Bài 6. Hình thoi

Chương 5 – Bài 6. Hình thoi trang 115 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi.

Giải

Ta có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành).

Suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\) (so le trong).

Lại có \(\widehat{BAC} =\widehat{DAC}\) (vì AC là tia phân giác của \(\widehat{DAB}\)).

Do đó \(\widehat{BAC} = \widehat{BCA}\) nên \(ΔABC\) cân tại A.

Suy ra AD = DC.

Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AD = DC nên là hình thoi

\(\)

2. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:

\(AC^2+BD^2=4(OA^2+OB^2)=4AB^2.\)

Giải

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Do đó \(AC = 2OA, BD = 2OB.\)

Ta có: \(AC^2 + BD^2 = (2OA)^2 + (2OB)^2\) \(= 4OA^2 + 4OB^2 = 4(OA^2 + OB^2)\) (1)

Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

\(AB^2 = OA^2 + OB^2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2+BD^2=4(OA^2+OB^2)=4AB^2.\)

\(\)

3. Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{CDB} =40^o.\) Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.

Giải

ABCD là hình thoi nên BD là tia phân giác của\(\widehat{D}.\)

Suy ra \(\widehat{D} =2.\widehat{CDB} = 2.40^o=80^o.\)

Trong hình thoi ABCD có các góc đối bằng nhau nên:

\(\widehat{D} =\widehat{B} =80^o;\)

\(\widehat{A} =\widehat{C} =\displaystyle\frac{1}{2}(360^o-\widehat{D}-\widehat{B})\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}(360^o-80^o-80^o)=100^o.\)

Vậy \(\widehat{D} =\widehat{B} =80^o;\) \(\widehat{A} =\widehat{C} =100^o.\)

\(\)

4. Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra \(OA=\displaystyle\frac{1}{2}AC=\displaystyle\frac{1}{2}.90=45\) (mm);

\(OB=\displaystyle\frac{1}{2}BD=\displaystyle\frac{1}{2}.45=22,5\) (mm).

Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

\(AB^2 = OA^2 + OB^2 = 45^2 + 22,5^2 = 2531,25\)

Suy ra \(AB=\sqrt{2531,25}≈50\) (mm).

\(\)

5. Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?