Chương 7 – Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh trang 86 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
\(1.\) Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang 74) thông qua việc giải bài tập sau đây:
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E thuộc cạnh AC thoả mãn AE = AB. Chứng minh:
a) \(∆ABD = ∆AED;\)
b) \(\widehat{B} >\widehat{C}.\)
Giải
a) Xét hai tam giác ABD và AED có:
AB = AE (giả thiết).
\(\widehat{DAB} =\widehat{DAE}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)).
AD là cạnh chung.
Suy ra \(∆ABD = ∆AED\) (c.g.c).
b) \(∆ABD = ∆AED\) suy ra \(\widehat{ABD} =\widehat{AED}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat{AED}\) là góc ngoài tại đỉnh E của \(∆ECD\) nên \(\widehat{AED} =\widehat{ECD} +\widehat{EDC} >\widehat{ECD}.\)
Hay \(\widehat{ABD} >\widehat{ECD}.\)
Do đó \(\widehat{B} >\widehat{C}.\)
\(\)
\(2.\) Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông.
Chứng minh:
a) IA = IB;
b) IH là tia phân giác của góc AIB.
Giải
a) Xét hai tam giác vuông IDA và ICB, ta có:
ID = IC (giả thiết).
AD = BC (giả thiết).
Suy ra \(∆IDA = ∆ICB\) (hai cạnh góc vuông).
Do đó IA = IB (hai cạnh tương ứng).
b) Xét hai tam giác vuông IHA và IHB, ta có:
IA = IB (chứng minh trên).
IH là cạnh chung.
Suy ra \(∆IHA = ∆IHB\) (hai cạnh góc vuông).
Do đó \(\widehat{HIA} =\widehat{HIB}\) (hai góc tương ứng).
Mà IH nằm giữa IA và IB nên IH là tia phân giác của \(\widehat{AIB}.\)
\(\)
\(3.\) Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):
– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.
– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.
– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.
Khi đó, E là vị trí của cây cầu.
Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì
MA + MB > EA + EB.
Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?
Giải
Kẻ đoạn thẳng CM.
Xét hai tam giác vuông AHE và CHE có:
AH = CH (giả thiết).
HE là canh chung.
Suy ra \(∆AHE = ∆CHE\) (hai cạnh góc vuông).
Do đó EA = EC (hai cạnh tương ứng).
Khi đó EA + EB = EC + EB = BC.
Xét hai tam giác vuông AHM và CHM có:
AH = CH (giả thiết).
HM là cạnh chung.
Suy ra \(∆AHM = ∆CHM\) (hai cạnh góc vuông).
Do đó MA = MC (hai cạnh tương ứng).
Khi đó MA + MB = MC + MB.
Xét \(∆MBC\) có MC + MB > BC (bất đẳng thức tam giác).
⇒ MC + MB > EC + EB
⇒ MA + MB > EA + EB.
Vậy bạn Nam nói đúng.
\(\)
\(4.\) Cho \(∆ABC = ∆MNP.\) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh:
a) AD = MQ;
b) DE = QR.
Giải
\(∆ABC = ∆MNP\) suy ra AC = MP (hai cạnh tương ứng), BC = NP (hai cạnh tương ứng), \(\widehat{ACB} =\widehat{MPN}\) (hai góc tương ứng).
E là trung điểm của AC nên \(EC = \displaystyle\frac{1}{2}AC.\)
R là trung điểm của MP nên \(RP = \displaystyle\frac{1}{2}MP.\)
D là trung điểm của BC nên \(CD = \displaystyle\frac{1}{2}BC.\)
Q là trung điểm của NP nên \(QP = \displaystyle\frac{1}{2}NP.\)
Mà AC = MP, BC = NP nên EC = RP, CD = QP.
a) Xét hai tam giác ACD và MPQ, ta có:
AC = MP (chứng minh trên);
\(\widehat{ACD} =\widehat{MPQ}\) (chứng minh trên);
CD = PQ (chứng minh trên).
Suy ra \(∆ACD = ∆MPQ\) (c.g.c).
Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng).
b) Xét hai tam giác ECD và RPQ, ta có:
EC = RP (chứng minh trên);
\(\widehat{ECD} =\widehat{RPQ}\) (chứng minh trên);
CD = PQ (chứng minh trên).
Suy ra \(∆ECD = ∆RPQ\) (c.g.c).
Do đó DE = QR (hai cạnh tương ứng).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh
Xem bài giải tiếp theo: Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
