Chương 8 – Bài 5: Tam giác đồng dạng trang 70 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.
26. Tìm khẳng định sai:
a) Nếu \(\Delta A’B’C’\ ᔕ\ \Delta ABC\) thì \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta A’B’C’.\)
b) Nếu \(\Delta A^{”}B^{”}C^{”}\ ᔕ\ \Delta A’B’C’\) và \(\Delta A’B’C’\ ᔕ\ \Delta ABC\) thì \(\widehat{A’}=\widehat{A^{”}},\) \(\widehat{B}=\widehat{B^{”}},\) \(\widehat{C}=\widehat{C^{”}}.\)
c) Nếu \(\Delta A’B’C’\ ᔕ\ \Delta ABC\) thì chu vi tam giác \(ABC\) bằng nửa chu vi tam giác \(A’B’C’.\)
d) Nếu \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta A’B’C’\) thì \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{BC}{B’C’}=\displaystyle\frac{CA}{C’A’}.\)
Giải
Khẳng định sai là c).
Nếu \(\Delta AMN\ ᔕ\ \Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k,\) ta có:
\(k=\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}=\displaystyle\frac{BC}{B’C’}\) \(=\displaystyle\frac{AB+AC+BC}{A’B’+A’C’+B’C’}=\displaystyle\frac{\text{Chu vi tam giác}\ AMN}{\text{Chu vi tam giác}\ ABC}.\)
\(\)
27. Cho \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta A’B’C’\) với tỉ số đồng dạng là 3. Tính các cạnh \(AB,\ BC,\ CA\) biết \(\displaystyle\frac{A’B’}{3}=\displaystyle\frac{B’C’}{7}=\displaystyle\frac{A’C’}{5}\) và \(A’B’+B’C’+C’A’=30\) (cm).
Giải
Do \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta A’B’C’\) với tỉ số đồng dạng là \(3\) nên \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{BC}{B’C’}=\displaystyle\frac{CA}{C’A’}=3\) hay \(AB=3A’B’,\) \(BC=3B’C’,\) \(CA=3C’A’\) (1).
Mặt khác: \(\displaystyle\frac{A’B’}{3}=\displaystyle\frac{B’C’}{7}=\displaystyle\frac{A’C’}{5}\) \(=\displaystyle\frac{A’B’+B’C’+A’C’}{15}=\displaystyle\frac{30}{15}=2.\)
Suy ra \(A’B’=3.2=6\ cm,\) \(B’C’=7.2=14\ cm,\) \(C’A’=5.2=10\ cm\) (2).
Từ (1) và (2), ta có: \(AB=3.6=18\ cm,\) \(BC=3.14=42\ cm,\) \(CA=3.10=30\ cm.\)
\(\)
28. Quan sát Hình 28 biết \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\) \(\widehat{BAC}=\widehat{BML}.\)
a) Chứng minh: \(\Delta AMN\ ᔕ\ \Delta MBL.\)
b) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\displaystyle\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC.\)
Giải
a) Vì \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) và hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\ //\ BC.\) Do đó \(\Delta AMN\ ᔕ\ \Delta ABC\) (1).
Vì \(\widehat{BAC}=\widehat{BML}\) và hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(ML\ //\ AC.\) Do đó \(\Delta MBL\ ᔕ\ \Delta ABC\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AMN\ ᔕ\ \Delta MBL.\)
b) Giả sử \(\Delta AMN\ ᔕ\ \Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k,\) ta có:
\(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{AN}{AC}=\displaystyle\frac{MN}{BC}=k.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{AN}{AC}=\displaystyle\frac{MN}{BC}\) \(=\displaystyle\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k\) hay \(\displaystyle\frac{\text{Chu vi tam giác}\ AMN}{\text{Chu vi tam giác}\ ABC} =k.\)
Do đó để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\displaystyle\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC\) thì \(AM=\displaystyle\frac{2}{3}AB.\)
Ngược lại, dễ thấy nếu \(AM=\displaystyle\frac{2}{3}AB\) thì chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\displaystyle\frac{2}{3}\) tam giác \(ABC.\)
Vậy vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\displaystyle\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC\) là \(AM=\displaystyle\frac{2}{3}AB.\)
\(\)
29. Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm D, E ở hai bên bờ của một con sông, người ta chọn các vị trí A, B, C ở cùng một bên bờ với điểm D và đo được AB = 2 m, AC = 3 m, CD = 15 m (Hình 29), Giả sử \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta DEC.\)
Giải
Vì \(\Delta ABC\ ᔕ\ \Delta DEC\) nên \(\displaystyle\frac{AB}{DE}=\displaystyle\frac{AC}{DC}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{2}{DE}=\displaystyle\frac{3}{15}.\)
Vậy \(DE=\displaystyle\frac{2.15}{3}=10\ (m).\)
\(\)
30. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a.\) Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(BC,\) điểm \(F\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(CE=AF.\) Các đường thẳng \(AE,BF\) cắt đường thẳng \(DC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Các đường thẳng \(NA,MB\) cắt nhau tại \(K.\)
a) Chứng minh: \(\Delta KAB\ ᔕ\ \Delta KNM;\) \(\Delta CEM\ ᔕ\ \Delta DAM;\) \(\Delta NFD\ ᔕ\ \Delta NBC.\)
b) So sánh \(CM.DN\) và \(AB^{2}.\)
c) Các điểm \(E,\ F\) lấy ở vị trí nào trên các cạnh \(BC,\ AD\) thì \(MN\) có độ dài nhỏ nhất?
Giải
a) Vì \(AB\ //\ CD\) hay \(AB\ //\ MN\) nên \(\Delta KAB\ ᔕ\ \Delta KMN.\)
Vì \(AD\ //\ BC\) hay \(CE\ //\ AD\) nên \(\Delta CEM\ ᔕ\ \Delta DAM\)
Vì \(AD\ //\ BC\) hay \(DF\ //\ BC\) nên \(\Delta NFD\ ᔕ\ \Delta NBC.\)
b) Vì \(AB\ //\ CM\) nên \(\Delta CEM\ ᔕ\ \Delta BEA\) nên \(\displaystyle\frac{CM}{BA}=\displaystyle\frac{CE}{BE}\) (1)
Vì \(AB\ //\ ND\) nên \(\Delta NDF\ ᔕ\ \Delta BAF\) nên \(\displaystyle\frac{AF}{FD}=\displaystyle\frac{BA}{DN}\) (2)
Từ (1) và (2) và \(CE=AF,\ BE=DF,\) ta có \(\displaystyle\frac{CM}{BA}=\displaystyle\frac{CE}{BE}=\displaystyle\frac{AF}{FD}=\displaystyle\frac{BA}{DN}.\)
Do đó \(CM.DN=A{{B}^{2}}.\)
c) Ta có \({{\left( CM-DN \right)}^{2}}\ge 0,\) suy ra \({{\left( CM+DN \right)}^{2}}\ge 4CM.DN\) hay \(CM+DN\ge 2\sqrt{CM.DN}=2AB.\) Do đó \(MN=DN+CD+CM\ge 3AB\) (vì \(AB=CD\)). Vậy \(MN\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(3AB.\) Dấu “=” xảy ra khi \(CM=DN=a\) hay \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
