Bài \(5\). Phương trình lượng giác cơ bản trang \(34\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Giải các phương trình lượng giác sau:
\(a)\) \(\sin2x = \displaystyle \frac{1}{2}\);
\(b)\) \(\sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{7}\right)} = \sin{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}\);
\(c)\) \(\sin4x \ – \ \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sin2x = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}2x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\2x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\\x = \displaystyle \frac{5\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{\pi}{12} + k\pi; \displaystyle \frac{5\pi}{12} + k\pi; k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right\}\)
\(b)\) \(\sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{7}\right)} = \sin{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{7} = \displaystyle \frac{2\pi}{7} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{7} = \pi \ – \ \displaystyle \frac{2\pi}{7} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{3\pi}{7} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\x = \displaystyle \frac{6\pi}{7} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{3\pi}{7} + k2\pi; \displaystyle \frac{6\pi}{7} + k2\pi; k \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right\}\)
\(c)\) \(\sin4x \ – \ \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow \sin4x = \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\Leftrightarrow \sin4x = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\Leftrightarrow \sin4x = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} \ – \ x\right)}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{ll} 4x = \displaystyle \frac{\pi}{3} \ – \ x + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\4x = \pi \ – \ \left(\displaystyle \frac{\pi}{3} \ – \ x\right) + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{\pi}{15} + k\displaystyle \frac{2\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}\\x = \displaystyle \frac{2\pi}{9} + k\displaystyle \frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{\pi}{15} + k\displaystyle \frac{2\pi}{5}; \displaystyle \frac{2\pi}{9} + k\displaystyle \frac{2\pi}{3}; k \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right\}\)
\(\)
Bài \(2\). Giải các phương trình lượng giác sau:
\(a)\) \(\cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(b)\) \(\cos4x = \cos{\displaystyle \frac{5\pi}{12}}\);
\(c)\) \(\cos^2x = 1\).
Trả lời:
\(a)\) \(\cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x + \displaystyle \frac{\pi}{3} = \displaystyle \frac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\x + \displaystyle \frac{\pi}{3} = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{\begin{matrix}\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6} + k2\pi; \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} + k2\pi; k \in \mathbb{Z}\end{matrix} \right\}\)
\(b)\) \(\cos4x = \cos{\displaystyle \frac{5\pi}{12}}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}4x = \displaystyle \frac{5\pi}{12} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\4x = \ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{12} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{5\pi}{48} + k\displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\\x = \ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{48} + k\displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{\begin{matrix} \pm \displaystyle \frac{5\pi}{48} + k\displaystyle \frac{\pi}{2}; k \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right\}\)
\(c)\) \(\cos^2x = 1\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}\cos{x} = 1\\\cos{x} = \ – \ 1 \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\).
\(\)
Bài \(3\). Giải các phương trình lượng giác sau:
\(a)\) \(\tan{x} = \tan55^o\);
\(b)\) \(\tan{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(\tan{x} = \tan55^o\)
\(\Leftrightarrow x = 55^o + k.180^o, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{55^o + k.180^o, k \in \mathbb{Z}\}\)
\(b)\) \(\tan{\left(2x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + \displaystyle \frac{\pi}{4} = k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{8} + k\displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{\begin{matrix}\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{8} + k\displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right\}\)
\(\)
Bài \(4\). Giải các phương trình lượng giác sau:
\(a)\) \(\cot{\left(\displaystyle \frac{1}{2}x + \displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} = \ – \ 1\);
\(b)\) \(\cot3x = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\cot{\left(\displaystyle \frac{1}{2}x + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \ – \ 1\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}x + \displaystyle \frac{\pi}{4} = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{\pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
\(b)\) \(\cot3x = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{2\pi}{9} + k\displaystyle \frac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{2\pi}{9} + k\displaystyle \frac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right\}\)
\(\)
Bài \(5\). Tại các giá trị nào của \(x\) thì đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) và \(y = \sin{x}\) giao nhau?
Trả lời:
Đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) và \(y = \sin{x}\) giao nhau khi và chỉ khi phương trình \(\cos{x} = \sin{x}\) có nghiệm \(x\) thỏa mãn.
Ta thấy \(\sin{x}\) và \(\cos{x}\) không đồng thời bằng \(0\) nên xét với \(\cos{x} \neq 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos{x}\) ta được:
\(\displaystyle \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = 1\)
\(\Leftrightarrow \tan{x} = 1\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tại các giá trị \(x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z}\) thì đồ thị hàm số \(y = \cos{x}\) và \(y = \sin{x}\) giao nhau.
\(\)
Bài \(6\). Trong Hình \(9\), khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh \(O\). Toạ độ \(s\) (cm) của \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10 \sin{\left(10t + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\). Vào các thời điểm nào thì \(s = \ – \ 5\sqrt{3}\) cm?
Trả lời:
Ta có: \(s = \ – \ 5\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow 10\sin{\left(10t + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \ – \ 5\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow \sin{\left(10t + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{ll}10t + \displaystyle \frac{\pi}{2} = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\10t + \displaystyle \frac{\pi}{2} = \pi \ – \ \left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right) + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \end{equation} \)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}10t = \ – \ \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\\10t = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}t = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\displaystyle \frac{\pi}{5}, k \in \mathbb{Z}\\t = \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\displaystyle \frac{\pi}{5}, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy vào các thời điểm \(t = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\displaystyle \frac{\pi}{5}\) (\(k \geq 1, k \in \mathbb{Z}\)) hoặc \(t = \displaystyle \frac{\pi}{12} + k\displaystyle \frac{\pi}{5}\)(\( k \geq 0, k \in \mathbb{Z}\)) thì \(s = \ – \ 5\sqrt{3}\) cm.
\(\)
Bài \(7\). Trong Hình \(10\), ngọn đèn trên hải đăng \(H\) cách bờ biển \(yy’\) một khoảng \(HO = 1\) km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\displaystyle \frac{\pi}{10}\) rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm \(M\) mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.
\(a)\) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng \(HO\). Viết hàm số biểu thị tọa độ \(y_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\).
\(b)\) Ngôi nhà \(N\) nằm trên bờ biển với tọa độ \(y_N = \ – \ 1\) (km). Xác định các thời điểm \(t\) mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.
Trả lời:
\(a)\) Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\displaystyle \frac{\pi}{10}\) rad/s tức là mỗi giây đèn xoay được một góc \(\displaystyle \frac{\pi}{10}\) rad.
\(\Rightarrow\) Sau \(t\) giây đèn xoay được góc \(\alpha = \displaystyle \frac{\pi}{10}t\) rad.
Xét tam giác vuông \(MOH\) ta có:
\(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{OM}{OH} = \displaystyle \frac{OM}{1} = OM\)
Suy ra \(y_M = OM = \tan{\alpha} = \tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{10}t\right)}\)
\(b)\) Khi đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà thì điểm \(M\) trùng với điểm \(N\) và \(y_M = y_N = \ – \ 1\).
Ta có: \(y_N = \ – \ 1\)
\(\Leftrightarrow \tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{10}t\right)} = \ – \ 1\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[ \begin{array}{II}\displaystyle \frac{\pi}{10}t = \displaystyle \frac{\ – \ \pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} (\text{ Loại vì đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ })\\\displaystyle \frac{\pi}{10}t = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow t = \displaystyle \frac{15}{2} + 10k \text{ với } k \in \mathbb{Z}\)
Vậy vào các thời điểm \(t = \displaystyle \frac{15}{2} + 10k \text{ với } k \geq \ – \ \displaystyle \frac{3}{4}, k \in \mathbb{Z}\) thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4 – Hàm số lượng giác và đồ thị
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương I
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.