Bài \(6\). Tích vô hướng của hai vectơ trang \(93\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Nếu hai điểm \(M, N\) thoả mãn \(\overrightarrow{MN}. \overrightarrow{NM} = \ – \ 4\) thì độ dài đoạn thẳng \(MN\) bằng bao nhiêu?
\(A.\) \(MN = 4\).
\(B.\) \(MN = 2\).
\(C.\) \(MN = 16\).
\(D.\) \(MN = 256\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{MN}. \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MN}. (\ – \ \overrightarrow{MN})\)
\(= \ – \ \overrightarrow{MN}^2 = \ – \ MN^2\)
Mà \(\overrightarrow{MN}. \overrightarrow{NM} = \ – \ 4\)
\(\Rightarrow MN^2 = 4\)
\(\Rightarrow MN = 2\) (Do \(MN > 0\))
Vậy \(MN = 2\)
Chọn đáp án \(B\).
\(\)
Bài \(2\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(A.\) Nếu \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^o\) thì \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} < 0\).
\(B.\) Nếu \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) > 90^o\) thì \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} > 0\).
\(C.\) Nếu \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^o\) thì \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} > 0\).
\(D.\) Nếu \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \neq 90^o\) thì \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} < 0\).
Trả lời:
Với \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) thì \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^o\) thì \(\cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})} > 0\)
Khi đó ta có:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})} > 0\)
Vậy \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^o\) thì \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} > 0\).
Chọn đáp án \(C\).
\(\)
Bài \(3\). Tìm \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(|\overrightarrow{a}| = 3, |\overrightarrow{b}| = 4, (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 30^o\);
\(b)\) \(|\overrightarrow{a}| = 5, |\overrightarrow{b}| = 6, (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 120^o\);
\(c)\) \(|\overrightarrow{a}| = 2, |\overrightarrow{b}| = 3, \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
\(d)\) \(|\overrightarrow{a}| = 2, |\overrightarrow{b}| = 3, \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng.
Trả lời:
\(a)\) \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)
\(= 3. 4. \cos{30^o} = 6\sqrt{3}\)
\(b)\) \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)
\(= 5. 6. \cos{120^o} = \ – \ 15\)
\(c)\) Hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng hướng nên góc \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 0\)
Suy ra:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)
\(= 2. 3. \cos{0^o} = 6\)
\(d)\) Hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) ngược hướng nên góc \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 180^o\)
Suy ra:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})}\)
\(= 2. 3. \cos{180^o} = \ – \ 6\)
\(\)
Bài \(4\). Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính các tích vô hướng sau:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BD}\).
Trả lời:
\(a)\) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\)
\(\Rightarrow AC = a\sqrt{2}\)
Lại có \(AC\) là đường phân giác của \(\widehat{BAD}\)
Suy ra \(\widehat{BAC} = \displaystyle \frac{1}{2} \widehat{BAD} = \displaystyle \frac{1}{2}. 90^o = 45^o\)
Khi đó ta có:
\(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}\)
\(= AB. AC. \cos{\widehat{BAC}}\)
\(= a. a\sqrt{2}. \cos{45^o}\)
\(= a^2\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = a^2\)
\(b)\) \(ABCD\) là hình vuông nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.
Suy ra \(\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}\)
Hay \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{BD} = 0\)
\(\)
Bài \(5\). Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh:
\(AB^2 + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CA} = 0\).
Trả lời:
Ta có:
\(AB^2 + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CA}\)
\(= AB^2 + \overrightarrow{AB}. (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA})\)
\(= AB^2 + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BA}\)
\(= AB^2 + \overrightarrow{AB}. (\ – \ \overrightarrow{AB})\)
\(= AB^2 \ – \ \overrightarrow{AB}^2 \)
\(= AB^2 \ – \ AB^2 = 0\)
Vậy \(AB^2 + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CA} = 0\)
\(\)
Bài \(6\). Cho tam giác nhọn \(ABC\). Kẻ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AH}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{HB}. \overrightarrow{BC}\).
Trả lời:
Do tam giác \(ABC\) nhọn nên \(H\) thuộc cạnh \(BC\)
\(a)\) \(AH\) là đường cao tam giác \(ABC\) nên:
\(\overrightarrow{AH}. \overrightarrow{CB} = 0\)
Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH} \ – \ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AH}\)
\(= \overrightarrow{AH}. \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AH}. \overrightarrow{AC}\)
\(= \overrightarrow{AH}. (\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC})\)
\(= \overrightarrow{AH}. \overrightarrow{CB} = 0\)
Suy ra \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH} \ – \ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AH} = 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AH}\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AH}\)
\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} \ – \ \overrightarrow{HB}. \overrightarrow{BC}\)
\(= \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{HB}\)
\(= \overrightarrow{BC}. (\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{HB})\)
\(= \overrightarrow{BC}. (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BH})\)
\(= \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{AH} = 0\)
Suy ra \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} \ – \ \overrightarrow{HB}. \overrightarrow{BC} = 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{HB}. \overrightarrow{BC}\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{HB}. \overrightarrow{BC}\)
\(\)
Bài \(7\). Mội máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ \(700 km/h\) thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ \(40 km/h\) (Hình \(69\)). Máy bay bị thay đổi vận tốc khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay theo đơn vị \(km/h\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời:
Gọi vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là \(\overrightarrow{v_1}\), vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là \(\overrightarrow{v_2}\).
Khi đó vận tốc mới của máy bay là \(\overrightarrow{v}\) thoả mãn \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}\)
Ta có: \(|\overrightarrow{v_1}| = 700\) km/h, \(|\overrightarrow{v_2}| = 40\) km/h, \((\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}) = 45^o\)
Ta biểu diễn các vectơ như hình sau:
\(ABCD\) là hình bình hành có \(\widehat{ABC} = 45^o\)
Suy ra \(\widehat{DAB} = 180^o \ – \ 45^o = 135^o\)
\(AD = |\overrightarrow{v_2}| = 40, AB = |\overrightarrow{v_1}| = 700\)
Ta đi tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{v}\) tức là đoạn thẳng \(BD\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABD\) ta có:
\(BD^2 = AD^2 + AB^2 \ – \ 2. AD. AB. \cos{A}\)
\(= 40^2 + 700^2 \ – \ 2. 40. 700. \cos{135^o}\)
\(\approx 531196,98\)
\(\Rightarrow BD \approx 728,83\) (km/h)
Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là \(728,83\) km/h.
\(\)
Bài \(8\). Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2, AC = 3, \widehat{BCA} = 60^o\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(D\) thoả mãn \(\overrightarrow{AD} = \displaystyle \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}\).
\(a)\) Tính \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\).
\(b)\) Biểu diễn \(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BD}\) theo \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\).
\(c)\) Chứng minh \(AM \perp BD\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|. \cos{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}\)
\(= AB. AC. \cos{\widehat{BAC}} = 2. 3. \cos{60^o} = 3\)
\(b)\) Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \displaystyle \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}= \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = (\ – \ \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{AD}\)
\(= \ – \ \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}\)
Vậy \(\overrightarrow{BD} = \ – \ \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}\)
\(c)\) \(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BD} = \left(\displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\right). \left(\ – \ \overrightarrow{AB} + \displaystyle \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}\right)\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}^2 + \displaystyle \frac{7}{24}\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} + \displaystyle \frac{7}{24} \overrightarrow{AC}^2\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} AB^2 + \displaystyle \frac{7}{24} \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} + \displaystyle \frac{7}{24} AC^2\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. 2^2 + \displaystyle \frac{7}{24}. 3 \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. 3 + \displaystyle \frac{7}{24}. 3^2\)
\(= 0\)
Suy ra \(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BD} = 0\)
Vậy \(AM \perp BD\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 5 – Tích của một số với một vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương IV
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.