Bài \(9\). Tích của một vectơ với một số trang \(55\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(4.11\). Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Hãy biểu thị \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\).
Trả lời:
Từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(AD\) tại \(N\)
Khi đó, tứ giác \(ABMN\) là hình bình hành.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AN}\)
Lại có: \(AN = BM = \displaystyle \frac{1}{2} BC = \displaystyle \frac{1}{2} AD\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AN} = \displaystyle \frac{1}{2}AD\)
Suy ra: \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{2}. \overrightarrow{AD}\)
Vậy \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\)
\(\)
Bài \(4.12\). Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(AB, CD\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\).
Trả lời:
Ta có:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\) \((1)\)
Lại có:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:
\(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{MA}\)
\( + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DB})\)
\( + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\)
Mặt khác \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{BD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\)
Vậy \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\)
\(\)
Bài \(4.13\). Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).
\(a)\) Hãy xác định điểm \(K\) sao cho \(\overrightarrow{KA} + 2 \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\).
\(b)\) Chứng minh rằng với mọi điểm \(O\), ta có \(\overrightarrow{OK} = \displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA}) + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\)
\(3 \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\)
\(3 \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{KB} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}\)
Vậy điểm \(K\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(KB = \displaystyle \frac{1}{3}AB\)
\(b)\) Với điểm \(O\) bất kì, ta có:
\(\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \displaystyle \frac{1}{3} \left(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}\right) + \displaystyle \frac{2}{3} \left(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB}\right)\)
\(= \left(\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{OK} + \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OK}\right) + \left(\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{KA} + \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\right)\)
\(= \overrightarrow{OK} + \displaystyle \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB}\right)\)
\(= \overrightarrow{OK} + \displaystyle \frac{1}{3}. \overrightarrow{0}\)
\(= \overrightarrow{OK}\)
Vậy với mọi điểm \(O\), ta có: \(\overrightarrow{OK} = \displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\) (đpcm)
\(\)
Bài \(4.14\). Cho tam giác \(ABC\).
\(a)\) Hãy xác định điểm \(M\) để \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\).
\(b)\) Chứng minh rằng với mọi điểm \(O\), ta có \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}\).
Trả lời:
\(a)\)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Ta có:
\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
Xét \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MG} + ( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + 2( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}) = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MG} = \displaystyle \frac{1}{4}CG\)
Suy ra điểm \(M\) nằm giữa \(C\) và \(G\) sao cho \(MG = \displaystyle \frac{1}{4} CG\).
\(b)\) Ta có:
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}\)
\(+ 2( \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC})\)
\(= 4\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC})\)
\(= 4\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{0}\)
\(= 4\overrightarrow{OM}\)
Vậy \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}\) (đpcm).
\(\)
Bài \(4.15\). Chất điểm \(A\) chịu tác động của ba lực\(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}\) như Hình \(4.30\) và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}\)). Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}\) biết \(\overrightarrow{F_1}\) có độ lớn là \(20 N\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \ – \ \overrightarrow{F_3}\)
Lại có \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}\) (do \(OADB\) là hình bình hành)
Suy ra \(\overrightarrow{OD} = \ – \ \overrightarrow{F_3}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD} \text{ và } \overrightarrow{F_3}\) là hai vectơ đối nhau.
\(\Rightarrow \widehat{BOD} = 180^o \ – \ 120^o = 60^o\) và \(|\overrightarrow{OD}| = |\ – \ \overrightarrow{F_3}|\)
Xét tam giác \(OBD\) ta có:
\(OB = \displaystyle \frac{BD}{\tan60^o} = \displaystyle \frac{20}{\sqrt{3}}\) (vì \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{F_1}\))
\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_2}| = \displaystyle \frac{20}{\sqrt{3}}\) (N)
\(OD = \displaystyle \frac{BD}{\sin60^o} = \displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{3}\) (N)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_3}| = \displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{3}\) (N)
Vậy độ lớn các lực \(\overrightarrow{F_2} = \displaystyle \frac{20}{\sqrt{3}} N, \overrightarrow{F_3} = \displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{3} N\).
Bài 9. Tích của một vectơ Bài 9. Tích| của một \displaysvectơ Bài 9. Tích của một vectơ
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-8-tong-va-hieu-cua-hai-vecto/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-10-vecto-trong-mat-phang-toa-do/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-bai-tap-sgk-toan-lop-10-nxb-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song/
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.