Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài \(8\). Tổng và hiệu của hai vectơ trang \(51\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(4.6\). Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \ – \ \overrightarrow{BD}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})\)

\(= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(b)\) Ta có:

\(\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{BC} \ – \ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AC} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \ – \ \overrightarrow{BD}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(4.7\). Cho hình bình hành \(ABCD\). Hãy tìm điểm \(M\) để \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{CM}\).

Trả lời:

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Cần tìm điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)

\(\Leftrightarrow ABMC\) là hình bình hành

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}\)

Mà \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) (\(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{DC}\)

Hay \(\overrightarrow{CM} = \ – \ \overrightarrow{CD}\)

Vậy \(\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{CM}\) là hai vectơ đối nhau.

\(\)

Bài \(4.8\). Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

Trả lời:

Theo quy tắc hiệu hai vectơ ta có:

\(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)

Suy ra \(|\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = a\)

Vẽ hình bình hành \(ABDC\). Khi đó \(ABCD\) là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau và bằng \(a\))

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\)

Gọi \(M\) là giao điểm hai đường chéo của hình thoi \(ABDC\)

Theo tính chất hai đường chéo của hình thoi thì \(M\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) và \(AD \perp BC\)

Xét tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) ta có:

\(AB^2 = AM^2 + BM^2\)

\(\Rightarrow AM^2 = AB^2 \ – \ BM^2\)

\(= AB^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{BC}{2}\right)^2 = a^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{a}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{3a^2}{4}\)

\(\Rightarrow AM = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow AD = 2 AM = 2. \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = a \sqrt{3}\)

Vậy \(|\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}| = a, |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = a \sqrt{3}\).

\(\)

Bài \(4.9\). Hình \(4.19\) biểu diễn hai lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) cùng tác động lên một vật, cho \(|\overrightarrow{F_1}| = 3 N, |\overrightarrow{F_2}| = 2 N\). Tính độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\).

Trả lời:

Ta có hình vẽ biểu diễn các lực như sau:

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có góc \(\widehat{BAD} = 120^o\)

\(\Rightarrow \widehat{ADC} = 60^o\)

Lại có: \(|\overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{F_1}| = 3\)

\(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}| = |\overrightarrow{F_2}| = 2\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Suy ra |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{AC}|\)

Áp dụng định lí \(\text{ cô sin }\) trong tam giác \(ACD\) ta có:

\(AC^2 = AD^2 + DC^2 \ – \ 2. AD. DC. \cos{ADC}\)

\(= 3^2 + 2^2 \ – \ 2. 3. 2. \cos60^o\)

\(= 9 + 4 \ – \ 6 = 7\)

\(\Rightarrow AC = \sqrt{7}\)

Suy ra \(|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{7}\)

Vậy độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\) là \(\sqrt{7}\) N.

\(\)

Bài \(4.10\). Hai con tàu xuất phát cùng một lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Trả lời:

Giả sử tàu \(1\) ở vị trí \(A\) di chuyển về phía hạ lưu, tàu \(2\) ở vị trí \(A’\) di chuyển về phía thượng nguồn như trên hình.

Hai tàu \(1\), \(2\) di chuyển lần lượt về hai điểm \(E, E’\) ở bờ bên kia.

Vectơ vận tốc của dòng nước tác động lên hai tàu là như nhau và được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A’B’}\)

Gọi vectơ vận tốc riêng của tàu \(1\), tàu \(2\) lần lượt là \(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{A’D’}\)

Vectơ vận tốc thực của hai tàu lần lượt là \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A’C’}\), tạo với bờ cùng một góc nhọn \(\alpha\)

\(+)\) Xác định điểm \(C, D\) đối với tàu \(1\):

Từ \(B\) kẻ đường vuông góc với bờ, cắt \(AE\) tại điểm, kí hiệu điểm \(C\). Tiếp theo, dựng hình bình hành \(ABCD\) ta được điểm \(D\).

\(+)\) Xác định điểm \(C’, D’\) đối với tàu \(2\):

Trên \(A’E’\) lấy điểm \(C’\) sao cho \(B’C’ = AD\). Dựng hình bình hành \(A’B’C’D’\) ta được điểm \(D’\)

Các vectơ vận tốc riêng có độ lớn bằng nhau nên các vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{A’D’}\) có độ lớn bằng nhau.

Hai tàu luôn chuyển động theo hướng tạo với bờ cùng một góc nhọn nên quãng đường đi được của hai tàu đến khi sang bờ bên kia là như nhau. Hay \(AE = A’E’\)

Vậy tàu nào có độ lớn vận tốc thực lớn hơn thì tàu đó sang bờ bên kia trước.

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(A’B’C’\) ta có:

\(A’C’^2 = A’B’^2 + B’C’^2 \ – \ 2. A’B’. B’C’.\ cos{B’}\)

Mà \(0^o < \widehat{B’} < \alpha < 90^o\)

\(\Rightarrow \cos{B} >0\) \(\Rightarrow 2. A’B’. B’C’. \cos{B’} > 0\)

\(\Rightarrow A’C’^2 < A’B’^2 + B’C’^2\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên ta có:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

Mà \(AB = A’B’, BC = AD = B’C’\)

Suy ra \(A’C’^2 < AC^2\) hay \(A’C’ < AC\)

Vậy vận tốc thực của tàu \(1\) lớn hơn tàu \(2\) hay tàu \(1\) sang bờ bên kia trước tàu \(2\).

\(\)