Bài \(6\). Ba đường conic trang \(93\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{64} + \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{64} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\);
\(c)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{64} + \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\);
\(d)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{25} + \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\), trong đó \(a > b > 0\).
Do đó, đáp án \(b)\) không thoả mãn
Đáp án \(a)\) ta thấy \(a^2 = b^2 = 64\) nên không thỏa mãn.
Đáp án \(c)\), ta có \(a^2 = 64, b^2 = 25\)
Suy ra \(a = 8, b = 5\) nên \(a > b > 0\) thỏa mãn.
Đáp án \(d\), ta thấy \(a^2 = 25, b^2 = 64\)
Suy ra \(a = 5, b = 8\) nên \(a < b\) nên không thỏa mãn.
Vậy phương trình ở đáp án \(c)\) là phương trình chính tắc của elip.
\(\)
Bài \(2\). Cho Elip \((E)\) có phương trình chính tắc \(\displaystyle \frac{x^2}{49} + \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\). Tìm toạ độ các giao điểm của \((E)\) với trục \(Ox, Oy\) và toạ độ các tiêu điểm của \((E)\).
Trả lời:
Ta có: \(\displaystyle \frac{x^2}{49} + \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{7^2} + \displaystyle \frac{y^2}{5^2} = 1\)
Do \(a > b > 0\) nên elip \((E)\) có \(a = 7, b = 5\).
\(\Rightarrow c^2 = a^2 \ – \ b^2 = 7^2 \ – \ 5^2 = 24\)
\(\Rightarrow c = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)
Vậy tọa độ các giao điểm của \((E)\) với trục \(Ox\) là \(A_1(\ – \ 7; 0), A_2(7; 0)\), tọa độ các giao điểm của \((E)\) với trục \(Oy\) là \(B_1(0;\ – \ 5), B_2(0; 5)\) và tọa độ các tiêu điểm của \((E)\) là \(F_1(\ – \ 2\sqrt{6}; 0), F_2(2\sqrt{6}; 0)\).
\(\)
Bài \(3\). Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\), biết toạ độ hai giao điểm của \((E)\) với \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt là \(A_1(\ – \ 5; 0)\) và \(B_2(0; \sqrt{10})\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của elip \((E)\) có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\), trong đó \(a > b > 0\)
Elip \((E)\) cắt trục \(Ox\) tại \(A_1(\ – \ 5; 0)\), thay vào phương trình elip ta được:
\(\displaystyle \frac{(\ – \ 5)^2}{a^2} + \displaystyle \frac{0^2}{b^2} = 1\)
\(\Leftrightarrow a = 5\) (do \(a > 0\))
Elip \((E)\) cắt trục \(Oy\) tại \(B_2(0; \sqrt{10})\), thay vào phương trình elip ta được:
\(\displaystyle \frac{0^2}{a^2} + \displaystyle \frac{(\sqrt{10})^2}{b^2} = 1\)
\(\Leftrightarrow b = \sqrt{10}\) (do \(b > 0\))
Vì \(5 > \sqrt{10}\) nên \(a > b > 0\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\displaystyle \frac{x^2}{5^2} + \displaystyle \frac{y^2}{(\sqrt{10})^2} = 1\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{25} + \displaystyle \frac{y^2}{10} = 1\)
\(\)
Bài \(4\). Ta biết rằng Mặt trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái đất là một tiêu điểm. Elip đó có \(A_1A_2 = 768800\) km và \(B_1B_2 = 767619\) km (Hình \(62\)). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Trả lời:
Ta có: \(A_1A_2 = 768800 = 2a\)
\(\Rightarrow a = 384400\)
\(B_1B_2 = 767619 = 2b\)
\(\Rightarrow b = 383809,5\)
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{383400^2} + \displaystyle \frac{y^2}{383809,5^2} = 1\)
\(\)
Bài \(5\). Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{9} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\);
\(c)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{9} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\);
\(d)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{64} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{9} = 1\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a> 0, b> 0\)
Do đó đáp án \(a)\) không thoả mãn
Các phương trình ở các đáp án \(b, c, d\) đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\) và thỏa mãn điều kiện \(a > 0, b > 0\) với:
Đáp án \(b)\) Có \(a = b = 3 > 0\).
Đáp án \(c)\) Có \(a = 3 > 0, b = 8 > 0\).
Đáp án \(d)\) Có \(a = 8 > 0, b = 3 > 0\).
\(\)
Bài \(6\). Tìm toạ độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{9} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{16} = 1\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{36} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{x^2}{9} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{16} = 1\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{3^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{4^2} = 1\)
Suy ra hypebol có \(a = 3, b = 4\) (do \(a > 0, b > 0\)).
Mặt khác ta có: \(c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 =25\)
\(\Rightarrow c = 5\)
Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là \(F_1(5; 0), F_2(\ – \ 5; 0)\)
b) Ta có: \(\displaystyle \frac{x^2}{36} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{25} = 1\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{6^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{5^2} = 1\)
Suy ra hypebol có \(a = 6, b = 5\) (do \(a > 0, b > 0\))
Ta có: \(c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 5^2 = 61\)
\(\Rightarrow c = \sqrt{61}\)
Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là \(F_1(\ – \ \sqrt{61}; 0), F_2(\sqrt{61}; 0)\)
\(\)
Bài \(7\). Viết phương trình chính tắc của hypebol \((H)\), biết \(N(\sqrt{10}; 2)\) nằm trên \((H)\) và hoành độ một giao điểm của \((H)\) với trục \(Ox\) bằng \(3\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) có dạng \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a > 0, b > 0\))
Hoành độ một giao điểm của \((H)\) với trục \(Ox\) là \(3\)
Suy ra tọa độ giao điểm của \((H)\) với trục \(Ox\) là \((3; 0)\).
Thay tọa độ điểm \((3; 0)\) vào phương trình hypebol, ta được:
\(\displaystyle \frac{3^2}{a^2} \ – \ \displaystyle \frac{0^2}{b^2} = 1\)
\(\Rightarrow a = 3\) (do \(a > 0\))
Điểm \(N(\sqrt{10}; 2)\) nằm trên \((H)\) nên toạ độ điểm \(N\) thoả mãn phương trình của \((H)\), ta được:
\(\displaystyle \frac{(\sqrt{10})^2}{3^2} \ – \ \displaystyle \frac{2^2}{b^2} = 1\)
\(\Rightarrow b = 6\) (do \(b > 0\))
Vậy phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) là:
\(\displaystyle \frac{x^2}{3^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{6^2} = 1\)
hay \(\displaystyle \frac{x^2}{9} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{36} = 1\)
\(\)
Bài \(8\). Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
\(a)\) \(y^2 = \ – \ 2x\);
\(b)\) \(y^2 = 2x\);
\(c)\) \(x^2 = \ – \ 2y\);
\(d)\) \(y^2 = \sqrt{5} x\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \(y^2 = 2px\) (với \(p > 0\)).
\(a)\) Ta có: \(y^2 = \ – \ 2x = 2 . (\ – \ 1)x\)
Do \(\ – \ 1 < 0\) nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.
\(b)\) Ta có: \(y^2 = 2x = 2 . 1 . x\)
Do \(1 > 0\) nên đây là phương trình chính tắc của parabol với \(p = 1\).
\(c)\) Phương trình \(x^2 = \ – \ 2y\) không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.
\(d)\) Ta có: \(y^2 = \sqrt{5} x = 2. \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}. x\)
Do \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2} > 0\) nên đây là phương trình chính tắc của parabol với \(p = \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\)
Bài \(9\). Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(y^2 = \displaystyle \frac{5x}{2}\);
\(b)\) \(y^2 = 2\sqrt{2} x\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(y^2 = \displaystyle \frac{5}{2}x = 2. \displaystyle \frac{5}{4}. x\)
Suy ra parabol trên có \(p = \displaystyle \frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{p}{2} = \displaystyle \frac{\frac{5}{4}}{2} = \displaystyle \frac{5}{8}\)
Vậy parabol có toạ độ tiêu điểm là \(F\left(\displaystyle \frac{5}{8}; 0\right)\) và phương trình đường chuẩn là \(x + \displaystyle \frac{5}{8} = 0\)
\(b)\) Ta có: \(y^2 = 2\sqrt{2}x = 2. \sqrt{2}. x\)
Suy ra parabol trên có \(p = \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \displaystyle \frac{p}{2} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy parabol có toạ độ tiêu điểm là \(F\left(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right)\) và phương trình đường chuẩn là \(x + \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = 0\)
\(\)
Bài \(10\). Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là \(F(6; 0)\).
Trả lời:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \(y^2 = 2px\) (với \(p > 0\)).
Tiêu điểm của parabol là \(F(6; 0)\)
Suy ra \(\displaystyle \frac{p}{2} = 6\)
\(\Leftrightarrow p = 12\)
Vậy phương trình chính tắc của parabol là \(y^2 = 2 . 12. x\) hay \(y^2 = 24x\).
\(\)
Bài \(11\). Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình \(63\)). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành \(AB = 40 cm\) và chiều sâu \(h = 30 cm\) (\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(F\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Trả lời:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \(y^2 = 2px\) (với \(p > 0\)).
Vì \(AB = 40\) và \(Ox\) là đường trung trực của đoạn \(AB\) nên khoảng cách từ điểm \(A\) đến trục \(Ox\) là \(\displaystyle \frac{40}{2} = 20\).
Chiều sâu \(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\) và cũng chính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến trục \(Oy\) và bằng \(30\).
Do đó, parabol đi qua điểm \(A\) có hoành độ là \(30\) (khoảng cách từ \(A\) đến trục \(Oy\)) và tung độ là \(20\) (khoảng cách từ \(A\) đến trục \(Ox\)) hay \(A(30; 20)\).
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình chính tắc của parabol, ta được:
\(20^2 = 2p . 30\)
\(\Leftrightarrow p = \displaystyle \frac{20}{3}\) (thỏa mãn \(p > 0\)).
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là \(y^2 = 2. \displaystyle \frac{20}{3}. x\) hay \(y^2 = \displaystyle \frac{40}{3}x\)
Xem bài giải trước: Bài 5 – Phương trình đường tròn
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VII
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.