\) nên \(FG\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\) suy ra \(FG//BD,\ FG = \displaystyle\frac{1}{2}BD\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(EH//FG;\ EH = FG\) nên \(EFGH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Để hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {EHG} = 90^o\) hay \(EH \bot HG.\)
Lại có \(HG//AC\) (do \(HG\) là đường trung bình của tam giác \(DAC\)) nên \(EH \bot AC\) mà \(EH \bot BD\) (cmt) nên \(AC \bot BD.\)
Vậy tứ giác \(ABCD\) cần có \(AC \bot BD\) thì \(EFGH\) là hình chữ nhật.
Chọn đáp án C.
\(\)
40. Một công ti dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máy ở địa điểm \(C\) trên bờ đến một địa điểm \(B\) trên biển. Khoảng cách giữa địa điểm \(A\) trên đảo với địa điểm \(B,\) địa điểm \(C\) lần lượt là \(9\ km,\) \(15\ km;\) \(AB\) vuông góc với \(BC\) (minh họa ở Hình 27). Giá làm \(1\ km\) đường ống là \(5\ 000\) đô la Mỹ. Hỏi chi phí làm đường ống từ địa điểm \(C\) đến địa điểm \(B\) là bao nhiêu đồng? Biết \(1\) đô la Mỹ bằng \(23\ 635\) đồng.
Giải
Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) (theo định lí Pythagore).
Suy ra \(BC^2 = AC^2-AB^2 = 5^2-9^2 = 144.\) Do đó \(BC = \sqrt {144} = 12\ (km).\)
Chi phí làm đường ống từ địa điểm \(C\) đến địa điểm \(B\) là:
\(5\ 000.23\ 635.12 = 1\ 418\ 100\ 000\) (đồng).
\(\)
41. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH.\) Kẻ \(HJ\) vuông góc với \(AB\) tại \(J\) và \(HK\) vuông góc với \(AC\) tại \(K.\) Trên tia \(HJ\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DJ = JH.\) Trên tia \(HK\) lấy điểm \(E\) sao cho \(EK = KH.\)
a) Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(DE.\)
b) Tứ giác \(AJHK\) là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh \(BC = BD + CE.\)
Giải
a) Xét \(\Delta ADJ\) vuông tại \(J\) và \(\Delta AHJ\) vuông tại \(J\) có: \(AJ\) chung, \(DJ = HJ\).
Do đó \(\Delta ADJ = \Delta AHJ\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(AD = AH\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {JAD} = \widehat {JAH}\) (hai góc tương ứng).
Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta AHK = \Delta AEK\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(AH = AE\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {KAH} = \widehat {KAE}\) (hai góc tương ứng).
Ta có: \(\widehat {JAD} + \widehat {JAH} + \widehat {KAH} + \widehat {KAE}\) \(= 2\left( {\widehat {JAH} + \widehat {KAH}} \right) = 2.\widehat {JAK} = 2.90^o = 180^o.\)
Hay \(\widehat {DAE} = 180^o\) nên ba điểm \(D,A,E\) thẳng hàng.
Lại có \(AD = AH\) và \(AH = AE\) nên \(AD = AE.\)
Do đó \(A\) là trung điểm của \(DE.\)
b) Ta có \(AB \bot HE\) tại \(K\) nên \(\widehat {AJH} = 90^o.\)
\(AC \bot HE\) tại \(K\) nên \(\widehat {AKH} = 90^o.\)
Tứ giác \(AJKH\) có: \(\widehat {AJH} = \widehat {JAK} = \widehat {AKH} = 90^o\) nên là hình chữ nhật.
c) Xét tam giác \(BDJ\) vuông tại \(J\) và tam giác \(BHJ\) vuông tại \(J\) có \(BJ\) chung, \(DJ = HJ\).
Do đó \(\Delta BDJ = \Delta BHJ\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(BD = BH\) (hai cạnh tương ứng).
Tương tự, ta cũng có \(\Delta CHK = \Delta CEK\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(CH = CE\) (hai cạnh tương ứng).
Khi đó \(BC = BH + CH = BD + CE.\)
Vậy \(BC = BD + CE.\)
\(\)
42. Cho hình thang cân \(ABCD\) có \(AB//CD,\ \widehat D = 45^o.\) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(CD\) tại \(H.\) Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(HE = DH.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.
b) Đường thẳng qua \(D\) song song với \(AE\) cắt \(AH\) tại \(F.\) Tứ giác \(ADFE\) là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của hình thang cân \(ABCD\) để \(E\) là trung điểm của \(BF\) (bỏ qua giả thiết \(\widehat D = 45^o\)).
Giải
a) Do \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat{C}=\widehat{ADC}.\)
\(\Delta ADH = \Delta AEH\) (c.g.c). Suy ra \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}\) hay \(\widehat{ADC}=\widehat{AED}.\)
Do đó \(\widehat{C}=\widehat{AED}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra \(AE//BC.\)
Tứ giác \(ABCE,\) có \(AB//CE,\ AE//BC\) nên \(ABCE\) là hình bình hành.
b) Ta có: \(\widehat {FDH}=\widehat {AEH}\) (hai góc so le trong); \(\widehat {AHE} = \widehat {FHD} = 90^o\); \(DH = HE\)
\(\Delta AHE = \Delta DHD\) (g.c.g). Suy ra \(AH = HF.\)
Tứ giác \(ADFE\) có hai đường chéo \(AF\) và \(DE\) cắt nhau tại trung điểm \(H\) của mỗi đường nên \(ADFE\) là hình bình hành.
Tam giác \(ADE\) có \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=45^o\) nên tam giác \(ADE\) vuông cân tại \(A.\)
Hình bình hành \(ADFE\) có \(\widehat{DAE}=90^o\) nên là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \(ADFE\) có \(AD=AE\) nên \(ADFE\) là hình vuông.
c) Để \(E\) là trung điểm của \(BF\) thì \(BE = FE\) và ba điểm \(B,\ E,\ F\) thẳng hàng.
Khi bỏ qua giả thiết \(\widehat {ADC} = 45^o\) thì ta chứng minh được tứ giác \(ADEF\) là hình bình hành.
Do \(ABCE\) và \(ADEF\) đều là hình bình hành nên \(AE = BC\) và \(AE = DF.\) Suy ra \(BC=DF.\)
Ta có \(\widehat{FDH}=\widehat{BCD}\) (vì cùng bằng \(\widehat{AEH}\)) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(BC//DF.\)
Tứ giác \(BCFD\) có \(BC = DF\) và \(BC//DF\) nên \(BCFD\) là hình bình hành.
Mà \(E\) là trung điểm của \(BF,\) suy ra \(E\) là trung điểm của \(CD\) hay \(EC=ED=\displaystyle\frac{1}{2}CD.\)
Mặt khác, \(AB = EC\) (vì \(ABCE\) là hình bình hành), suy ra \(AB = \displaystyle\frac{1}{2}CD\)
Dễ thấy nếu hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có \(AB = \displaystyle\frac{1}{2}CD\) thì \(E\) là trung điểm của \(BF.\)
Vậy điều kiện của hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) để \(E\) là trung điểm của \(BF\) là \(AB = \displaystyle\frac{1}{2}CD.\)
\(\)
43. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB.\) Gọi \(M,\ N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\ AD.\)
a) Chứng minh tứ giác \(MBND\) là hình bình hành.
b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN,\ Q\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM.\) Chứng minh tứ giác \(PMQN\) là hình chữ nhật.
c) Tìm điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để tứ giác \(PMQN\) là hình vuông.
d) Tính diện tích của tứ giác \(PMQN,\) biết \(AB = 2\ cm,\ \widehat {MAD} = 30^o.\)
Giải
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC//AD\) và \(BC = AD.\)
Mà \(M \in BC,\ N \in AD\) nên \(MB//ND.\)
Lại có \(M,\ N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\ AD\) nên \(MB = MC = \displaystyle\frac{1}{2}BC,\ NA = ND = \displaystyle\frac{1}{2}AD.\)
Do đó \(MB = MC = NA = ND.\)
Tứ giác \(MBND\) có \(MB//ND\) và \(MB = ND\) nên là hình bình hành.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được \(MANC\) là hình bình hành.
Do \(MBND\ ,MANC\) đều là hình bình hành nên \(PN//MQ,\ PM//NQ.\) Suy ra tứ giác \(PMQN\) là hình bình hành.
\(\Delta ABN = \Delta MBN\) (c.g.c). Suy ra \(AB = MN.\)
Tứ giác \(ABMN\) có \(AB = BM-MN = AN\) nên \(ABMN\) là hình thoi. Suy ra \(AM \bot BN.\)
Hình bình hành \(PMQN\) có \(\widehat {MPN} = 90^o\) nên \(PMQN\) là hình chữ nhật.
c) Để hình chữ nhật \(PMQN\) là hình vuông thì \(PM = PN.\)
Mà \(ABMN\) là hình thoi nên \(ABMN\) là hình bình hành. Suy ra \(AM,\ BN\) cắt nhau tại trung điểm \(P\) của mỗi đường.
Mà \(PM = PN,\) suy ra \(AM = BN.\)
Hình bình hành \(ABMN\) có \(AM = BN\) nên \(ABMN\) là hình chữ nhật
Suy ra \(\widehat {ABM} = 90^o\) hay \(\widehat {ABC} = 90^o\)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {ABC} = 90^o\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Dễ thấy, nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(BC = 2AB\) thì \(PMQN\) là hình vuông.
Vậy điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để \(PMQN\) là hình vuông là hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(BC = 2AB.\)
d) Ta có: \(BM = AB\) nên \(BM = 2\ cm.\)
Do \(ABMN\) là hình thoi nên \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAN}.\)
Suy ra \(\widehat {BAN} = 2\widehat {MAD} = 60^o.\)
Tam giác \(ABN\) có \(AB = AN\) và \(\widehat {BAN} = 60^o\) nên tam giác \(ABN\) đều.
Suy ra \(BN = AN = AB = 2\ cm.\)
Do \(P\) là trung điểm của \(BN\) nên \(BP = NP = \displaystyle\frac{{BN}}{2} = 1\ cm.\)
Trong tam giác \(BMP\) vuông tại \(P,\) ta có: \(BM^2 = BP^2 + MP^2.\)
Suy ra \(MP^2 = BM^2-BP^2 = 3.\) Do đó \(MP = \sqrt 3\ cm.\)
Do \(PMQN\) là hình chữ nhật nên diện tích của \(PMQN\) là:
\(MP.NP=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}\ (cm^2).\)
\(\)
44. Cho hình vuông \(ABCD.\) Lấy điểm \(M\) thuộc đường chéo \(BD.\) Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E,\) \(MF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F.\)
a) Chứng minh: \(DE = CF;\ DE \bot CF.\)
b) Chứng minh ba đường thẳng \(DE,\ BF,\ CM\) cùng đi qua một điểm.
c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đường chéo \(BD\) để diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.
Giải
Gọi \(H\) là giao điểm của \(DE\) và \(CF,\) \(K\) là giao điểm của \(CM\) và \(EF.\)
Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có:
\(\widehat {DAB} = 90^o,\) \(CD = DA,\) \(\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^o.\)
a) Ta chứng minh được tam giác \(FDM\) vuông cân tại \(F.\)
Suy ra \(FM = DF.\)
Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {MFA} = \widehat {FAE} = \widehat {AEM} = 90^o\) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật. Suy ra \(AE = FM.\)
Do đó \(AE = DF\) (vì cùng bằng \(FM\)).
\(\Delta ADE = \Delta DCF\) (c.g.c). Suy ra \(DE = CF,\) \(\widehat {AED} = \widehat {DFC}.\)
Trong tam giác \(ADE\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\widehat {AED} + \widehat {ADE} = 90^o.\)
Suy ra \(\widehat {DFC} + \widehat {ADE} = 90^o\) hay \(\widehat {DFH} + \widehat {FHD} = 90^o.\) Từ đó ta tính được \(\widehat {DHF} = 90^o.\) Vậy \(DE \bot CF.\)
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được \(BF \bot CE.\)
\(\Delta ABM = \Delta CBM\) (c.g.c). Suy ra \(AM = CM.\) Mà \(EF = AM\) (vì \(AEMF\) là hình chữ nhật) suy ra \(EF = CM.\)
\(\Delta DEF = \Delta FCM\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {DEF} = \widehat {FCM}\) hay \(\widehat {FEH} = \widehat {FCK}.\)
Trong tam giác \(HEF\) vuông tại \(H,\) ta có \(\widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 90^o.\)
Suy ra \(\widehat {FCK} + \widehat {EFH} = 90^o\) hay \(\widehat {FCK} + \widehat {KFC} = 90^o.\) Từ đó, ta tính được \(\widehat {CKF} = 90^o.\) Do đó, \(CK \bot EF.\)
Trong tam giác \(CEF,\) ta có: \(DE \bot CF,BF \bot CE,CM \bot EF\) nên ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) là các đường cao của tam giác \(CEF.\) Vậy ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm.
c) Chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) là: \(2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {DF + AF} \right) = 2AD.\)
Mà \(AD\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất khi \(AEMF\) là hình vuông. Suy ra \(ME = MF.\)
Khi đó \(\Delta BEM = \Delta DFM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(BM = DM\) hay \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
Vậy với \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 7. Hình vuông
Xem bài giải tiếp theo: Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
