Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài \(6\). Hệ thức lượng trong tam giác trang \(36\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(3.5\). Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 6, b = 5, c = 8\). Tính \(\cos{A}, S, r\).

Trả lời:

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) suy ra ta có:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc} = \displaystyle \frac{5^2 + 8^2 \ – \ 6^2}{2. 5. 8} = \displaystyle \frac{53}{80}\)

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là:

\(p = \displaystyle \frac{a + b + c}{2} = \displaystyle \frac{6 + 5 + 8}{2} = 9,5\)

Áp dụng công thức Heron ta có, diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \sqrt{p.(p \ – \ a).(p \ – \ b).(p \ – \ c)}\)

\(= \sqrt{9,5. (9,5 \ – \ 6). (9,5 \ – \ 5). (9,5 \ – \ 8)}\)

\(\approx 14,98\)

Mà \(S = p.r \Rightarrow r = \displaystyle \frac{S}{p} = \displaystyle \frac{14,98}{9,5} = 1,577\)

Vậy \(\cos{A} = \displaystyle \frac{53}{80}, S \approx 14,98\) và \(r = 1,577\)

\(\)

Bài \(3.6\). Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 10, \widehat{A} = 45^o, \widehat{B} = 70^o\). Tính \(R, b, c\).

Trả lời:

Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{C}} = 2R\)

Suy ra:

\(b = \displaystyle \frac{a. \sin{B}}{\sin{A}}\) và \(R = \displaystyle \frac{a}{2 \sin{A}}\)

Thay \(a = 10, \widehat{A} = 45^o, \widehat{B} = 70^o\) ta được:

\(b = \displaystyle \frac{10 \sin70^o}{\sin45^o} \approx 13,29\)

\(R = \displaystyle \frac{10}{2\sin45^o} = 5\sqrt{2}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 45^o, \widehat{B} = 70^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (45^o + 70^o) = 65^o\)

Suy ra \(c = \displaystyle \frac{a \sin{C}}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{10 \sin65^o}{\sin45^o} \approx 12,82\)

Vậy \(R = 5\sqrt{2}, b \approx 13,29\) và \(c \approx 12,82\)

\(\)

Bài \(3.7\). Giải tam giác \(ABC\) và tính diện tích của tam giác đó, biết \(\widehat{A} = 15^o, \widehat{B} = 130^o, c = 6\).

Trả lời:

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 15^o, \widehat{B} = 130^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (15^o + 130^o) = 35^o\)

Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{C}}\)

Suy ra:

\(b = \displaystyle \frac{c \sin{B}}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{6 \sin130^o}{\sin35^o} \approx 8\)

\(a = \displaystyle \frac{c \sin{A}}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{6 \sin15^o}{\sin35^o} \approx 2,7\)

Áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}bc\sin{A} = \displaystyle \frac{1}{2}.8. 6. \sin15^o \approx 6,21\)

Vậy \(a \approx 2,7; b \approx 8; \widehat{C} = 35^o; S \approx 6,21\)

\(\)

Bài \(3.8\). Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng \(A\), đi theo hướng \(S70^oE\) với vận tốc \(70\) km/h. Đi được \(90\) phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc \(8\) km/h. Sau \(2\) giờ kể từ khi động cơ hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
\(a)\) Tính khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu.
\(b)\) Xác định hướng từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu.

Trả lời:

Ta có sơ đồ đường đi của tàu đánh cá như sau:

Với \(B\) là vị trí động cơ bị hỏng, \(C\) là vị trí tàu neo đậu trên hòn đảo.

Khi đó khoảng cách từ cảng \(A\) tới hòn đảo nơi tàu neo đậu là đoạn \(AC\)

Đổi \(90\) phút = 1,5 giờ

Quãng đường tàu đi được tính đến ngay trước khi động cơ bị hỏng là:

\(70. 1,5 = 105 (km)\)

Suy ra \(AB = 100\)

Tàu trôi tự do từ \(B\) tới \(C\) trong \(2\) giờ với vận tốc \(8\) km/h nên độ dài đoạn \(BC = 8. 2 = 16\)

Do ban đầu tàu di chuyển theo hướng \(S70^oE\) nên ta có \(\widehat{BAS} = 70^o\).

Sau khi động cơ hỏng, tàu trôi tự do theo hướng Nam nên ta có: \(BC // AS\)

Suy ra \(\widehat{ABC} = 180^o \ – \ 70^o = 110^o\)

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 \ – \ 2. AB. BC. \cos{B}\)

\(= 16^2 + 105^2 \ – \ 2. 16. 105. \cos110^o\)

\(= 12430\)

\(\Rightarrow AC \approx 111,49\)

Vậy khoảng cách từ cảng \(A\) tới cảng nơi tàu neo đậu khoảng \(111,49 km \)

\(b)\) Xét tam giác \(ABC\) có:

\(\cos{\widehat{BAC}} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2.AB.AC}\)

\(= \displaystyle \frac{105^2 + 111,490^2 \ – \ 16^2}{2. 105. 111,49} \approx 0,99\)

\(\Rightarrow \widehat{BAC} \approx 7,75^o\)

\(\Rightarrow \widehat{SAC} = 70^o \ – \ 7,75^o = 62,25^o\)

Vậy hướng từ cảng \(A\) đến đảo nơi tàu neo đậu là \(S62,25^oE\).

\(\)

Bài \(3.9\). Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao \(5 m\). Từ một vị trí quan sát \(A\) cao \(7 m\) so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và chân \(C\) của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là \(50^o\) và \(40^o\) so với phương nằm ngang \((H.3.18)\).
\(a)\) Tính các góc của tam giác \(ABC\).
\(b)\) Tính chiều cao của toà nhà.

Trả lời:

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống đường thẳng \(BC\).

\(a)\) Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\widehat{ABH} = 90^o \ – \ \widehat{BAH} = 90^o \ – \ 50^o = 40^o\)

Ta có: \(\widehat{BAH} = \widehat{BAC} + \widehat{CAH}\)

\(\Rightarrow \widehat{BAC} = 50^o \ – \ 40^o = 10^o\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB} = 180^o \ – \ (40^o + 10^o) = 130^o\)

\(b)\) Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{\widehat{ACB}}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{\widehat{BAC}}}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{AB}{\sin130^o} = \displaystyle \frac{5}{\sin10^o}\)

\(\Leftrightarrow AB = \displaystyle \frac{5\sin130^o}{\sin10^o} \approx 22,06 m \)

Xét tam giác \(ABH\) có:

\(BH = AB. \sin{\widehat{BAH}} \approx 22,06. \sin50^o \approx 16,9 (m)\)

\(\Rightarrow CH = BH \ – \ BC \approx 16,9 \ – \ 5 = 11,9 (m) \)

Từ đó suy ra chiều cao tòa nhà là:

\(11,9 + 7 = 18,9 (m)\)

Vậy chiều cao của tòa nhà khoảng \(18,9 m\).

\(\)

Bài \(3.10\). Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Trả lời:

Bước \(1\). Đánh dấu vị trí quan sát tại điểm \(A\).

Chiều rộng của hòn đảo là độ dài đoạn \(BC\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\)

Trên tia đối của tia \(AH\) lấy điểm \(M\) và đo lại khoảng cách \(AM = x\).

Bước \(2\). Xác định các góc đo tại vị trí quan sát \(A\) gồm: \(\widehat{BAC} = \alpha, \widehat{HAC} = \beta\)

Xác định góc đo tại vị trí quan sát \(M\): \(\widehat{HMC} = \gamma\)

Bước \(3\). Giải tam giác \(AMC\). Tính \(AC\)

Có: \(AM = x, \widehat{AMC} = \gamma, \widehat{MAC} = 180^o \ – \ \widehat{HAC} = 180^o \ – \ \beta\)

Suy ra \(\widehat{ACM} = 180^o \ – \ (\widehat{AMC} + \widehat{MAC}) = 180^o \ – \ (\gamma + 180^o \ – \ \beta)\)

\( = \beta \ – \ \gamma\)

Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(AMC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AC}{\sin{\widehat{AMC}}} =\displaystyle \frac{AM}{\sin{\widehat{ACM}}}\)

Suy ra \(AC = \displaystyle \frac{x \sin{\gamma}}{\sin{(\beta \ – \ \gamma)}}\)

Bước \(4\). Có \(\widehat{ABC} = 90^o \ – \ \widehat{HAB} = 90^o \ – \ (\alpha \ – \ \beta) = 90^o \ – \ \alpha + \beta\)

Áp dụng định lí \(\text{ sin }\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}}\)

Suy ra \(BC = \displaystyle \frac{AC \sin{A}}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{x \sin{\gamma} \sin{\alpha}}{\sin{(90^o \ – \ \alpha + \beta)} \sin{(\beta \ – \ \gamma)}}\)

\(\)

Bài \(3.11\). Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng mô hình trong Hình \(3.19\). Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên nũi, nối thẳng từ \(A\) tới \(D\). Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?