Bài tập cuối chương 3

Bài tập cuối chương 3 trang 88 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

1. Bạn Nam dùng 6 đoạn tre vót thẳng để làm khung diều hình thoi. Trong đó 2 đoạn tre dài 60 cm và 80 cm để làm đường chéo của cái diều, 4 đoạn tre còn lại là 4 cạnh của cái diều. Khi đó tổng độ dài 4 đoạn tre dùng làm cạnh của cái diều hình thoi là

A. 5 m.

B. 1 m.

C. 1,5 m.

D. 2 m.

Giải

Chọn đáp án D.

Độ dài 1 đoạn tre còn lại là: \(\sqrt{\left(\displaystyle\frac{60}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{80}{2}\right)^2} = 50\ (cm).\)

Tổng độ dài 4 đoạn tre còn lại: \(50 . 4 = 200\ (cm) = 2\ m.\)

\(\)

2. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có \(\widehat{A} = 65^o.\) Số đo góc C là:

A. \(115^o.\)

B. \(95^o.\)

C. \(65^o.\)

D. \(125^o.\)

Giải

Chọn đáp án A.

\(\widehat{B} +\widehat{C} = 180^o\) (AB//CD, hai góc trong cùng phía)

\(\widehat{C} = 180^o – \widehat{B} = 180^o – 65^o = 115^o.\)

\(\)

3. Trong khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

B. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

D. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

Giải

Chọn đáp án C.

\(\)

4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. BIết AB = 8 cm, AC = 15 cm. Độ dài đoạn AM là:

A. 8,5 cm.

B. 8 cm.

C. 7 cm.

D. 7,5 cm.

Giải

Chọn đáp án A.

Ta có: \(BC^2 = AB^2+AC^2 = 8^2+15^2 = 289\) suy ra \(BC = 17\ cm.\)

\(AM = \displaystyle\frac{1}{2}BC = 8,5\ cm.\)

\(\)

5. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 13 cm, độ dài đường chéo AC = 10 cm. Độ dài đường chéo BD là

A. 24 cm.

B. 12 cm.

C. 16 cm.

D. 20 cm.

Giải

Chọn đáp án A.

Ta có \(AB^2 = OA^2+OB^2\)

\(⇒ OB = \sqrt{13^2-\left(\displaystyle\frac{10}{2}\right)^2} = 12\ cm\)

\(BD = 2OB = 2.12 = 24\ cm.\)

\(\)

6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

C. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

D. Hình chữ nhật có một góc vuông là hình vuông.

Giải

Chọn đáp án C.

\(\)

7. Cho tứ giác ABCD, biết \(A = 60^o,\ B = 110^o,\ D = 70^o.\) Khi đó số đo góc C là

A. \(120^o.\)

B. \(110^o.\)

C. \(130^o.\)

D. \(80^o.\)

Giải

\(\widehat{C} = 360^o-(110^o+70^o+60^o) = 120^o.\)

\(\)

8. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:

a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB;

b) EMFN là hình bình hành.

Giải

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AB//CD.

Xét \(∆CFB\) và \(∆AED\) có:

\(\widehat{ACB} = \widehat{CAD}\) (AB//CD, so le trong);

CF = AE (giả thiết);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó \( ∆CFB = ∆AED\) (c.g.c).

\(⇒ \widehat{CFB} = \widehat{AED}\)

Mà \(\widehat{CFB} = \widehat{AFM}\) (hai góc đối đỉnh)

\(⇒ \widehat{AFM} = \widehat{AED}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

Nên DE//FM hay EN//BF.

Xét ∆EDC có EF = FC, (F ∈ EC); DE//FM (M ∈ CD)

⇒ M là trung điểm DC.

Xét ∆AFB có EA = EF, (E ∈ AF); EN//FB (N ∈ AB)

⇒ N là trung điểm AB.

b) Ta có N là trung điểm AB; M là trung điểm CD.

AB = CD (ABCD là hình bình hành)

⇒ AN = CM.

Xét \(∆ANE\) và \(∆CMF\) có:

\(\widehat{BAC} = \widehat{ACD}\) (AB//CD, so le trong);

AN = CM (chứng minh trên);

AE = CF (giả thiết).

Do đó \(∆ANE = ∆CMF\) (c.g.c).

⇒ NE = MF (hai cạnh tương ứng).

Tứ giác EMFN có NE//FM, NE = MF.

⇒ EMFN là hình bình hành.

\(\)

9. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang.

b) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

c) Tia CD cắt AH ở M và cắt BE ở N. Chứng minh tứ giác AMBN là hình bình hành.

Giải

a) Ta có D, H lần lượt là trung điểm của AB và BC.

⇒ DH là đường trung bình của \(∆ABC.\)

Do đó DH//AC.

Vậy tứ giác ADHC là hình thang.

b) Tứ giác AHBE có:

AB, EH là hai đường chéo cắt tại D;

D là trung điểm AB;

D là trung điểm EH (E đối xứng với H qua D).

⇒ AHBE là hình bình hành (1).

\(ΔABC\) cân tại A có AH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC)

⇒ AH là đường cao của tam giác ABC nên \(AH⊥BC.\)

⇒ \(\widehat{AHB} = 90^o.\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

c) Xét \(∆NED\) và \(∆MHD\) có:

ED = HD (chứng minh trên);

\(\widehat{NED} = \widehat{DHM}\) (EB//AH, hai góc so le trong);

\(\widehat{EDN} = \widehat{HDM}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó \(ΔNED = ΔMHD\) (g.c.g).

⇒ ND = MD ⇒ D là trung điểm của NM (D ∈ NM)

Mặt khác D là trung điểm của AB và NM,

AB, NM cắt nhau tại D.

Do đó tứ giác AMBN là hình bình hành.

\(\)

10. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác ANEB là hình thang vuông.

b) Chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

c) Qua M kẻ đường thẳng song song với NB cắt tia EN tại F. Chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình thoi.

d) Gọi D là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng A là trung điểm của DF.

Giải

a) N, E lần lượt là trung điểm của AC và BC (giả thiết);

⇒ NE là đường trung bình của \(ΔABC.\)

⇒ NE//AB ⇒ Tứ giác ANEB là hình thang.

Mà \(\widehat{NAB} = 90^o\) (\(ΔABC\) vuông tại A).

Do đó tứ giác ANEB là hình thang vuông.

b) M, E lần lượt là trung điểm của AB và BC (giả thiết);

⇒ ME là đường trung bình của \(ΔABC.\)

⇒ ME//AC hay ME//AN (N ∈ AC).

Mà AM//NE (AB//NE,M ∈ AB) nên tứ giác AMEN là hình bình hành.

Hình bình hành AMEN có \(\widehat{MAN} = 90^o\) nên là hình chữ nhật.

c) Tứ giác BMFN có: MF//BN (giả thiết) và BM//FN (AB//NE, M ∈ AB, F ∈ EN)

Do đó tứ giác BMFN là hình bình hành ⇒ BM = FN

Mặt khác NE = AM (ANEM là hình chữ nhật) và AM = BM. Do đó FN = NE

Tứ giác AFCE có N là trung điểm của AC, EF ⇒ Tứ giác AFCE là hình bình hành.

Mà AC⊥EF, do đó tứ giác AFCE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

d) Tứ giác ADBE có DE và AB cắt nhau tại M (giả thiết).

M là trung điểm của AB (giả thiết).

M là trung điểm của DE (D đối xứng với E qua M).

Do đó tứ giác ADBE là hình bình hành ⇒ AD//BE.

Mà AF//EC (AECF là hình thoi) do đó AD, AF cùng thuộc 1 đường thẳng (tiên đề Euclid)

⇒ A, D, F thẳng hàng (1)

Mặt khác AD = BE (ADBE là hình bình hành);

AF = EC (AECF là hinh thoi);

BE = EC (E là trung điểm của BC).

⇒ AD = AF (2).

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của DF.

\(\)

11. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE.

a) Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.

Giải

a) Ta có AE = EB = \(\displaystyle\frac{AB}{2}\) (E là trung điểm của AB),

DF = FC = \(\displaystyle\frac{CD}{2}\) (F là trung điểm của CD),

AB = CD (ABCD là hình bình hành).

⇒ AE = CF = EB = DF.

Tứ giác AECF có AE//CF (AB//CD, E ∈ AB, F ∈ CD) và AE = CF.

⇒ AECF là hình bình hành.

b) Ta có : AB = 2AD (giả thiết) và AB = 2AE (E là trung điểm của AB) nên AD = AE.

Tứ giác AEFD có AE//DF và AE = DF(chứng minh câu a).

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành.

Mà AE = AD (chứng minh trên) nên AEFD là hình thoi.

c) Ta có AF⊥DE tại I (AEFD là hình bình hành).

Và AF//EC (AECF là hình bình hành) ⇒ EC⊥DE ⇒ \(\widehat{IEK} = 90^o.\)

Ta có EF = AE (AEFD là hình thoi);

AE = \(\displaystyle\frac{1}{2}AB\) (E là trung điểm của AB) ⇒ EF = \(\displaystyle\frac{1}{2}AB\)

\(ΔAFB\) có FE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AB) và EF = \(\displaystyle\frac{1}{2}AB\)

⇒ \(ΔAFB\) vuông tại F ⇒ \(\widehat{IFK} = 90^o\)

Tứ giác EIFK có :

\(\widehat{IEK} = 90^o;\) \(\widehat{IFK} = 90^o;\) \(\widehat{EIF} = 90^o\) (IE⊥IF tại I).

Do đó tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Ta có tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

I là trung điểm của ED (AEFD là hình bình hành)

Tương tự K là trung điểm của EC.

Do đó IK là đường trung bình của \(ΔECD\)

Suy ra IK⊥CD

Mặt khác AD//EF (AEFD là hình bình hành)

Do đó tứ giác EIFK là hình vuông.

⇔ Hình chữ nhật EIFK có IK⊥EF ⇔ IK ⊥ AD ⇔ AD ⊥ CD.

⇔ Hình bình hành ABCD có \(\widehat{ADC} = 90^o\)

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD là \(\widehat{ADC} = 90^o\) để tứ giác EIFK là hình vuông.

\(\)

12. Cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Chứng minh tam giác EMC cân tại M.

c) Chứng minh rằng \(\widehat{BAD} = 2\widehat{AEM}.\)

Giải