Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Chương 7 – Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng trang 87 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

60. Xác định điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho M cách đều A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) Tam giác nhọn ABC;

b) Tam giác ABC có góc B là góc tù;

c) Tam giác ABC vuông tại B.

Giải

Vì M cách đều A và B nên M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Như vậy M nằm trên đường thẳng BC và M nằm trên đường trung trực d của AB.

a) Tam giác ABC nhọn thì điểm M thuộc tia BC (hình vẽ):

b) Tam giác ABC có góc B là góc tù thì M thuộc tia đối của tia BC (hình vẽ):

c) Tam giác ABC vuông tại B thì d // BC nên không tìm được M (hình vẽ):

\(\)

61. Một con đường liên xã cách không xa hai địa điểm dân cư và hai địa điểm này nằm ở cùng một phía của con đường. Hãy xác định một địa điểm trên con đường đó để xây dựng nhà văn hóa xã sao cho nhà văn hóa đó cách đều hai địa điểm dân cư.

Giải

Đưa về bài toán: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với d. Tìm một điểm C trên d sao cho C cách đều A và B.

– Khi AB không vuông góc với d, vẽ trung trực a của đoạn thẳng AB. Giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d chính là điểm C cần tìm. Thật vậy, hiển nhiên C nằm trên d; C nằm trên đường trung trực a của đoạn thẳng AB nên theo tính chất đường trung trực ta có C cách đều A và B (CA = CB).

– Khi AB ⊥ d thì a // d, do đó không có một điểm nào nằm trên d lại cách đều A và B.

Vậy địa điểm để xây dựng nhà văn hóa là điểm nằm trên con đường và trung trực của đoạn đường giữa hai điểm dân cư.

\(\)

62. Quan sát Hình 44, biết ∆MAB = ∆NAB. Chứng minh đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Giải

Vì ∆MAB = ∆NAB suy ra AM = AN, BM = BN (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó A và B cùng cách đều hai điểm M, N.

Suy ra đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

\(\)

63. Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại M. Chứng minh AM + BM = AC.

Giải

Vì M thuộc đường trung trực của BC (giả thiết) nên BM = CM.

Ta có: AM + BM = AM + CM = AC.

Vậy AM + BM = AC.

\(\)

64. Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{C} =30^o.\) Đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh:

a) BM là tia phân giác của góc ABC;

b) MA < MC.

Giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{C}=90^o-30^o=60^o.\)

Vì điểm M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC, do đó tam giác MBC cân ở M.

Suy ra \(\widehat{B_1} =\widehat{C} =30^o.\)

Mặt khác \(\widehat{B_1} +\widehat{B_2} =\widehat{ABC}=60^o\) (hai góc kề nhau)

Nên \(\widehat{B_2}=\widehat{ABC}-\widehat{B_1}=60^o-30^o=30^o.\)

Suy ra \(\widehat{B_2} =\widehat{B_1}.\)

Vậy BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Trong tam giác vuông ABM có MA < MB (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Mà MB = MC (chứng minh câu a).

Vậy MA < MC.

\(\)

65. Quan sát Hình 45, biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Giải

Vì DB = DC (giả thiết) nên điểm D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Mà AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC (giả thiết).

Do đó ba điểm A, M, D cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy ba điểm A, M, D thẳng hàng.

\(\)

66. Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:

a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;

b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Giải

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Theo giả thiết MB = MC nên M thuộc đường trung trực của BC.

Do đó AM là trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Xét hai tam giác vuông EBM và FCM có:

BM = CM (M là trung điểm của BC),

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (vì ΔABC cân tại A).

Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1)

Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC.

Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF.

Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.

\(\)

67. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt cạnh AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC.

Giải

Đường trung trực của AC cắt AB tại D nên DA = DC.

Do đó ∆ADC cân tại D suy ra \(\widehat{A} =\widehat{C_1}\)

Vì CD là tia phân giác của góc C nên \(\widehat{C_1} =\widehat{C_2} =\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}\)

Suy ra \(\widehat{A} =\widehat{C_1} =\widehat{C_2} =\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}.\)

Hay \(\widehat{ACB}=2\widehat{A}.\)

Vì tam giác cân ABC nên \(\widehat{B}=\widehat{ACB}\) (hai góc ở đáy).

Do đó \(\widehat{B}=\widehat{ACB}=2\widehat{A}.\)

Mà \(\widehat{A} +\widehat{B}+\widehat{ACB}=180^o\) (tổng ba góc của tam giác ABC).

Suy ra \(\widehat{A} +2\widehat{A}+2\widehat{A}=180^o\) hay \(5\widehat{A}=180^o\)

Nên \(\widehat{A} =36^o\)

Khi đó \(\widehat{B}=\widehat{ACB}=2.36^o=72^o\)

\(\)

68. Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;

b) Tam giác DMC là tam giác cân.

Giải

a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}.\)

Xét hai tam giác vuông OAM và OBM có:

OM là cạnh chung,

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) (do \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}\))

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).

Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy OM là đường trung trực của AB.

b) Xét hai tam giác vuông ADM và BCM có:

AM = BM (chứng minh câu a),

\(\widehat{AMD}=\widehat{BMC}\) (đối đỉnh)

Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác CDM cân tại M.

\(\)

69. Cho góc xOy nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường trung trực của đoạn thẳng OA và đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) OI là tia phân giác của góc xOy;

b) OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Giải