Bài 7: Tam giác cân

Chương 7 – Bài 7: Tam giác cân trang 96 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của cạnh AC và N là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh BM = CN.

Giải

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên:

\(AN = BN = \displaystyle\frac{1}{2}AB;\)

\(AM = CM = \displaystyle\frac{1}{2}AC.\)

Mà AB = AC (∆ABC cân tại A) nên AN = BN = AM = CM.

Xét hai tam giác ABM và ACN ta có:

\(\widehat{A}\) là góc chung;

AB = AC (chứng minh trên);

AM = AN (chứng minh trên).

Suy ra \(ΔABM=ΔACN\) (c.g.c).

Do đó BM = CN (hai cạnh tương ứng).

\(\)

2. Cho tam giác ABC có \(\widehat{A} =120^o.\) Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Đường thẳng qua D song song với AB cắt cạnh AC tại E. Chứng minh rằng tam giác ADE đều.

Giải

Do AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DAE}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{BAC}=60^o.\)

Do DE//AB nên \(\widehat{DAB} =\widehat{ADE}\) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat{ADE} =60^o.\)

Xét \(∆ADE\) có: \(\widehat{AED} =180^o-\widehat{DAE} -\widehat{ADE}\) \(= 180^o-60^o-60^o = 60^o.\)

Vậy tam giác ADE là tam giác đều.

\(\)

3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh tam giác MAB vuông cân.

Giải

Do \(∆ABC\) vuông cân tại A.

Suy ra \(\widehat{B}=\widehat{C}=\displaystyle\frac{90^o}{2}=45^o.\)

Xét hai tam giác ABM và ACM có:

AB = AC (\(∆ABC\) vuông cân tại A);

AM là cạnh chung;

BM = CM (M là trung điểm BC).

⇒ \(ΔABM=ΔACM\) (c.c.c).

⇒ \(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BAM} +\widehat{CAM} =\widehat{BAC} =90^o\)

\(⇒\widehat{BAM} =\widehat{CAM} =\displaystyle\frac{90^o}{2}=45^o.\)

Xét \(∆MAB\) có: \(\widehat{B} =\widehat{BAM} =45^o⇒\widehat{BMA} =90^o.\)

Vậy \(∆MAB\) vuông cân tại M.

\(\)

4. Trong Hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là các tam giác đều và A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) AD//BE và BD//CE;

b) \(\widehat{ABE} =\widehat{DBC} =120^o;\)

c) AE = CD.

Giải

a) Ta có \(∆ABD\) và \(∆ABD\) là tam giác đều.

Do đó \(\widehat{DAB} =\widehat{EBC}=60^o.\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Nên AD // BE.

Tương tự \(\widehat{DBA} =\widehat{ECB}=60^o\) hai góc này ở vị trí đồng vị.

Nên BD // CE.

b) \(\widehat{ABE} +\widehat{EBC} =180^o\) (hai góc kề bù)

\(\widehat{ABE} =180^o-\widehat{EBC} =180^o-60^o=120^o\)

Tương tự \(\widehat{DBA} +\widehat{DBC} =180^o\) (hai góc kề bù)

\(\widehat{DBC} =180^o-\widehat{DBA} =180^o-60^o=120^o\)

Vậy \(\widehat{ABE} =\widehat{DBC} =120^o.\)

c) Xét hai tam giác ABE và DBC có:

AB = DB (chứng minh trên);

\(\widehat{ABE} =\widehat{DBC}\) (chứng minh trên);

BE = BC (chứng minh trên).

Do đó \(ΔABE = ΔDBC\) (c.g.c).

Suy ra AE = CD (hai cạnh tương ứng).

\(\)

5. Trong thiết kế của một ngôi nhà, độ nghiêng của mái nhà so với phương nằm ngang phải phù hợp với kết cấu của ngôi nhà và vật liệu làm mái nhà. Hình 77 mô tả mặt cắt đứng của ngôi nhà, trong đó độ nghiêng của mái nhà so với phương nằm ngang được biểu diễn bởi số đo góc ở đáy của tam giác ABC cân tại A.