Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Chương 8 – Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác trang 81 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Chân Trời Sáng Tạo.

\(1.\) Trong Hình \(8\), I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

a) Cho biết IM = \(6\) (Hình \(8\)a). Tính IK và IN.

b) Cho biết \(IN = x + 3,\ IM = 2x-3\) (Hình \(8\)b). Tìm x.

Giải

a) I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow\) IM = IN =IK mà IM = \(6\)

\(\Rightarrow\) IN = IK = \(6\).

b) I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

\(\Rightarrow\) IM = IN

\(\Rightarrow\) \(2x-3 = x + 3\)

\(\Rightarrow\) \(x = 6.\)

\(\)

\(2.\) Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.

Giải

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A);

BM = CM (M là trung điểm BC);

AM là cạnh chung.

Vậy \(\Delta ABM=\Delta ACM\) (c.c.c).

\(\Rightarrow \widehat{BAM} =\widehat{CAM}\).

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC có BI và AM là hai đường phân giác cắt nhau tại I.

Suy ra I là giao của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Vậy CI là tia phân giác của góc C.

\(\)

\(3.\) Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC.

Giải

Ta có BM và CM lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) trong \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) AM là phân giác của \(\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\)

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta CAH\) có:

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A);

\(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\);

AH là cạnh chung.

\(\Rightarrow\) \(\Delta BAH=\Delta CAH\) (c.g.c).

Suy ra HB = HC.

Vậy H là trung điểm của BC.

\(\)

\(4.\) Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Giải

Ta có \(MN // EF \Rightarrow \widehat{MIE} = \widehat{IEF}\) (2 góc so le trong).

\(\widehat{MEI} = \widehat{IEF}\) (EI là đường phân giác của \widehat{DEF}).

\(\Rightarrow \widehat{MEI} = \widehat{MIE}\).

\(\Rightarrow \Delta MEI\) cân tại M.

Suy ra ME = MI.

IF là đường phân giác của \(\widehat{DFE} \Rightarrow \widehat{NFI} = \widehat{IFE}\).

\(MN // EF \Rightarrow \widehat{NIF} = \widehat{IFE}\) (hai góc so le trong).

\(\Rightarrow \widehat{NFI} = \widehat{NIF}\).

\(\Rightarrow \Delta NIF\) cân tại N.

Suy ra NI = NF.

Vậy ME + NF = MI + NI = MN.

\(\)

\(5.\) Cho tam giác ANM vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Giải

Xét \(\Delta AMN\) có MI và NI lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{M}\) và \(\widehat{N}\) của tam giác AMN.

Suy ra AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\).

Suy ra \(\widehat{MAT} = \widehat{TAN} = \displaystyle\frac{1}{2}\widehat{NAM} = \displaystyle\frac{1}{2}.90^o= 45^o\).

Xét \(\Delta TAR\) vuông tại T có \(\widehat{A} =45^o\).

Nên \(\Delta TAR\) vuông cân tại T.

Suy ra AT = RT.

\(\)

\(6.\) Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi ba xa lộ (Hình \(9\)). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho điịa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thảo mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.