Bài tập cuối chương 4 trang 89 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
A. CÂU HỎI (Trắc nghiệm)
1. Cho tam giác ABC có BC = 13 cm. E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Độ dài EF bằng:
A. 13 cm.
B. 26 cm.
C. 6,5 cm.
D. 3 cm.
Giải
Trong \(\Delta ABC\) có E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EF là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
Suy ra \(MN=\displaystyle\frac{1}{2}BC=\displaystyle\frac{1}{2}.13=6,5\ (cm)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Chọn đáp án C.
\(\)
2. Độ dài x trong Hình 5.13 là
A. 20.
B. 50.
C. 12.
D. 30.
Giải
Ta có \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC.
Tam giác ABC có DE // BC nên theo Định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{AD}{DB}=\displaystyle\frac{AE}{EC}\) hay \(\displaystyle\frac{12}{18}=\displaystyle\frac{x}{30}\) suy ra \(x=\displaystyle\frac{12.30}{18}=20.\)
Chọn đáp án A.
\(\)
3. Cho tam giác ABC cân tại B. Hai trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GB, GC. Khẳng định nào đúng?
A. MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AC.
B. BC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)IK.
C. MN > IK.
D. MN = IK.
Giải
Trong ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra MN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)
Trong ∆BGC có I, K lần lượt là trung điểm của BG, BC nên IK là đường trung bình của ∆BGC.
Suy ra IK = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BC (tính chất đường trung bình trong tam giác) (2)
Mà tam giác ABC cân tại B nên BA = BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra MN = IK.
Chọn đáp án D.
\(\)
4. Cho hình thang ABCD (AB // DC), O là giao điểm của AC và BD. Xét các khẳng định sau:
\((1)\ \displaystyle\frac{OA}{OC}=\displaystyle\frac{OD}{OB};\)
\((2)\ OA.OD=OB.OC;\)
\((3)\ \displaystyle\frac{AO}{AC}=\displaystyle\frac{BO}{BD}.\)
Số khẳng định đúng là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Giải
Qua O kẻ OM // AB // CD (M ∈ AD).
Tam giác ADC có OM // CD nên theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{OA}{OC}=\displaystyle\frac{MA}{MD};\ \displaystyle\frac{AO}{AC}=\displaystyle\frac{AM}{AD}\)
Tam giác ABD có OM // AB nên theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{OB}{OD}=\displaystyle\frac{MA}{MD};\ \displaystyle\frac{BO}{BD}=\displaystyle\frac{AM}{AD}\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{OA}{OC}=\displaystyle\frac{OB}{OD}\) hay \(OA.OD = OB.OC\) và \(\displaystyle\frac{AO}{AC}=\displaystyle\frac{BO}{BD}\)
Do đó khẳng định (1) là sai và khẳng định (2), (3) là đúng.
Chọn đáp án C.
\(\)
5. Cho Hình 5.14, biết DE // AC. Độ dài x là
A. 5.
B. 7.
C. 6,5.
D. 6,25.
Giải
Tam giác ABC có DE // AC nên theo Định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{BD}{DA}=\displaystyle\frac{BE}{EC}\) hay \(\displaystyle\frac{5}{2}=\displaystyle\frac{x}{2,5}\), suy ra \(x=\displaystyle\frac{5.2,5}{2}=6,25.\)
Chọn đáp án D.
\(\)
6. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Biết AG = 4 cm, độ dài của EI, DK là
A. EI = DK = 3 cm.
B. El = 3 cm; DK = 2 cm.
C. EI = DK = 2 cm.
D. EI = 1 cm; DK = 2 cm.
Giải
Vì BD, CE là các đường trung tuyến của ∆ABC nên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB.
Trong ∆ABG có E, I là trung điểm của AB, GB nên EI là đường trung bình của ∆ABG.
Suy ra \(EI=\displaystyle\frac{1}{2}AG\) (tính chất đường trung bình trong tam giác)
Do đó \(EI=\displaystyle\frac{1}{2}.4=2\ (cm).\)
Trong ∆ACG có D, K là trung điểm của AC, GC nên DK là đường trung bình của ∆ACG.
Suy ra \(DK=\displaystyle\frac{1}{2}AG\) (tính chất đường trung bình trong tam giác)
Do đó \(DK=\displaystyle\frac{1}{2}.4=2\ (cm).\)
Vậy \(EI = DK = 2\ cm.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
7. Cho Hình 5.15, biết ED ⊥ AB, AC ⊥ AB. Khi đó, x có giá trị là
Giải
Ta có AB = AD + BD = 3 + 6 = 9.
Vì ED ⊥ AB, AC ⊥ AB nên DE // AC.
Trong ∆ABC có DE // AC nên theo định lí Thalès ta có:
\(\displaystyle\frac{BD}{BA}=\displaystyle\frac{BE}{BC}\) hay \(\displaystyle\frac{6}{9}=\displaystyle\frac{3x}{13,5}\) suy ra \(3x = 9.\)
Vậy \(x = 9 : 3 = 3.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
8. Cho ∆ABC. Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Độ dài x bằng
A. 4.
B. 6.
C. 12.
D. 14.
Giải
Ta có: \(DC = BC-BD = 21-9 = 12.\)
Trong ∆ABC, AD là phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{BD}{DC}\) hay \(\displaystyle\frac{6}{x}=\displaystyle\frac{9}{12},\) suy ra \(x=\displaystyle\frac{6.12}{9}=8.\)
Không có đáp án nào đúng do x = 8.
\(\)
9. Cho tam giác ABC có AD là tia phân giác của góc BAC. Biết AB = 3 cm, BD = 4 cm, CD = 6 cm. Độ dài AC bằng
A. 4 cm.
B. 5 cm.
C. 6 cm.
D. 4,5 cm.
Giải
Trong ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên
\(\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{DB}{DC}\) hay \(\displaystyle\frac{3}{AC}=\displaystyle\frac{4}{6},\) suy ra \(AC=\displaystyle\frac{3.6}{4}=4,5\ (cm).\)
Chọn đáp án D.
\(\)
10. Cho ∆ABC đều, cạnh 3 cm; M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chu vi của tứ giác MNCB bằng
A. 8 cm.
B. 7,5 cm.
C. 6 cm.
D. 7 cm.
Giải
Trong ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra \(MN=\displaystyle\frac{1}{2}BC=\displaystyle\frac{1}{2}.3=1,5\ (cm)\)
Do tam giác ABC đều nên AB = AC = BC
Lại có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên \(BM=\displaystyle\frac{1}{2}AB=\displaystyle\frac{1}{2}AC=CN\)
\(⇒ BM=CN=\displaystyle\frac{1}{2}.3=1,5\ (cm).\)
Vậy chu vi của tứ giác BMNC là:
\(BM + MN + NC + BC\) \(= 1,5 + 1,5 + 1,5 + 3 = 7,5\ (cm).\)
Chọn đáp án B.
\(\)
11. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Chu vi của tứ giác AHIK bằng
A. 7 cm.
B. 14 cm.
C. 24 cm.
D. 12 cm.
Giải
Vì K, H lần lượt là trung điểm của AB, AC nên \(AK = \displaystyle\frac{1}{2}AC = 4\ cm,\) \(AH = \displaystyle\frac{1}{2}AB = 3\ cm.\)
Trong ∆ABC có H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HI là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra \(HI = \displaystyle\frac{1}{2}AC=\displaystyle\frac{1}{2}.8 = 4\ (cm).\)
Trong ∆ABC có I, K lần lượt là trung điểm của BC và AC nên IK là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra \(IK=\displaystyle\frac{1}{2}AB=\displaystyle\frac{1}{2}.6=3\ (cm).\)
Chu vi tứ giác AHIK là: \(KI + HI + AH + AK\) \(= 3 + 4 + 3 + 4 = 14\ (cm).\)
Chọn đáp án B.
\(\)
12. Cho hình thoi ABCD có M là trung điểm AD, đường chéo AC cắt BM tại điểm E. (H.5.16)
Tỉ số \(\displaystyle\frac{EM}{EB}\) bằng
A. \(\displaystyle\frac{1}{3}.\)
B. \(2.\)
C. \(\displaystyle\frac{1}{2}.\)
D. \(\displaystyle\frac{2}{3}.\)
Giải
Do ABCD là hình thoi nên AC là phân giác của góc A.
Trong ∆ABM có AE là phân giác của \(\widehat{BAM}\) nên \(\displaystyle\frac{EM}{EB}=\displaystyle\frac{AM}{AB}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)
Mà M là trung điểm của AD nên \(AM=\displaystyle\frac{1}{2}AD=\displaystyle\frac{1}{2}AB\) (do ABCD là hình thoi nên AB = AD)
Suy ra \(\displaystyle\frac{EM}{EB}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}AB}{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Chọn đáp án C.
\(\)
B. BÀI TẬP
4.15. Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên IA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt IB tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt IC tại F. Chứng minh rằng: DF // AC.
Giải
Trong ∆AID có DE // AB nên theo định lí Thalès, ta có: \(\displaystyle\frac{ID}{IA}=\displaystyle\frac{IE}{IB}.\)
Trong ∆IBC có EF // BC nên theo định lí Thalès, ta có: \(\displaystyle\frac{IE}{IB}=\displaystyle\frac{IF}{IC}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{ID}{IA}=\displaystyle\frac{IF}{IC}.\)
Trong ∆AIC có \(\displaystyle\frac{ID}{IA}=\displaystyle\frac{IF}{IC}\) nên DF // AC (định lí Thalès đảo).
\(\)
4.16. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh MI = IK = KN.
Giải
Trong ∆ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB nên ED là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra \(ED=\displaystyle\frac{1}{2}BC\) và ED // BC.
Ta có: E là trung điểm của AB nên \(AE=EB=\displaystyle\frac{1}{2}AB.\)
Mà M là trung điểm của EB nên \(EM=MB=\displaystyle\frac{1}{2}EB=\displaystyle\frac{1}{4}AB\) hay \(\displaystyle\frac{MB}{AB}=\displaystyle\frac{1}{4}.\)
Tương tự, ta cũng có \(NC=\displaystyle\frac{1}{4}AC\) hay \(\displaystyle\frac{NC}{AC}=\displaystyle\frac{1}{4}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{MB}{AB}=\displaystyle\frac{NC}{AC}\ \left(=\displaystyle\frac{1}{4}\right).\)
Xét ∆ABC có \(\displaystyle\frac{MB}{AB}=\displaystyle\frac{NC}{AC}\) nên MN // BC (định lí Thalès đảo).
Lại có ED // BC nên ED // MN // BC.
Xét ∆BDE có M là trung điểm của EB và MI // ED (do ED // MN)
Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID
Khi đó MI là đường trung bình của DBDE nên \(MI=\displaystyle\frac{1}{2}ED.\)
Tương tự, trong ∆CDE ta cũng có \(KN=\displaystyle\frac{1}{2}ED,\) trong ∆BCE có \(MK=\displaystyle\frac{1}{2}BC.\)
Ta có \(IK=MK-MI=\displaystyle\frac{1}{2}BC-\displaystyle\frac{1}{2}ED\) \(=ED-\displaystyle\frac{1}{2}ED=\displaystyle\frac{1}{2}ED.\)
Do đó \(MI=IK=KN=\displaystyle\frac{1}{2}ED.\)
\(\)
4.17. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh DE // BC.
Giải
Trong ∆ABC có BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\displaystyle\frac{DA}{DC}=\displaystyle\frac{BA}{BC}\) (tính chất đường trung bình trong tam giác). (1)
Trong ∆ABC có CE là phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\displaystyle\frac{EA}{EB}=\displaystyle\frac{CA}{CB}\) (tính chất đường trung bình trong tam giác). (2)
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra: \(\displaystyle\frac{DA}{DC}=\displaystyle\frac{EA}{EB}.\)
Xét ∆ABC có \(\displaystyle\frac{DA}{DC}=\displaystyle\frac{EA}{EB},\) suy ra ED // BC (định lí Thalès đảo).
\(\)
4.18. Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.
a) Chứng minh rằng: AI = CK.
b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: \(\displaystyle\frac{AB}{AE}+\displaystyle\frac{AD}{AF}=\displaystyle\frac{AC}{AN}.\)
Giải
a) Ta có DI // EF và BK // EF nên EF // DI // BKDo DI // BK nên \(\widehat{CID}=\widehat{AKB}\) (so le trong)
Mà \(\widehat{AID}+\widehat{CID}=180^o;\) \(\widehat{CKB}+\widehat{AKB}=180^o.\)
Suy ra \(\widehat{AID}=\widehat{CKB}\) (1)
Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.
Suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\) (so le trong) hay \(\widehat{DAI}=\widehat{BCK}\) (2)
Tam giác ADI có \(\widehat{AID}+\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=180^o\) (3)
Tam giác CBK có \(\widehat{CKB}+\widehat{BCK}+\widehat{CBK}=180^o\) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{ADI}=\widehat{CBK}.\)
Hai tam giác ADI và CBK có:
\(\widehat{ADI}=\widehat{CBK}\) (cmt); AD = BC (cmt); \(\widehat{DAI}=\widehat{BCK}\) (cmt)
Do đó \(\Delta ADI = \Delta CBK\) (g.c.g).
Suy ra AI = CK (hai cạnh tương ứng).
b) Trong \(\Delta ABK\) có NE // BK nên \(\displaystyle\frac{AB}{AE}=\displaystyle\frac{AK}{AN}\) (định lí Thalès).
Trong \(\Delta ADI\) có FN // DI nên \(\displaystyle\frac{AD}{AF}=\displaystyle\frac{AI}{AN}\) (định lí Thalès),
Mà AI = CK (câu a) nên \(\displaystyle\frac{AD}{AF}=\displaystyle\frac{CK}{AN}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{AE}+\displaystyle\frac{AD}{AF}=\displaystyle\frac{AK}{AN}+\displaystyle\frac{CK}{AN}\) \(=\displaystyle\frac{AK+CK}{AN}=\displaystyle\frac{AC}{AN}.\)
\(\)
4.19. Cho góc xOy nhọn. Trên cạnh Ox lấy điểm N, trên cạnh Oy lấy điểm M. Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng MN. Qua I kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại A (A khác M và N) và đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở B. Chứng minh rằng: \(\displaystyle\frac{MA}{MO}+\displaystyle\frac{NB}{NO}=1.\)
Giải
Xét ∆OMN có AI // ON nên \(\displaystyle\frac{MA}{MO}=\displaystyle\frac{MI}{MN}\) (định lí Thalès);
Và IB // MO nên \(\displaystyle\frac{NB}{NO}=\displaystyle\frac{NI}{NM}\) (định lí Thalès).
Suy ra \(\displaystyle\frac{MA}{MO}+\displaystyle\frac{NB}{NO}=\displaystyle\frac{MI}{MN}+\displaystyle\frac{NI}{NM}\) \(=\displaystyle\frac{MI+NI}{MN}=\displaystyle\frac{MN}{MN}=1.\)
\(\)
4.20. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác góc A cắt BD tại M, đường phân giác D cắt AC tại N. Chứng minh MN // AD.
Giải
Trong ∆ABD có AM là phân giác của góc \(\widehat{BAD}\) nên \(\displaystyle\frac{AB}{AD}=\displaystyle\frac{MB}{MD}.\)
Tương tự: \(\displaystyle\frac{DC}{DA}=\displaystyle\frac{NC}{NA}\) mà AB = DC (do ABCD là hình bình hành) suy ra \(\displaystyle\frac{MB}{MD}=\displaystyle\frac{NC}{NA}.\)
Từ đó, ta có: \(\displaystyle\frac{MB}{MD}+1=\displaystyle\frac{NC}{NA}+1\) hay \(\displaystyle\frac{MB+MD}{MD}=\displaystyle\frac{NC+NA}{NA}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{BD}{MB}=\displaystyle\frac{AC}{NA}\) (1)
Mà ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, suy ra BD = 2DO, AC = 2AO (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{2DO}{DM}=\displaystyle\frac{2AO}{AN}\) hay \(\displaystyle\frac{Do}{DM}=\displaystyle\frac{AO}{AN}.\)
Xét ∆OAD có \(\displaystyle\frac{DO}{DM}=\displaystyle\frac{AO}{AN}\) nên MN // AD (định lí Thalès đảo).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 18. Thu thập và phân loại dữ liệu
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
