Chương 2 – Bài 7: Tập hợp các số thực trang 31 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.
2.22. Kí hiệu \(\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{I},\ \mathbb{R}\) theo thứ tự là tập hợp của các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỉ, tập hợp các số vô tỉ và tập họp các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu x \(∈ \mathbb{N}\) thì x \(∈ \mathbb{Z}\);
B. Nếu x \(∈ \mathbb{R}\) và x \(\notin \mathbb{Q}\) thì x \(∈ \mathbb{I}\);
C. 1 \(∈ \mathbb{R}\);
D. Nếu x \(∉ \mathbb{I}\) thì x viết được thành số thập phân hữu hạn.
Giải
A. Đúng vì tất cả các số tự nhiên đều là số nguyên;
B. Đúng vì tập số thực gồm có số hữu tỉ và số vô tỉ nên nếu x không là số hữu tỉ thì x là số vô tỉ.
C. Đúng vì 1 là số thực.
D. Sai vì nếu x không là số vô tỉ thì x là số hữu tỉ mà số hữu tỉ gồm số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn nên khẳng định D sai.
\(\)
2.23. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Nếu x là số hữu tỉ thì x là số thực;
b) 2 không phải là số hữu tỉ;
c) Nếu x là số nguyên thì \(\sqrt{x}\) là số thực;
d) Nếu x là số tự nhiên thì \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ.
Giải
a) Khẳng định này đúng vì mọi số hữu tỉ đều là số thực.
b) Khẳng định này sai vì \(2=\displaystyle\frac{2}{1}\) nên \(2\) là số hữu tỉ.
c) Khẳng định này sai vì nếu x là số nguyên âm thì không tồn tại \(\sqrt{x}\).
d) Khẳng định này sai vì nếu \(x = 4\) thì \(\sqrt{x}=\sqrt{4}=2\) là số hữu tỉ.
\(\)
2.24. Tìm số đối của các số thực sau: \(-2,1;\ -0,(1);\ \ \displaystyle\frac{2}{\pi};\ \ 3-\sqrt{2}.\)
Giải
Số đối của số \(-2,1\) là \(2,1\).
Số đối của số \(-0,(1)\) là \(0,(1)\).
Số đối của \(\displaystyle\frac{2}{\pi}\) là \(-\displaystyle\frac{2}{\pi}\).
Số đối của \(3-\sqrt{2}\) là \(-3+\sqrt{2}\).
\(\)
2.25. So sánh a = 1,(41) và \(\sqrt{2}.\)
Giải
\(a = 1,(41) = 1,414141\ldots\)
\(\sqrt{2}=1,414213\ldots\)
\(1,414141… < 1,414213…\)
Vậy \(a <\sqrt{2}.\)
\(\)
2.26. Viết các số thực sau theo thứ tự từ bé đến lớn:
\(\sqrt{5};\ -1,7(5);\ \pi;\ -2;\ \displaystyle\frac{22}{7};\ 0.\)
Giải
Ta có: \(1,7(5)=1,75555\ldots < 2\) nên \(-2<1,7(5)<0.\)
Mặt khác ta có:
\(\sqrt{5}<\sqrt{9}=3<\pi=3,14159\ldots\)\(<3,(142857)=\displaystyle\frac{22}{7}.\)
Vậy các số thực đã cho sắp theo thứ tự từ bé đến lớn là: \(-2;\ -1,7(5);\ 0;\ \sqrt{5};\ \pi;\ \displaystyle\frac{22}{7}.\)
\(\)
2.27. Tìm các số thực x có giá trị tuyệt đối bằng 1,6(7). Điểm biểu diễn các số thực tìm được nằm trong hay nằm ngoài khoảng giữa hai điểm -2 và 2,(1) trên trục số?
Giải
\(|x| = 1,6(7)\) nên \(x_1 = 1,6(7)\) hoặc \(x_2 = -1,6(7)\)
\(-2 < -1,6(7) < 1,6(7) < 2,1\)
\(⇒ -2 < x_1 < x_2 < 2,(1)\)
Do đó trên trục số điểm biểu diễn các số thực tìm được nằm trong khoảng giữa hai điểm -2 và 2,(1).
\(\)
2.28. Xác định dấu và giá trị tuyệt đối của các số thực sau:
a) \(-1,3(51);\)
b) \(1-\sqrt{2};\)
c) \((3-\sqrt{2})(2-\sqrt{5}).\)
Giải
a) \(-1,3(51)\) có dấu âm và \(|-1,3(51)| = 1,3(51).\)
b) \(1<\sqrt{2}\) nên \(1-\sqrt{2}\) có dấu âm và \(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1.\)
c) \(3>\sqrt{2}\) nên \((3-\sqrt{2})>0\) và \(2<\sqrt{5}\) nên \((2-\sqrt{5})<0\).
Do đó \((3-\sqrt{2})(2-\sqrt{5})\) có dấu âm và \(|(3-\sqrt{2})(2-\sqrt{5})|=(3-\sqrt{2})(\sqrt{5}-2).\)
\(\)
2.29. Không sử dụng máy tính cầm tay, ước lượng giá trị thập phân của số \(\sqrt{3}\) với độ chính xác 0,05.
Giải
Muốn ước lượng giá trị thập phân của \(\sqrt{3}\) với độ chính xác \(0,05\) ta phải làm tròn số đó đến hàng phần mười.
Trong ví dụ 3 (trang 32) ta thấy \(1,7 < \sqrt{3} < 1,8.\) Cần xét xem gần với \(1,7\) hơn hay \(1,8\) hơn.
Muốn vậy ta xét số \(\displaystyle\frac{1,7+1,8}{2}=1,75,\) điểm biểu diễn số 1,75 cách đều 1,7 và 1,8.
Ta có \((1,75)^2 = 3,0625,\) do đó \(3 < (1,75)^2 < 1,75.\)
Vì vậy \(\sqrt{3}<\sqrt{(1,75)^2},\) suy ra \(\sqrt{3}<1,75\).
Từ đó, \(1,7<\sqrt{3}<1,75\). Vì vậy \(\sqrt{3}\) gần \(1,7\) hơn so với \(1,8.\)
Kết luận làm tròn giá trị thập phân của \(\sqrt{3}\) đến hàng phần mười (độ chính xác \(0,05\)) ta được \(\sqrt{3}\approx 1,7.\)
\(\)
2.30. Tính \(|6-\sqrt{35}|+5+\sqrt{35}.\)
Giải
Ta có \(6=\sqrt{36}>\sqrt{35}\) suy ra \(5-\sqrt{35}>0,\) do đó
\(|6-\sqrt{35}+5+\sqrt{35}=6-\sqrt{35}+5+\sqrt{35}\)
\(=(6+5)+(\sqrt{35}-\sqrt{35})\)
\(=11+0=11.\)
\(\)
2.31. Biết \(\sqrt{11}\) là số vô tỉ. Trong các phép tính sau, những phép tính nào có kết quả là số hữu tỉ?
a) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{11}};\) \(\hspace{2,8cm}\) b) \(\sqrt{11}.\sqrt{11};\)
c) \(1+\sqrt{11};\) \(\hspace{2cm}\) d) \((\sqrt{11})^4.\)
Giải
a) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{11}}\) phép tính này có kết quả là số vô tỉ;
b) \(\sqrt{11}.\sqrt{11}=\sqrt{11.11}=\sqrt{11^2}=11\) phép tính này có kết quả là số hữu tỉ;
c) \(1+\sqrt{11}\) phép tính này có kết quả là số vô tỉ;
d) \(\left(\sqrt{11}\right)^4=\left(\sqrt{11^2}\right)^2=11^2=121\) phép tính này có kết quả là số hữu tỉ.
\(\)
2.32. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sqrt{0,25}-\sqrt{0,49};\)
b) \(0,2.\sqrt{100}-\sqrt{0,25}.\)
Giải
a) \(\sqrt{0,25}-\sqrt{0,49}\)
\(=\sqrt{0,5^2}-\sqrt{0,7^2}\)
\(=0,5-0,7=0,2.\)
b) \(0,2.\sqrt{100}-\sqrt{0,25}.\)
\(=0,2\ .\ 10-0,5\)
\(=2-0,5=1,5.\)
\(\)
2.33. So sánh a = 0,(12) và b = 0,1(21).
Giải
Ta thấy \(100a = 12,(12) = 12 + a\) nên \(99a = 12,\) suy ra \(a = \displaystyle\frac{12}{99}.\)
Tương tự, \(b = 0,1 + 0,0(21) = \displaystyle\frac{1}{10}+\displaystyle\frac{1}{10}\ .\ 0,(21).\)
Đặt \(x = 0,(21)\) thì \(100x = 21,(21) = 21 + x\) suy ra \(x =\displaystyle\frac{21}{99}\)
và \(b=\displaystyle\frac{1}{10}+\displaystyle\frac{1}{10}\ .\ \displaystyle\frac{21}{99}=\displaystyle\frac{1}{10}.\left(1+\displaystyle\frac{21}{99}\right)\) \(=\displaystyle\frac{1}{10}.\displaystyle\frac{120}{99}=\displaystyle\frac{12}{99}.\)
Do đó \(a=b.\)
\(\)
2.34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 2+3\sqrt{x^2+1}.\)
Giải
Ta có: \(x^2 ≥ 0\) với mọi số thực \(x\) nên \(x^2 + 1 ≥ 1\) với mọi số thực \(x.\)
Suy ra \(\sqrt{x^2+1}≥\sqrt{1}\) do đó \(2+3\sqrt{x^2+1}≥2+3\sqrt{1}=5\)
Giá trị nhỏ nhất bằng \(5\) (đạt được khi x = 0).
\(\)
2.35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = |x-1| + |x-3|.\)
Giải
Xét các điểm biểu diễn số thực x trên trục số. Biểu thức đã cho đúng bằng tổng các khoảng cách từ x tới hai điểm 1 và 3. Nếu x nằm ngoài đoạn giữa 1 và 3 thì tổng hai khoảng cách trên lớn hơn khoảng cách giữa 1 và 3. Nếu x nằm trong đoạn giữa 1 và 3 thì tổng hai khoảng cách nói trên đúng bằng khoảng cách giữa 1 và 3. Vì vậy, biểu thức B đã cho có giá trị nhỏ nhất là 2 (đạt được khi 1≤x≤2).
\(\)
2.36. Hãy giải thích tại sao \(|x + y| ≤ |x| + |y|\) với mọi số thực \(x, y.\)
Giải
Xét hai trường hợp:
Nếu x + y ≥ 0 thì |x + y| = x + y ≤ |x| + |y| (vì x ≤ |x| với mọi số thực x).
Nếu x + y < 0 thì |x + y| = – x – y ≤ |-x| + |-y| = |x| + |y|.
Vậy với mọi x, y là số thực thì ta luôn có |x + y| ≤ |x| + |y|.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học
Xem bài giải tiếp theo: Ôn tập chương II
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 – NXB Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
