Bài 7: Tam giác cân

Chương 7 – Bài 7: Tam giác cân trang 83 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

43. Tìm các tam giác cân trên Hình 35. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đáy, góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân đó.

Giải

Tên tam giác cân	Cạnh bên	Cạnh đáy	Góc ở đáy	Góc ở đỉnh
\(∆ADE\)	\(AD,\ AE\)	\(DE\)	\(\widehat{ADE},\ \widehat{AED}\)	\(\widehat{DAE}\)
\(∆ABC\)	\(AB,\ AC\)	\(BC\)	\(\widehat{ABC},\ \widehat{ACB}\)	\(\widehat{BAC}\)
\(∆AHC\)	\(AC,\ AH\)	\(CH\)	\(\widehat{ACH},\ \widehat{AHC}\)	\(\widehat{HAC}\)

\(\)

44. Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại E và cắt tia DC tại F.

a) Chứng minh các tam giác ABE, CEF, DAF là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADF, biết \(\widehat{BAD}=60^o.\)

Giải

a) Vì AE là tia phân giác của \(\widehat{BAD}\) nên \(\widehat{BAE}=\widehat{EAD}.\)

Vì BC // AD nên \(\widehat{BEA}=\widehat{EAD}\) (so le trong)

Do đó \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}.\)

Suy ra tam giác ABE cân tại B.

Vì AB // CD nên \(\widehat{BAE}=\widehat{F}\) (so le trong).

Mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\) (chứng minh trên), \(\widehat{CEF}=\widehat{BEA}\) (đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat{CEF}=\widehat{F}.\)

Nên tam giác CEF cân tại C.

Ta có \(\widehat{BAF}=\widehat{DAF}\) và \(\widehat{BAF}=\widehat{DFA}\) nên \(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}.\)

Do đó tam giác DAF cân tại D.

Vậy ∆ABE cân tại B, ∆CEF cân tại C, ∆DAF cân tại D.

b) Do AB // CD nên \(\widehat{BAD}+\widehat{ADF}=180^o\) (hai góc trong cùng phía).

Suy ra \(\widehat{ADF}=180^o-\widehat{BAD}=180^o-60^o=120^o.\)

Xét ∆ADF có \(\widehat{ADF}+\widehat{DFA}+\widehat{DAF}=180^o\)

Mà \(\widehat{ADF}=120^o,\ \widehat{DAF}=\widehat{DFA}.\)

Nên \(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ADF}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-120^o}{2}=30^o.\)

\(\)

45. Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=56^o.\) Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABM.

Giải

Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\).

Xét tam giác ABC có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

Do đó \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180-\widehat{BAC}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-56^o}{2}=62^o.\)

Ta có \(\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180^o\) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat{ACM}=180^o-\widehat{ACB}=180^o-62^o=118^o.\)

Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.

Suy ra \(\widehat{CAM}=\widehat{CMA}.\)

Xét ∆AMC có: \(\widehat{AMC}+\widehat{ACM}+\widehat{MAC}=180^o\)

Do đó \(\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ACM}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-118^o}{2}=31^o.\)

Ta có \(\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}=56^o+31^o=87^o.\)

\(\)

46. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC.

Giải

Vì IA = IB nên tam giác IAB cân tại I.

Suy ra \(\widehat{IBA}=\widehat{IAB}.\)

Vì IA = IC nên tam giác IAC cân tại I.

Suy ra \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}.\)

Xét ∆ABC có: \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180^o\)

Hay \(\widehat{BAC}+\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=2\widehat{BAC}=180^o.\)

Do đó \(\widehat{BAC}=90^o.\)

\(\)

47. Cho tam giác MNP cân tại P. Lấy điểm A trên cạnh PM, điểm B trên cạnh PN sao cho PA = PB. Gọi O là giao điểm của NA và MB. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

Giải

Tam giác MNP cân tại P nên PM = PN, \(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}.\)

Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.

Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).

Suy ra AM = BN.

Xét hai tam giác AMN và BNM có:

AM = BN (chứng minh trên),

MN là cạnh chung,

\(\widehat{AMN}=\widehat{BNM}\) (do \(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}\))

Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{ANM}=\widehat{BMN}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}.\)

Do đó tam giác ONM cân tại O.

Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.

\(\)

48. Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=120^o.\) Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.

a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Giải

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra \(\widehat{CAE}=\widehat{CEA}.\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)

Xét ∆ABC có: \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180^o\)

Mà \(\widehat{BAC}=120^o\) (giả thiết), \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)

Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) \(=\displaystyle\frac{180^o-120^o}{2}=30^o.\)

Xét ∆ABD có: \(\widehat{BAD}+\widehat{DBA}+\widehat{BDA}=180^o\)

Mà \(\widehat{ABD}=30^o,\ \widehat{BAD}=\widehat{BDA}.\)

Suy ra \(\widehat{ADB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ABD}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-30^o}{2}=75^o.\)

Xét ∆ACE có: \(\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=180^o \)

Mà \(\widehat{ACE}=30^o,\ \widehat{CAE}=\widehat{CEA}.\)

Suy ra \(\widehat{AEC}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{ACE}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-30^o}{2}=75^o.\)

Xét tam giác ADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (cùng bằng \(75^o\)).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

b) Xét ∆ADE có: \(\widehat{DAE}=180^o-\widehat{ADE}-\widehat{AED}\) \(=180^o-75^o-75^o=30^o.\)

Vậy ∆ADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=75^o, \widehat{EAD}=30^o.\)

\(\)

49. Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90^o.\)

a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân.

b) Tính số đo các góc của tam giác ADE.

c) Chứng minh DC = BE.

Giải

a) Xét hai tam giác ABD và ACE có:

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90^o\) (giả thiết);

AB = AC (giả thiết);

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác AED cân tại A.

b) Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.

Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^o.\)

Vì AC = CE , \(\widehat{ACE}=90^o\) (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.

Suy ra \(\widehat{CEA}=\widehat{CAE}=(180^o-90^o):2=45^o.\)

Vì AB = BD , \(\widehat{ABD}=90^o\) (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.

Suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}=(180^o-90^o):2=45^o.\)

Ta có \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}\) \(=45^o+60^o+45^o=150^o.\)

Vì tam giác AED cân tại A nên \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}.\)

Xét ∆ADE có: \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^o.\)

Mà \(\widehat{EAD}=150^o,\ \widehat{ADE}=\widehat{AED}\)

Suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=(180^o-150^o):2=15^o.\)

Vậy ∆ADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=15^o,\widehat{EAD}=150^o.\)

c) Ta có \(\widehat{DBC}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=60^o+90^o=150^o.\)

\(\widehat{BCE}=\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=60^o+90^o=150^o.\)

Xét hai tam giác CBD và BCE có:

BC là cạnh chung;

\(\widehat{DBC}=\widehat{BCE}\) (cùng bằng 150^o);

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng).

\(\)

50. Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

Giải

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)

Nên AB = BC = AC và \(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=60^o.\)

Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC

Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.

Suy ra AE = BF = CD.

Xét hai tam giác ADE và BEF có:

AD = BE (giả thiết),

\(\widehat{DAE}=\widehat{FBE}\) (cùng bằng \(60^o\)),

AE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác CFD và BEF có:

CF = BE (giả thiết);

\(\widehat{FCD}=\widehat{EBF}\) (cùng bằng \(60^o\));

CD = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆CFD = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.

Do đó tam giác DFE là tam giác đều.

\(\)

51*. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Giải