Chương 7 – Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh trang 77 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
31. Hai đoạn thẳng BE và CD vuông góc với nhau tại A sao cho AB = AD, AC = AE, AB > AC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? Vì sao?
a) \(∆AED = ∆ACB.\)
b) \(DE = BC.\)
c) \(∆ACE = ∆ABD.\)
d) \(\widehat{ABC}=\widehat{AED}.\)
Giải
Xét hai tam giác AED và ACB có:
\(\widehat{DAE}=\widehat{BAC}\) (cùng bằng \(90^o\));
AD = AB (giả thiết);
AE = AC (giả thiết).
Do đó ∆AED = ∆ACB (hai cạnh góc vuông) nên phát biểu a đúng.
Do ∆AED = ∆ACB suy ra:
DE = BC (hai cạnh tương ứng), nên phát biểu b đúng;
\(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\) (hai góc tương ứng) nên phát biểu d sai.
Xét ∆ACE và ∆ABD, ta thấy hai tam giác này không có các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. Do đó hai tam giác này không bằng nhau, nên phát biểu c sai.
Vậy phát biểu c, d là phát biểu sai.
\(\)
32. Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 22a, 22b, 22c, 22d là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
a) ∆MAB = ∆MEC (Hình 22a).
b) ∆BAC = ∆DAC (Hình 22b).
c) ∆CAB = ∆DBA (Hình 22c).
d) ∆KDE = ∆NMP (Hình 22d).
Giải
a) Để ∆MAB = ∆MEC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì phải thêm điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà tam giác này có \(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\) (hai góc đối đỉnh) và MB = MC.
Mặt khác \(\widehat{AMB}\) là góc xen giữa hai cạnh MA và MB, \(\widehat{CME}\) là góc xen giữa hai cạnh MC và ME.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là MA = ME.
Vậy Hình 22a cần thêm điều kiện MA = ME.
b) Để ∆BAC = ∆DAC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà hai tam giác này có cạnh AC là cạnh chung, AB = AD.
Mặt khác \(\widehat{BAC}\) là góc xen giữa hai cạnh AB và AC, \(\widehat{DAC}\) là góc xen giữa hai cạnh AD và AC.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về góc, đó là \(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}.\)
Vậy Hình 22b cần thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}.\)
c) Để ∆CAB = ∆DBA theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà hai tam giác này có AB là cạnh chung, \(\widehat{BAC}=\widehat{ABD}=90^o.\)
Mặt khác \(\widehat{BAC}\) là góc xen giữa hai cạnh AB và AC, \(\widehat{ABD}\) là góc xen giữa hai cạnh BD và BA.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là AC = BD.
Vậy Hình 22c cần thêm điều kiện AC = BD.
d) Xét ∆KDE có: \(\widehat{K}+\widehat{D}+\widehat{E}=180^o\) (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra \(\widehat{D}=180^o-\widehat{K}-\widehat{E}\) \(=180^o-80^o-40^o=60^o.\)
Để ∆KDE = ∆NMP theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà DK = NM, \(\widehat{D}=\widehat{M}\) (cùng bằng \(60^o\)).
Mặt khác \(\widehat{D}\) là góc xen giữa hai cạnh DK và DE, \(\widehat{M}\) là góc xen kẽ giữa hai cạnh MN và MP.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là DE = MP.
Vậy Hình 22d cần thêm điều kiện DE = MP.
\(\)
33. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AB và AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Chứng minh:
a) ∆ABC = ∆ADE;
b) DE = BC và DE song song với BC;
c) ∆AEN = ∆ACM;
d) M, A, N thẳng hàng.
Giải
a) Xét hai tam giác ABC và ADE có:
AB = AD (giả thiết);
\(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\) (hai góc đối đỉnh);
AC = AE (giả thiết).
Suy ra ∆ABC = ∆ADE (c.g.c).
b) Do ∆ABC = ∆ADE nên BC = DE (hai cạnh tương ứng), \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\) (hai góc tương ứng).
Mặt khác \(\widehat{ACB},\ \widehat{AED}\) là hai góc ở vị trí so le trong.
Suy ra DE // BC.
c) Ta có: \(EN=\displaystyle\frac{DE}{2};\) \(MC=\displaystyle\frac{BC}{2};\) DE = BC nên EN = MC
Xét hai tam giác AEN và ACM có:
AE = AC (giả thiết);
\(\widehat{NEA}=\widehat{MCA}\) (do \(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\))
EN = CM (chứng minh trên),
Suy ra ∆AEN = ∆ACM (c.g.c).
d) Do ∆AEN = ∆ACM nên \(\widehat{NAE}=\widehat{MAC}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{NAM}=\widehat{NAE}+\widehat{EAM}\) \(=\widehat{MAC}+\widehat{EAM}=\widehat{EAC}=180^o\) (hai góc kề bù)
Do đó \(\widehat{NAM}=180^o\)
Suy ra M, A, N thẳng hàng.
\(\)
34. Cho điểm M nằm giữa hai điểm O và A. Vẽ các điểm N và B sao cho O là trung điểm của AB và MN. Vẽ tia Ox vuông góc với AB, trên tia Ox lấy điểm K. Chứng minh:
a) ∆KOM = ∆KON;
b) GMA = ∆KNB.
Giải
a) Xét hai tam giác KOM và KON có:
\(\widehat{KOM}=\widehat{KON}\) (cùng bằng \(90^o\)),
OK là cạnh chung,
OM = ON (do O là trung điểm của MN).
Suy ra ∆KOM = ∆KON (hai cạnh góc vuông).
b) Do ∆KOM = ∆KON nên \(\widehat{KMO}=\widehat{KNO}\) (hai góc tương ứng) và KM = KN (hai cạnh tương ứng).
Ta có OA = OM + MA, OB = ON + NB, OA = OB.
Suy ra MA = NB.
Ta có \(\widehat{KMO}+\widehat{KMA}=180^o\) (hai góc kề bù) và \(\widehat{KNO}+\widehat{KNB}=180^o\) (hai góc kề bù).
Mà \(\widehat{KMO}=\widehat{KNO}\) (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat{KMA}=\widehat{KNB}.\)
Xét hai tam giác KMA và KNB có:
MA = NB (chứng minh trên),
\(\widehat{KMA}=\widehat{KNB}\) (chứng minh trên),
KM = KN (chứng minh trên).
Suy ra ∆KMA = ∆KNB (c.g.c).
\(\)
35. Cho tam giác ABC có \(\widehat{ABC}=53^o,\ \widehat{BAC}=90^o,\) AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Vẽ tia Bx vuông góc với BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = HA (Hình 23).
a) Chứng minh ∆AHB = ∆DBH.
b) Chứng minh DH vuông góc với AC.
c) Tính số đo góc BDH.
Giải
a) Xét hai tam giác AHB và DBH có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{HBD}\) (cùng bằng \(90^o\));
BH là cạnh chung;
AH = BD (giả thiết).
Suy ra ∆AHB = ∆DBH (hai cạnh góc vuông).
b) Do ∆AHB = ∆DBH nên \(\widehat{ABH}=\widehat{DHB}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat{ABH},\ \widehat{DHB}\) ở vị trí so le trong nên AB // DH.
Lại có, AB ⊥ AC nên DH ⊥ AC.
c) Do ∆AHB = ∆DBH nên \(\widehat{BAH}=\widehat{HDB}\) (hai góc tương ứng).
Xét tam giác ABH vuông tại H có:
\(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^o\)).
Suy ra \(\widehat{BAH}=90^o-\widehat{ABH}\) \(=90^o-53^o=37^o.\)
Do đó \(\widehat{BDH}=37^o.\)
\(\)
36.* Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24). Chứng minh:
a) ∆AMC = ∆ABN;
b) BN vuông góc với CM.
Giải
a) Ta có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}=90^o+\widehat{BAC}\)
\(\widehat{NAB}=\widehat{NAC}+\widehat{BAC}=90^o+\widehat{BAC}\)
Suy ra: \(\widehat{MAC}=\widehat{NAB}.\)
Xét hai tam giác AMC và ABN có:
MA = AB (giả thiết),
\(\widehat{MAC}=\widehat{BAN}\) (chứng minh trên),
AC = AN (giả thiết)
Suy ra ∆AMC = ∆ABN (c.g.c).
b) Do ∆AMC = ∆ABN nên \(\widehat{ACM}=\widehat{ANB}\) (hai góc tương ứng).
Mặt khác, \(\widehat{KIC}+\widehat{AIN}\) (đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat{ACM}+\widehat{KIC}=\widehat{ANB}+\widehat{AIN}.\)
Xét ∆AIN vuông tại A có:
\(\widehat{ANI}+\widehat{AIN}=90^o\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o)
Hay \(\widehat{ANB}+\widehat{AIN}=90^o\)
Do đó \(\widehat{ACM}+\widehat{KIC}=90^o\) hay \(\widehat{ICK}+\widehat{KIC}=90^o.\)
Xét ∆KIC, có: \(\widehat{ICK}+\widehat{KIC}+\widehat{IKC}=180^o\) (tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra \(\widehat{IKC}=180^o-(\widehat{ICK}+\widehat{KIC})\) \(=180^o-90^o=90^o.\)
Do đó BN ⊥ MC.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh
Xem bài giải tiếp theo: Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài tập Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
