Bài \(6\). Cấp số cộng trang \(48\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(2.8\). Xác định công sai, số hạng thứ \(5\), số hạng tổng quát và số hạng thứ \(100\) của mỗi cấp số cộng:
\(a)\) \(4; 9; 14; 19; …;\)
\(b)\) \(1; \ – \ 1; \ – \ 3; \ – \ 5; …;\)
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(9 \ – \ 4 = 5; 14 \ – \ 9 = 5,…\)
Suy ra cấp số cộng có \(u_1 = 4\), công sai \(d = 5\)
\(\Rightarrow\) Số hạng tổng quát của dãy số là:
\(u_n = 4 + 5(n \ – \ 1)\)
\(\Rightarrow\) Số hạng thứ \(5\) là:
\(u_5 = 4 + 5(5 \ – \ 1) = 24\)
Số hạng thứ \(100\) là:
\(u_{100} = 4 + 5(100 \ – \ 1) = 499\)
\(b)\) Ta có: \(\ – \ 1 \ – \ 1 = \ – \ 2; \ – \ 3 \ – \ (\ – \ 1) = \ – \ 2, …\)
Suy ra cấp số cộng có \(u_1 = 1\) và công sai \(d = \ – \ 2\)
\(\Rightarrow\) Số hạng tổng quát của dãy số là:
\(u_n = 1 \ – \ 2(n \ – \ 1)\)
\(\Rightarrow u_5 = 1 \ – \ 2(5 \ – \ 1) = \ – \ 7\)
\(u_{100} = 1 \ – \ 2(100 \ – \ 1) = \ – \ 197\)
\(\)
Bài \(2.9\). Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \((u_n)\) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai \(d\) và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng \(u_n = u_1 + (n \ – \ 1)d\).
\(a)\) \(u_n = 3 + 5n\);
\(b)\) \(u_n = 6n \ – \ 4\);
\(c)\) \(u_1 = 2; u_n = u_{n \ – \ 1} + n\);
\(d)\) \(u_1 = 2; u_n = u_{n \ – \ 1} + 3\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(u_1 = 3 + 5. 1 = 8\)
\(u_2 = 3 + 5. 2 = 13\)
\(u_3 = 3 + 5. 3 = 18\)
\(u_4 = 3 + 5. 4 = 23\)
\(u_5 = 3 + 5. 5 = 28\)
Xét \(u_n \ – \ u_{n \ – \ 1} = 3 + 5n \ – \ [3 + 5( n \ – \ 1)]\)
\(= 3 + 5n \ – \ 3 \ – \ 5n + 5 = 5 \forall n \geq 2\)
Suy ra dãy số đã cho là cấp số cộng có \(u_1 = 8\) và công sai \(d = 5\)
Số hạng tổng quát:
\(u_n = 8 + 5(n \ – \ 1)\)
\(b)\) Ta có: \(u_1 = 6. 1 \ – \ 4 = 2\)
\(u_2 = 6. 2 \ – \ 2 = 10\)
\(u_3 = 6. 3 \ – \ 2 = 16\)
\(u_4 = 6. 4 \ – \ 2 = 22\)
\(U_5 = 6. 5 \ – \ 2 = 32\)
Xét \(u_n \ – \ u_{n \ – \ 1} = 6n \ – \ 4 \ – \ [6(n \ – \ 1) \ – \ 4]\)
\(= 6n \ – \ 4 \ – \ 6n + 10 = 6 \forall n \geq 2\)
Suy ra dãy số đã cho là cấp số cộng có \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 6\).
Số hạng tổng quát \(u_n = 2 + 6(n \ – \ 1)\)
\(c)\) Ta có: \(u_1 = 2; u_2 = 2 + 2 = 4\); \(u_3 = 4 + 3 = 7; u_4 = 7 + 4 = 11; u_5 = 11 + 5 = 16\)
Xét \(u_2 \ – \ u_1 = 2 \neq u_3 \ – \ u_2 = 3\)
Suy ra dãy số đã cho không phải cấp số cộng.
\(d)\) Ta có: \(u_1 = 2; u_2 = 2 + 3 = 5; u_3 = 5 + 3 = 8\)
\(u_4 = 8 + 3 = 11; u_5 = 11 + 3 = 14\)
Xét \(u_n \ – \ u_{n \ – \ 1} = u_{n \ – \ 1} + 3 \ – \ u_{n \ – \ 1} = 3 \forall n \geq 2\)
Suy ra dãy số đã cho là cấp số cộng với \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 3\)
Số hạng tổng quát \(u_n = 2 + 3(n \ – \ 1)\)
\(\)
Bài \(2.10\). Một cấp số cộng có số hạng thứ \(5\) bằng \(18\) và số hạng thứ \(12\) bằng \(32\). Tìm số hạng thứ \(50\) của cấp số cộng này.
Trả lời:
Gọi số hạng tổng quát của cấp số cộng đó là:
\(u_n = u_1 + d(n \ – \ 1)\)
Ta có: \(u_5 = u_1 + d(5 \ – \ 1) = u_1 + 4d = 18\) \((1)\)
\(u_{12} = u_1 + d(12 \ – \ 1) = u_1 + 11d = 32\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(u_1 = 10, d = 2\)
Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
\(u_n = 10 + 2. (n \ – \ 1)\)
Số hạng thứ \(50\) là:
\(u_{50} = 10 + 2. (50 \ – \ 1) = 108\)
\(\)
Bài \(2.11\). Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng \(5\) và công sai bằng \(2\). Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng \(2700\)?
Trả lời:
Gọi \(n\) là số các số hạng đầu cần lấy tổng. Khi đó ta có:
\(2700 = \displaystyle \frac{n}{2}. [5. 2 + 2(n \ – \ 1)] = \displaystyle \frac{n}{2} (2n + 8)\)
\(\Rightarrow n^2 + 4n \ – \ 2700 = 0\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}n = \ – \ 54 \text{ (Loại) }\\n = 50 \end{array} \right.\end{equation}\)
Vậy ta cần lấy tổng \(50\) số hạng đầu của cấp số cộng để có tổng bằng \(2700\).
\(\)
Bài \(2.12\). Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là \(680\) triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm \(55\) triệu đồng. Tính giá trị còn lại của chiếc xe sau \(5\) năm sử dụng.
Trả lời:
Ta có: \(u_1 = 680\)
Giá trị của chiếc xe sau \(n\) năm sử dụng là:
\(u_n = 680 \ – \ 55(n \ – \ 1)\)
Giá trị còn lại của chiếc xe sau \(5\) năm sử dụng là:
\(u_5 = 680 \ – \ 55(5 \ – \ 1) = 460\) (triệu đồng)
\(\)
Bài \(2.13\). Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với \(15\) ghế ngồi ở hàng thứ nhất, \(18\) ghế ngồi ở hàng thứ hai, \(21\) ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn \(3\) ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất \(870\) ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Trả lời:
Số ghế ở mỗi hàng trong hội trường lập thành cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 15\), công sai \(d = 3\)
Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng. Khi đó ta có:
\(870 = \displaystyle \frac{n}{2}[15. 2 + 3(n \ – \ 1)]\)
\(= \displaystyle \frac{n}{2}. (3n + 27)\)
\(\Rightarrow 3n^2 + 27n = 870. 2\)
\(\Rightarrow 3n^2 + 27n \ – \ 1740 = 0\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}n = \ – \ 29 \text{ (Loại) }\\n = 20 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy kiến trúc sư cần thiết kế tối thiểu \(20\) hàng ghế thì hội trường có sức chứa ít nhất \(870\) ghế ngồi.
\(\)
Bài \(2.14\). Vào năm \(2020\), dân số của một thành phố là khoảng \(1,2\) triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng \(30\) nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm \(2030\).
Trả lời:
Đổi \(1,2\) triệu người = \(1200\) nghìn người
Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có \(u_1 = 1200\) và công sai \(d = 30\).
Dân số mỗi năm của thành phố có dạng tổng quát là:
\(u_n = 1200 + 30(n \ – \ 1)\)
Khi đó, dân số của thành phố năm \(2030\) tương ứng với \(n = 11\) là:
\(u_{11} = 1200 + 30(11 \ – \ 1) = 1500\) (nghìn người)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 5 – Dãy số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 7 – Cấp số nhân
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.