Chương 8 – Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác trang 75 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.
37. Quan sát Hình 36 và chỉ ra một cặp tam giác đồng dạng:
Giải
Ta có \(\displaystyle\frac{AB}{BC} = \displaystyle\frac{5}{10} = \displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{ED}{DF} = \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{BC} = \displaystyle\frac{ED}{DF}.\)
Xét hai tam giác \(ABC\) và \(EDF\) có \(\displaystyle\frac{AB}{BC} = \displaystyle\frac{ED}{DF}\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {EDF} = 60^o.\)
Suy ra \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta EDF.\)
\(\)
38. Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 27 cm. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho CD = 12 cm. Tính độ dài AD.
Giải
Ta có \(\displaystyle\frac{AC}{DC} = \displaystyle\frac{12}{18} = \displaystyle\frac{3}{2};\) \(\displaystyle\frac{CB}{CA} = \displaystyle\frac{27}{18} = \displaystyle\frac{3}{2}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AC}{DC} = \displaystyle\frac{CB}{CA}.\) Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ACD}\) nên \(\Delta ACB\ ᔕ\ \Delta DCA.\)
Do đó \(\displaystyle\frac{AC}{DC} = \displaystyle\frac{AB}{AD}\) hay \(\displaystyle\frac{18}{12} = \displaystyle\frac{12}{AD}.\)
Vậy \(AD = \displaystyle\frac{12.12}{18} = 8\ cm.\)
\(\)
39. Trong Hình 37, cho O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Kẻ một đường thẳng tuỳ ý đi qua O và cắt cạnh AB tại M, CD tại N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC tại E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD tại F. Chứng minh:
a) \(\Delta OBE\ ᔕ\ \Delta OFC;\)
b) BE // CF.
Giải
a) Do \(MB\ //\ NF\) nên theo định lí Thalès ta có \(\displaystyle\frac{{OB}}{{OF}} = \displaystyle\frac{{OM}}{{ON}}\) (1).
Tương tự \(NC//ME\) suy ra \(\displaystyle\frac{{OE}}{{OC}} = \displaystyle\frac{{OM}}{{ON}}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có: \(\displaystyle\frac{{OB}}{{OF}} = \displaystyle\frac{{OE}}{{OC}}.\)
Mà \(\widehat {BOE} = \widehat {FOC}\) (hai góc đối đỉnh).
Suy ra \(\Delta OBE\ ᔕ\ \Delta OFC.\)
b) Theo câu a, ta có \(\Delta OBE\ ᔕ\ \Delta OFC\) nên \(\widehat {EBO} = \widehat {CFO}.\)
Mà hai góc \(\widehat {EBO}\) và \(\widehat {CFO}\) ở vị trí so le trong nên suy ra \(BE\ //\ CF.\)
\(\)
40. Hình 38 cho biết tam giác ABC vuông ở A, AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tam giác HAB vuông cân tại H, tam giác KAC vuông cân tại K. Các cặp tam giác sau có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
a) Tam giác HAB và tam giác KAC.
b) Tam giác HKC và tam giác BAC.
Giải
a) Tam giác \(HAB\) vuông cân tại \(H\) có \(HA = HB\) và \(HA^2 + HB^2 = AB^2\) (định lí Pythagore)
Do đó \(2HA^2 = AB^2 = 5^2 = 25\) nên \(HA = HB = \sqrt{\displaystyle\frac{25}{2}} = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}\) cm.
Tam giác \(KAC\) vuông cân tại \(K\) có \(KA = KC\) và \(KA^2 + KC^2 = AC^2\) (định lí Pythagore)
Do đó \(2KA^2 = AC^2 = 12^2 = 144\) nên \(KA = KC =\sqrt{\displaystyle\frac{144}{2}}= \displaystyle\frac{{12}}{\sqrt{2}}\) cm.
Do \(\widehat {AHB} = \widehat {AKC}\) và \(\displaystyle\frac{{HA}}{{KA}} = \displaystyle\frac{{HB}}{{KC}} = \displaystyle\frac{5}{{12}}\) nên \(\Delta HAB\ ᔕ\ \Delta KAC.\)
b) Tam giác \(HKC\) vuông tại \(K\) và có hai cạnh góc vuông là \(HK = \displaystyle\frac{{17}}{{\sqrt 2 }}\) cm, \(KC = \displaystyle\frac{{12}}{{\sqrt 2 }}\) cm.
Tam giác \(BAC\) vuông tại \(A\) và có hai cạnh góc vuông là \(AB = 5\) cm, \(AC = 12\) cm.
Từ đó, dễ thấy tam giác \(HKC\) không đồng dạng với tam giác \(BAC.\)
\(\)
41*. Hình thang ABCD ở Hình 39 có AB // CD, AB < CD, \(\widehat{ABD}=90^o.\) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G. Điểm E nằm trên đường vuông góc với AC tại C thỏa mãn CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD. Điểm F nằm trên đoạn thẳng DC và DF = GB. Chứng minh:
a) \(\Delta FDG\ ᔕ\ \Delta ECG;\)
b) \(\Delta GDC\ ᔕ\ \Delta GFE;\)
c) \(\widehat{GFE}=90^o.\)
Giải
a) Do \(AB\ //\ CD\) nên \(\displaystyle\frac{{BG}}{{AG}} = \displaystyle\frac{{GD}}{{GC}}\) (hệ quả của định lí Thalès).
Mặt khác \(AG = CE,\ BG = DF\) nên \(\displaystyle\frac{{DF}}{{CE}} = \displaystyle\frac{{GD}}{{GC}}.\)
Mà \(\widehat {GDF} = \widehat {GCE}\) nên \(\Delta FDG\ ᔕ\ \Delta ECG.\)
b) Vì \(\Delta FDG\ ᔕ\ \Delta ECG\) nên \(\widehat {DGF} = \widehat {CGE}\) và \(\displaystyle\frac{{DG}}{{GF}} = \displaystyle\frac{{GC}}{{GE}}.\)
Từ \(\widehat {DGF} = \widehat {CGE}\) ta có \(\widehat {DGF} + \widehat {FGC} = \widehat {CGE} + \widehat {FGC}\) hay \(\widehat {DGC} = \widehat {FGE}.\)
Từ đó, ta có \(\Delta GDC\ ᔕ\ \Delta GFE\) vì \(\displaystyle\frac{DG}{GF}=\displaystyle\frac{GC}{GE}\) và \(\widehat{DGC}=\widehat{FGE}.\)
c) Vì \(\Delta GDC\ ᔕ\ \Delta GFE\) nên \(\widehat {GFE} = \widehat {GDC} = 90^o.\)
\(\)
42*. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có \(AB = 3AC\) và điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AD = 2DB.\) Chứng minh: \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^o.\)
Giải
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD.\) Đặt \(AE = x,AC = x.\)
Có \(AE = ED = DB,\ AB = 3AC\) nên \(ED = x,EB = 2x\) và \(CE = x\sqrt 2 .\)
Xét hai tam giác \(EDC\) và \(ECB,\) ta có: \(\widehat {CED} = \widehat {CEB}\) và \(\displaystyle\frac{{ED}}{{EC}} = \displaystyle\frac{{EC}}{{EB}}.\)
Suy ra \(\Delta EDC\ ᔕ\ \Delta ECB.\) Do đó \(\widehat {ECD} = \widehat {CEB}.\)
Vì vậy \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = \widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \widehat {AEC}.\)
Mặt khác, do tam giác \(AEC\) là tam giác vuông cân nên \(\widehat {AEC} = 45^o.\)
Vậy \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^o.\)
\(\)
43*. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2\) cm, \(AC = 3\) cm, \(BC = 4\) cm. Chứng minh: \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} + 2\widehat {BCA}.\)
Giải
Trên đoạn thẳng \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = 1\) cm \( = > CD = BC – BD = 3\) cm.
Tam giác \(ADC\) có \(CD = CA = 3\) cm nên là tam giác cân tại \(C,\) do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {ADC}\) (1).
Xét hai tam giác \(ABD\) và \(CBA,\) ta có: \(\widehat {DBA} = \widehat {ABC},\) \(\displaystyle\frac{{BD}}{{BA}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{CB}} = \displaystyle\frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\Delta ABD\ ᔕ\ \Delta CBA.\) Do đó \(\widehat {BAD} = \widehat {BCA}\) (2).
Từ (1) và (2), ta có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} + \widehat {DAC} = \widehat {BCA} + \widehat {ADC}\)
\( = \widehat {BCA} + \widehat {BAD} + \widehat {ABD} = \widehat {ABC} + 2\widehat {BCA}.\)
Vậy \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} + 2\widehat {BCA}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
