Chương 8 – Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 60 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
\(1.\) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:
\(a)\ S_{AMB}=S_{AMC}; \hspace{2cm} b)\ S_{ABG}=2S_{BMG}; \hspace{2cm}\)\(c)\ S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GAC}.\)
Giải
a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Ta có: \(S_{AMB}=\displaystyle\frac{1}{2}.AH.BM\) và \(S_{AMC}=\displaystyle\frac{1}{2}.AH.CM.\)
Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên BM = CM.
Suy ra \(S_{AMB}=S_{AMC}.\)
b) Vẽ đường cao BK của tam giác BGM.
Ta có: \(S_{ABG}=\displaystyle\frac{1}{2}.BK.AG\) và \(S_{BMG}=\displaystyle\frac{1}{2}.BK.MG.\)
Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG.
Suy ra \(S_{ABG}=2S_{BMG}.\)
c) Ta có: \(S_{AMB} = S_{AMC}\) (chứng minh câu a) và \(S_{AMB} + S_{AMC} = S_{ABC}.\)
Nên \(S_{AMB}=S_{AMC}=\displaystyle\frac{1}{2}S_{ACB}.\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(AG = \displaystyle\frac{2}{3}AM.\)
Lại có: \(S_{GAB}=\displaystyle\frac{1}{2}.BK.AG\) và \(S_{AMB}=\displaystyle\frac{1}{2}.BK.AM.\)
Suy ra \(S_{GAB}=\displaystyle\frac{1}{2}.BK.\displaystyle\frac{2}{3}AM=\displaystyle\frac{2}{3}S_{ABM}=\displaystyle\frac{2}{3}.\displaystyle\frac{1}{2}S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)
Chứng minh tương tự ta có \(S_{GAC}=\displaystyle\frac{2}{3}S_{ACM}=\displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)
Ta có \(S_{GAB} + S_{GAC} + S_{GBC} = S_{ABC}.\)
Mà \(S_{ABG}=\displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC};\ S_{ACG}=\displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)
Suy ra \(S_{BCG}=\displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)
Do đó \(S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GAC}=\displaystyle\frac{1}{3}S_{ABC}.\)
Vậy \(S_{GAB} = S_{GBC} = S_{GAC}.\)
\(\)
\(2.\) Cho tam giác ABC có đường trúng tuyến AM đồng thời là đường phân giác góc A. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Giải
Vẽ đường cao MH của tam giác AMB và vẽ đường cao MK của tam giác AMC.
Xét \(\Delta AMH\) vuông tại H và \(\Delta AMK\) vuông tại K ta có:
AM là cạnh chung
\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\) (AM là phân giác góc A)
Do đó \(\Delta AMH=\Delta AMK\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra MH = MK.
Xét \(\Delta MBH\) vuông tại H và \(\Delta MCK\) vuông tại K ta có:
MH = MK (chứng minh trên)
MB = MC (AM là trung tuyến)
Do đó \(\Delta MBH=\Delta MCK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{B} =\widehat{C}\).
Vậy ABC là tam giác cân.
\(\)
\(3.\) Cho tam giác ABC có hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G.
a) Biết AM = 12 cm, tính AG.
b) Biết GN = 3 cm, tính CN.
c) Tìm x biết AG = 3x – 4, GM = x.
Giải
a) G là giao điểm hai đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
AM = 12 cm, suy ra \(AG=\displaystyle\frac{2}{3}AM = \displaystyle\frac{2}{3}.12 = 8\) cm
b) Do G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GN = \displaystyle\frac{1}{3}CN.\)
GN = 3 cm, suy ra CN = 3GN = 9 cm.
c) Ta có AG = 8 cm, suy ra AG = 3x – 4 = 8, vậy \(x = \displaystyle\frac{8+4}{3} = 4.\)
\(\)
\(4.\) Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh: GA + GB + GC = \(\displaystyle\frac{2}{3}\)(AM + BN + CP).
Giải
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC, do đó ta có:
\(GA=\displaystyle\frac{2}{3}AM;\ GB=\displaystyle\frac{2}{3}BN;\ GC=\displaystyle\frac{2}{3}CP.\)
Suy ra \(GA + GB + GC.\)
\(= \displaystyle\frac{2}{3}AM+\displaystyle\frac{2}{3}BN+\displaystyle\frac{2}{3}CP.\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}(AM + BN + CP).\)
\(\)
\(5.\) Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Cho biết HB = HM. Chứng minh:
a) \(\Delta ABH=\Delta AMH;\)
b) \(AG=\displaystyle\frac{2}{3}AB.\)
Giải
a) Ta có HB = HM và AH vuông góc với nên AH là trung trực của đoạn BM, suy ra AB = AM.
Xét hai tam giác ABH và AMH có:
AH là cạnh chung;
HB = HM (giả thiết);
AB = AM (chứng minh trên).
Suy ra \(\Delta ABH=\Delta AMH\) (c.c.c).
b) G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra \(AG=\displaystyle\frac{2}{3}AM.\)
Theo câu a) ta có AB = AM, suy ra \(AG=\displaystyle\frac{2}{3}AB.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
